CG相机模型
在图形学中最常用的相机模型的原理和小孔成像是类似的。
不同之处在于，如上图，小孔成像得到的图像是倒立的，但是我们希望得到的图像是正向的，因此，我们选择小孔前成像。
从 3D 到 2D 的投影，就是根据 3D 物体的坐标，计算其投影到 2D 成像平面上的坐标。对于一个已有的相机而言，只有在恰当位置范围内的 3D 物体才可能投影到成像平面上。这个恰当范围，跟成像平面的大小，以及相机中心到平面距离等因素有关。
在图形学中有一个专门的模型来定义这个范围：
上图这个形似棱锥的模型，就是相机的可视范围。其中，有两个重要的概念：Near clipping plane 和 Far clipping plane。
Near clipping plane 是相机前方的平面，也就是成像平面，Far clipping plane 是更远处的平面，限制了相机最远可视的范围，它们都与相机的 z 轴垂直。在这两个平面之间的空间，就是相机的可视范围。在这个范围内的物体，才能投影到相机的成像平面上。在图形学中，这个可视范围被称为视锥体 (Viewing Frustum)。
在真实的相机中，Far clipping plane 一般是无限远的，但在图形学中，为了简化计算，一般将其设置为有限的距离。
3D坐标到2D坐标
上图是一个典型的物体投影到屏幕上的过程。我们假设已经获得了物体在世界坐标系中的坐标，在世界坐标系转换到图像坐标系的过程中，涉及以下过程。
世界坐标系转换到相机坐标系
对三维物体投影的第一步，是将三维物体从世界坐标系转换到以相机为中心的坐标系统，这样方便后续的投影计算。
相机坐标系是以相机为中心的坐标系 (也叫 eye coordinates)，由于相机和世界坐标系的原点可能不同，且其坐标轴方向和世界坐标系可能不同，因此世界坐标系和相机坐标系的转换一般涉及旋转平移两项操作。
在图形学中，通常使用齐次坐标，并配合 4x4 的矩阵来完成两个坐标系统的转换。
相机坐标系到屏幕坐标系
获得物体的相机坐标系（Near clipping plane 和 Far clipping plane 之间）后，接下来就可以计算物体投影到成像平面上的坐标。
这个过程可以根据相似三角形的原理计算得出。
如上图所示，假设相机的中心在 A 点，三维物体在 C 点，其在成像平面上的投影为 C'。
由于我们已经获得了物体在相机坐标系中的坐标，因此可以计算出 AB、BC 的长度。而 AB'、B'C' 的长度，可以根据相似三角形的原理计算出来 (上图假设相机焦距是 1，但实际情况中不做限制，我们用 Z n e a r Z_{near} Znear表示)：
B C A B = B ′ C ′ A B ′ \frac{BC}{AB} = \frac{B'C'}{AB'} ABBC=AB′B′C′
即
P . y ∣ P . z ∣ = P ′ . y Z n e a r P ′ . y = Z n e a r ∗ P . y ∣ P . z ∣ \frac{P.y}{|P.z|} = \frac{P'.y}{Z_{near}} \\ P'.y = \frac{Z_{near}*P.y}{|P.z|} ∣P.z∣P.y=ZnearP′.yP′.y=∣P.z∣Znear∗P.y
同样的，可以算出 : P ′ . x = Z n e a r ∗ P . x ∣ P . z ∣ P'.x = \frac{Z_{near}*P.x}{|P.z|} P′.x=∣P.z∣Znear∗P.x
对于 z 轴坐标来说，由于 Near clipping plane 和 z 轴是垂直的，因此所有投影到成像平面上的点，z 坐标都是相同的。而事实上在投影到 2D 坐标后，z 轴坐标已经没有意义了，因此可以直接忽略。
从 P ′ . x P'.x P′.x 和 P ′ . y P'.y P′.y 可以发现，投影到成像平面上的坐标，其 x 和 y 坐标都是除以 z 坐标得到的。因此这种投影变换也被称为 z divide 或者 perspective divide。这也是透视投影的特点，投影到成像平面上的坐标，其 x 和 y 坐标都是 与 z 坐标绝对值成反比的。也因此，物体越远，其在屏幕上的大小越小。
屏幕坐标系到图像坐标系
转换到屏幕坐标系后，我们理论上已经获得了物体的 2D 坐标，但这个坐标并不是最终图像上的坐标。
在第 2 步相机坐标系到屏幕坐标系的转换中，不难发现，屏幕坐标系的原点是在屏幕中心的，但在图像坐标系中，原点一般是在左上角或者左下角。因此，要转换到图像坐标系，还需要一步归一化的过程。
