【原创】【一类问题解决】有正定阵A,让求可逆阵R使得A=RTR(或A=RRT)的策略

【问题背景】有正定阵A,让求可逆阵R使得A=RTR(或A=RRT)的策略

【法一】代数法:转二次型+配方

【实操】构造A的二次型f=xTAx,将f在可逆变换x=Py下配方为规范型yTy(即=yTEy=y1²+y2²+y3²)〔即相应配方系数阵为P(-1),也即配方时令y=P(-1)x〕,此时有PTAP=E,则A=PT(-1)P(-1)

①若让求可逆阵R使得A=RTR,可取R=P^(-1)

②若让求可逆阵R使得A=RRT,可取R=P^(-1)T

【法二】矩阵法:求特征值、特征向量

【实操】求特征值,特征向量,找到正交阵Q使得QTAQ=∧〔∧即为A的标准型〕,有A=Q∧QT=Q√∧√∧QT=(√∧QT)T(√∧QT)

①若让求可逆阵R使得A=RTR,可取R=√∧QT

②若让求可逆阵R使得A=RRT,可取R=(√∧QT)^T=Q√∧

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