在不同的系统中，图像坐标系的原点是存在差异的。比如，有些系统中的图像原点位于左下角，y 轴朝上，但有些则反着来。而 NDC 坐标系是一个跟设备无关的坐标系统，它将图像的 x/y/z 轴都统一归一化到 [0, 1]，并规定了坐标轴方向 (在有些图形系统中，也会将 x/y/z 轴归一化到 [-1, 1])，如下图所示 (中间即是 NDC 坐标系)。
NDC 全称是 Normalized Device Coordinate，也即归一化的设备坐标系。这是从屏幕坐标系转换到图像坐标系的中间媒介。
用上图的例子来演示 屏幕坐标系 -> NDC 坐标系 -> 图像坐标系 (即上图的 raster 坐标系) 的转换过程。
假设 投影屏幕 长宽分别为 height、width，NDC 的原点在左下角，y 轴朝上，那么，屏幕坐标系到 NDC 坐标系的转换公式为：
P b d c . x = P ′ . x + w i d t h / 2 w i d t h P b d c . y = P ′ . y + h e i g h t / 2 h e i g h t P_{bdc}.x = \frac{P'.x+width/2}{width} \\ P_{bdc}.y = \frac{P'.y+height/2}{height} Pbdc.x=widthP′.x+width/2Pbdc.y=heightP′.y+height/2
假设图像大小为 image_height、image_width，图像原点位于左上角，y 轴朝下。那么，NDC 坐标系 到图像坐标系的转换公式为：
P i m a g e . x = P n d c . x ∗ i m a g e _ w i d t h P i m a g e . y = ( 1 − P n d c . y ) ∗ i m a g e _ h e i g h t P_{image}.x = P_{ndc}.x * image\width \\ P{image}.y = (1-P_{ndc}.y) * image\_height Pimage.x=Pndc.x∗image_widthPimage.y=(1−Pndc.y)∗image_height
NDC 坐标系是连续的坐标系，只有转换到图像坐标系，才会对坐标进行取整操作。此外，NDC 坐标系仍是三维坐标系，不过在考虑投影的时候，z 轴通常会被忽略
OpenGL 中，NDC 坐标到 raster 图像坐标的转换过程，也被称为 viewport transform
采用 NDC 坐标的好处是，我们可以将 NDC 看作是一个通用的坐标系统，并将不同系统的坐标统一起来。比如，我们在将屏幕坐标系 转换到图像坐标系 时，可以先换算到统一的 NDC 坐标系中，再实现二者的相互转化。在 NDC 坐标系中进行处理的时候，就不需要关心投影屏幕长宽、图像大小等信息了。
投影矩阵(Projection Matrix)
从上面三维坐标到二维坐标的转换过程中，不难发现，整个过程涉及步骤很多，非常繁琐。为了简化计算，在很多图形系统中，会将物体从相机坐标系到 NDC 坐标系的过程，用一个矩阵串联起来 (即投影矩阵)。
即完成所有操作总共需要两个矩阵：世界坐标系和相机坐标系之间的变换矩阵、投影矩阵。
理解投影矩阵，对后面 NeRF 中 NDC 坐标系统的推导至关重要。因此，这里先详细介绍投影矩阵的由来，并补充一些相关的数学知识。
不同坐标系统的转换
三维坐标转二维坐标的第一步，就是将物体从世界坐标系转换到相机坐标系。
这一步在投影矩阵的求解中是不需要的。不过，由于图形学中，不同坐标系之间的转换是一个基本操作。
任何三维坐标系统，都可以用三个互相垂直的坐标轴以及坐标原点来唯一确定。
这三个坐标轴，在线性代数中，也被称为基向量v={ v 1 , v 2 , v 3 v_1,v_2,v_3 v1,v2,v3} 。通常情况下，我们会用标准向量 e 1 = [ 1 , 0 , 0 ] e_1=[1,0,0] e1=[1,0,0]、 e 1 = [ 0 , 1 , 0 ] e_1=[0,1,0] e1=[0,1,0]、 e 1 = [ 0 , 0 , 1 ] e_1=[0,0,1] e1=[0,0,1] 来表示这三个坐标轴。不过事实上也可以随意定义，只要它们线性无关，可以表达出整个三维空间即可。
现在，假设有两个不同的坐标系统 A 和 B。A 的基向量 v = { v 1 , v 2 , v 3 } v=\{v_1,v_2,v_3\} v={v1,v2,v3}，B 的基向量 u = { u 1 , u 2 , u 3 } u=\{u_1,u_2,u_3\} u={u1,u2,u3} 。根据线性无关，可以得出：
u 1 = γ 11 v 1 + γ 12 + γ 13 v 3 u 2 = γ 21 v 1 + γ 22 + γ 23 v 3 u 3 = γ 31 v 1 + γ 32 + γ 33 v 3 u_1 = \gamma_{11}v_1+\gamma_{12}+\gamma_{13}v_3 \\ u_2 = \gamma_{21}v_1+\gamma_{22}+\gamma_{23}v_3 \\ u_3 = \gamma_{31}v_1+\gamma_{32}+\gamma_{33}v_3 \\ u1=γ11v1+γ12+γ13v3u2=γ21v1+γ22+γ23v3u3=γ31v1+γ32+γ33v3
用矩阵方程的形式表示为：
u = M v u=Mv u=Mv
对于三维空间中的某个点 w 来说，均可以由 u、v 这两个坐标系表示：
w = a T v = b T u w=a^Tv=b^Tu w=aTv=bTu
其中的 a T a^T aT和 b T b^T bT 其实就是 w 在这两个坐标系统中的坐标。再结合公式 (2)，可以得到：
w = b T u = b T M v = a T v w=b^Tu=b^TMv=a^Tv w=bTu=bTMv=aTv
由此推出， a = M T b , b = ( M T ) − 1 a a=M^Tb,b=(M^T)^{-1}a a=MTb,b=(MT)−1a
到这里，我们就发现：对于点 w 来说，想要从坐标系 A 转换到坐标系 B，只需要对原坐标系 A 中的坐标，乘以一个矩阵 M 即可。反之，则是乘以矩阵的逆 ( M T ) − 1 (M^T)^{-1} (MT)−1。而这个矩阵M ，可以通过两个坐标系统的基向量，也就是坐标轴，通过公式 (1) 的矩阵方程进行求解。
在将物体从世界坐标系转到相机坐标系的过程中，只需要将这个矩阵应用到世界坐标系的物体坐标上，就可以得到三维物体相对于相机坐标系的位置坐标。
这个过程中，物体的实际位置没有发生任何改变，只不过它的坐标，从相对于世界坐标系，变成相对于相机坐标系。
齐次坐标(Homogenous Coordinates)
上面提到的变换矩阵 M 存在一点不足，那就是它只能表达旋转和缩放操作，但无法表达平移。具体原因有很多资料已做了描述，这里不再赘述。
在三维世界中，旋转、缩放、平移是三个最基础的操作，因此，为了将平移也融入矩阵运算中，人们引入了齐次坐标。
齐次坐标相比普通的三维坐标，就是在 x、y、z 之外，再引入一维 w:[x,y,z,w]。
同时我们规定 [x,y,z]=[x,y,z,w=1]，即当 w=1 时，齐次坐标可以等价于普通的三维坐标。
如果 w ≠ 1 w\neq1 w=1 ，那换算方法是： [ x , y , z , w ] = [ x w , y w , z w ] [x,y,z,w] = [ \frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w}] [x,y,z,w]=[wx,wy,wz]。
引入齐次坐标后，变换矩阵自然也可以拓展成 4x4 的维度。
[ m 00 m 01 m 02 T x m 10 m 11 m 12 T y m 20 m 21 m 22 T z 0 0 0 1 ] ∗ [ x y z w = 1 ] \left[ \begin{matrix} m_{00} & m_{01} & m_{02} & T_x \\ m_{10} & m_{11} & m_{12} & T_y \\ m_{20} & m_{21} & m_{22} & T_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w=1 \end{matrix} \right] m00m10m200m01m11m210m02m12m220TxTyTz1 ∗ xyzw=1
在 w=1 的情况下，矩阵第 4 列代表的，就是 x、y、z 对应的平移量。
在之后投影矩阵的计算过程中，齐次坐标的作用会更加明显。
投影矩阵推导
假设我们已经获得了物体在相机坐标系中的坐标 P e = [ x e , y e , z e ] P_e=[x_e,y_e,z_e] Pe=[xe,ye,ze] (如果只有世界坐标系，也可以通过前面所讲的不同坐标系统的变换，来转换到相机坐标系，这一步也属于相机外参标定的流程)。
将 P e P_e Pe 从相机坐标系转换到 NDC 的过程，其实就是将 P e P_e Pe 从下图左边的棱锥转换到右边的立方体的过程 (这里使用 OpenGL 中的坐标习惯，NDC 将 x/y/z 轴都归一化到 [-1, 1])：
假设 Near Clipping Plane 到相机中心的距离为 n。在 OpenGL 等图形库中，由于相机坐标系的 z 轴是朝向屏幕外的，因此 Near Clipping Plane 上，点的 z 坐标均为 z = -n。
再假设 Near Clipping Plane 平面上，x 轴的屏幕范围是 [l,r]，y 轴的屏幕范围是 [b,t]，那么屏幕上四个边界点的坐标分别是：(l,t,-n)、(r,t,-n)、(l,b,-n)、(r,b,-n)
首先，将点 P e P_e Pe 投影到 Near Clipping Plane 上。根据上文的介绍，这就是 z divide 的过程，由此得到投影后的坐标为：
x p = n ∗ x e − z e y p = n ∗ y e − z e x_p = \frac{n*x_e}{-z_e} \\ y_p = \frac{n*y_e}{-z_e} \\ xp=−zen∗xeyp=−zen∗ye
在投影后需要考虑把超出屏幕的点裁剪掉，不过这一步也可以放在后面进行，我们先跳过。
接下来就是把投影后的点转换到 NDC 空间了，这是归一化的过程，把 [l,r] 和 [b,t] 这两个区间的数值归一化到 [-1,1] 。可以分两步完成。
先把 x p x_p xp 归一化到 [0,1]： x p − l r − l \frac{x_p-l}{r-l} r−lxp−l。
再从 [0,1] 归一化到 [-1,1]： 2 ∗ x p − l r − l − 1 2*\frac{x_p-l}{r-l}-1 2∗r−lxp−l−1。
x n d c = 2 ∗ x p − l r − l − 1 = 2 x p r − l − r + l r − l x_{ndc} = 2 * \frac{x_p-l}{r-l}-1 \\ = \frac{2x_p}{r-l} - \frac{r+l}{r-l} xndc=2∗r−lxp−l−1=r−l2xp−r−lr+l
同理可得 y n d c y_{ndc} yndc:
y n d c = 2 y p t − b − t + b t − b y_{ndc} = \frac{2y_p}{t-b} - \frac{t+b}{t-b} yndc=t−b2yp−t−bt+b
由此我们已经得到了 NDC 中的 x/y 坐标（将上述 y p , x p y_p,x_p yp,xp代入）。完整的转换公式：
x n d c = 2 n ∗ x e − z e ∗ ( r − l ) − r + l r − l y n d c = 2 n ∗ y e − z e ∗ ( t − b ) − t + b t − b x_{ndc} = \frac{2n*x_e}{-z_e*(r-l)} - \frac{r+l}{r-l} \\ y_{ndc} = \frac{2n*y_e}{-z_e*(t-b)} - \frac{t+b}{t-b} xndc=−ze∗(r−l)2n∗xe−r−lr+lyndc=−ze∗(t−b)2n∗ye−t−bt+b
这个公式看起来复杂，但可以融入到齐次坐标中，变成矩阵运算：
[ x c y c z c w c ] = [ 2 n r − l 0 r + l r − l 0 0 2 n t − b t + b t − b 0 0 0 A B 0 0 − 1 0 ] ∗ [ x e y e z e w e = 1 ] \left[ \begin{matrix} x_c \\ y_c \\ z_c \\ w_c \end{matrix} \right ] = \left[ \begin{matrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\ 0& \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\ 0& 0 & A & B \\ 0& 0 & -1 & 0 \\ \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x_e \\ y_e \\ z_e \\ w_e = 1 \end{matrix} \right] xcyczcwc = r−l2n0000t−b2n00r−lr+lt−bt+bA−100B0 ∗ xeyezewe=1
其中 A、B是待求解的参数。
以 x c x_c xc 为例，计算过程如下：
x c = 2 n x e r − l + r + l r − l ∗ z e w c = − z e x_c = \frac{2nx_e}{r-l} + \frac{r+l}{r-l} * z_e \\ w_c = -z_e xc=r−l2nxe+r−lr+l∗zewc=−ze
由于 w ≠ 1 w\neq1 w=1，需要除去 w 才能得到最终的坐标
x n d c = x c w c = 2 n ∗ x e − z e ∗ ( r − l ) − r + l r − l x_{ndc} = \frac{x_c}{w_c} \\ = \frac{2n*x_e}{-z_e*(r-l)} - \frac{r+l}{r-l} xndc=wcxc=−ze∗(r−l)2n∗xe−r−lr+l
这样子求出的 x n d c x_{ndc} xndc 和上述的一致，这就是使用齐次坐标的好处。
由于 r 和 l 是沿中心对称的，即 l=-r，所以 r-l=2r，r+l=0。同理 t-b=2t，t+b=0 。所以矩阵可以简化为：
[ n r 0 0 0 0 n t 0 0 0 0 A B 0 0 − 1 0 ] \left[ \begin{matrix} \frac{n}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{n}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & B \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right] rn0000tn0000A−100B0
上面的矩阵中，还缺失 z e z_e ze 对应的参数 A、B。由于 z 轴的计算和 x/y 无关，因此矩阵第三行 x/y 对应的参数可以直接设为 0，我们单独看A、B 如何求解。
由上面的矩阵可以算出： z n d c = A ∗ z e + B − z e z_{ndc} = \frac{A*z_e+B}{-z_e} zndc=−zeA∗ze+B
假设 Far Clipping Plane 到相机中心的距离为 f 。那么 z 轴是从 [-n,-f] 归一化到 [-1,1]，即 z e = − n z_e=-n ze=−n 时， z n d c = − 1 z_{ndc} = -1 zndc=−1， z e = − f z_e=-f ze=−f 时， z n d c = 1 z_{ndc}=1 zndc=1。由此可以得到两个等式：
− A ∗ f + B f = 1 A ∗ n + B n = − 1 \frac{-A*f+B}{f} = 1 \\ \frac{A*n+B}{n} = -1 f−A∗f+B=1nA∗n+B=−1
解得: A = − f + n f − n A=-\frac{f+n}{f-n} A=−f−nf+n 、 B = − − 2 f n f − n B=-\frac{-2fn}{f-n} B=−f−n−2fn
最终的矩阵为:
[ n r 0 0 0 0 n t 0 0 0 0 − f + n f − n − 2 f n f − n 0 0 − 1 0 ] \left[ \begin{matrix} \frac{n}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{n}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & \frac{-2fn}{f-n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right] rn0000tn0000−f−nf+n−100f−n−2fn0
这个矩阵，即是所谓的投影矩阵，它可以完成相机坐标系到 NDC 坐标系的转换。
对于投影点的坐标 ( x n d c , y n d c , z n d c ) (x_{ndc},y_{ndc},z_{ndc}) (xndc,yndc,zndc)，如果数值超出 [-1,1] 的范围，就说明投影后的点超出了屏幕范围，可以直接舍弃。
NeRF中的NDC ray space
NeRF 中的坐标，是以射线的形式表示：o+td，其中 o 是射线起点，d 是方向向量，t 是射线长度。
所谓的 NDC ray space，就是把这种射线形式表示的坐标，从相机坐标系投影到 NDC 坐标系。因此，转换的媒介仍然是投影矩阵：
( n r 0 0 0 0 n t 0 0 0 0 − f + n f − n − 2 f n f − n 0 0 − 1 0 ) ( x y z 1 ) = ( n r x n t y − f + n f − n z − 2 f n f − n − z ) p r o j e c t → ( n r x − z n t y − z f + n f − n − 2 f n f − n 1 − z ) \left( \begin{matrix} \frac{n}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{n}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & \frac{-2fn}{f-n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{n}{r} x\\ \frac{n}{t}y \\ -\frac{f+n}{f-n}z - \frac{2fn}{f-n} \\ -z \end{matrix} \right) \\ project \rightarrow \left( \begin{matrix} \frac{n}{r} \frac{x}{-z}\\ \frac{n}{t}\frac{y}{-z} \\ \frac{f+n}{f-n} - \frac{2fn}{f-n}\frac{1}{-z} \end{matrix} \right) rn0000tn0000−f−nf+n−100f−n−2fn0 xyz1 = rnxtny−f−nf+nz−f−n2fn−z project→ rn−zxtn−zyf−nf+n−f−n2fn−z1
不过，由于坐标的表达形式换了，因此公式上也发生了一些变动
假设我们已经获得了相机坐标系中的坐标点 P e = o + t d P_e=o+td Pe=o+td，对应 x/y/z 轴的坐标分别为 (注意区分这里的 t 和投影平面的边界 t )：
x e = o x + t ∗ d x y e = o y + t ∗ d y z e = o z + t ∗ d z x_e = o_x+t*d_x \\ y_e = o_y+t*d_y \\ z_e = o_z+t*d_z xe=ox+t∗dxye=oy+t∗dyze=oz+t∗dz
现在需要求出它在 NDC 坐标系中的投影坐标，假设是 P ′ = o ′ + t ′ d ′ P'=o'+t'd' P′=o′+t′d′
那么根据投影矩阵， P e P_e Pe 转换到 P' 的过程可以表示为：
x ′ = o x ′ + t ′ ∗ d x ′ = − n r ∗ o x + t ∗ d x o z + t ∗ d z y ′ = o y ′ + t ′ ∗ d y ′ = − n t ∗ o y + t ∗ d y o z + t ∗ d z z ′ = o z ′ + t ′ ∗ d z ′ = f + n f − n + 2 f n f − n ∗ 1 o z + t ∗ d z x' = o'_x +t'*d'_x = - \frac{n}{r} * \frac{o_x+t*d_x}{o_z+t*d_z} \\ y' = o'_y +t'*d'_y = - \frac{n}{t} * \frac{o_y+t*d_y}{o_z+t*d_z} \\ z' = o'_z +t'*d'_z = \frac{f+n}{f-n} + \frac{2fn}{f-n}*\frac{1}{o_z+t*d_z} x′=ox′+t′∗dx′=−rn∗oz+t∗dzox+t∗dxy′=oy′+t′∗dy′=−tn∗oz+t∗dzoy+t∗dyz′=oz′+t′∗dz′=f−nf+n+f−n2fn∗oz+t∗dz1
为了简洁一些，假设 − n r = a x -\frac{n}{r} = a_x −rn=ax， − n t = a y -\frac{n}{t}=a_y −tn=ay， f + n f − n = a z \frac{f+n}{f-n}=a_z f−nf+n=az， 2 f n f − n = b z \frac{2fn}{f-n} = b_z f−n2fn=bz。那么上面这堆复杂的式子可以简化为：
x ′ = a x ∗ o x + t ∗ d x o z + t ∗ d z y ′ = a y ∗ o y + t ∗ d y o z + t ∗ d z z ′ = a z ∗ b z o z + t ∗ d z x' = a_x * \frac{o_x+t*d_x}{o_z+t*d_z} \\ y' =a_y * \frac{o_y+t*d_y}{o_z+t*d_z} \\ z' =a_z * \frac{b_z}{o_z+t*d_z} x′=ax∗oz+t∗dzox+t∗dxy′=ay∗oz+t∗dzoy+t∗dyz′=az∗oz+t∗dzbz
接下来就是要把 o'、t'、d' 求解出来。
首先，对于 o' 来说，可以直接通过 o 投影得到，即让上述公式中 t为0：
o ′ = [ o x ′ o y ′ o z ′ ] = [ a x ∗ o x o z a y ∗ o y o z a z + b z o z ] o' = \left[ \begin{matrix} o'_x \\ o'_y \\ o'_z \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a_x * \frac{o_x}{o_z} \\ a_y * \frac{o_y}{o_z} \\ a_z+\frac{b_z}{o_z} \end{matrix} \right] o′= ox′oy′oz′ = ax∗ozoxay∗ozoyaz+ozbz
在 o'确定后，t'*d' 可以表示为：
[ t ′ ∗ d x ′ t ′ ∗ d y ′ t ′ ∗ d z ′ ] = [ x ′ − o x ′ y ′ − o y ′ y ′ − o z ′ ] \left[ \begin{matrix} t'*d'_x \\ t'*d'_y \\ t'*d'_z \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x'-o'_x \\ y'-o'_y \\ y'-o'_z \\ \end{matrix} \right] t′∗dx′t′∗dy′t′∗dz′ = x′−ox′y′−oy′y′−oz′
代入 o x ′ , o y ′ , o z ′ o'_x,o'_y,o'_z ox′,oy′,oz′ 并化简得到
解得：
t ′ = t ∗ d z o z + t ∗ d z = 1 − o z o z + t ∗ d z d ′ = [ a x ∗ ( d x d z − o x o z ) a y ∗ ( d y d z − o y o z ) − b z ∗ 1 o z ] t' = \frac{t*d_z}{o_z+t*d_z} = 1- \frac{o_z}{o_z+t*d_z} \\ d' = \left[ \begin{matrix} a_x * (\frac{d_x}{d_z} - \frac{o_x}{o_z}) \\ a_y * (\frac{d_y}{d_z} - \frac{o_y}{o_z}) \\ -b_z*\frac{1}{o_z} \end{matrix} \right] t′=oz+t∗dzt∗dz=1−oz+t∗dzozd′= ax∗(dzdx−ozox)ay∗(dzdy−ozoy)−bz∗oz1
当 t = 0时，t'=0，当 t → ∞ t\rightarrow \infty t→∞ 时 t ′ → 1 t' \rightarrow 1 t′→1。所以，在相机坐标系对光线进行采样 ( t ∈ ( 0 , ∞ ) t\in(0,\infty) t∈(0,∞))，就等价于在 NDC ray space 中，对 t' 在 [0,1] 范围内进行采样。
对于投影屏幕 来说，可以设定最后成像的图片长宽 (H*W) 和屏幕大小 一致，由于投影屏幕的中心即是坐标原点 ，因此 r=w/2 ，t=H/2。再假定相机的焦距 f c a m f_{cam} fcam 和 Near Clipping Plane 到相机中心的距离相等，即 n = f c a m n=f_{cam} n=fcam。则 a x , a y a_x,a_y ax,ay 可以重新表示为：
a x = − f c a m W / 2 a y = − f c a m H / 2 a_x = -\frac{f_{cam}}{W/2} \\ a_y = -\frac{f_{cam}}{H/2} \\ ax=−W/2fcamay=−H/2fcam
(所谓焦距，指的是相机光圈到成像平面的距离。但正如文章开始提到的，由于图形学中的相机是模拟的，所以并不存在焦距的概念。只是由于投影平面一般和 Near Clipping Plane 重合，因此可以简单认为 f c a m = n f_{cam} = n fcam=n ，但二者其实是不同的概念)
对于 a z a_z az 和 b z b_z bz ，由于论文将 f 设定为无穷远，因此：
a z = lim f → ∞ f + n f − n = lim f → ∞ ( 1 + 2 n f − n ) = 1 a_z = \lim_{f \rightarrow \infty} \frac{f+n}{f-n} \\ =\lim_{f \rightarrow \infty}(1+\frac{2n}{f-n}) \\ = 1 az=f→∞limf−nf+n=f→∞lim(1+f−n2n)=1
b z = lim f → ∞ 2 f n f − n = lim f → ∞ 2 n 1 − n f = 2 n b_z = \lim_{f \rightarrow \infty} \frac{2fn}{f-n} \\ =\lim_{f \rightarrow \infty} \frac{2n}{1-\frac{n}{f}} \\ = 2n bz=f→∞limf−n2fn=f→∞lim1−fn2n=2n
可以得到最终的 o' 和 d'
在 t ∈ [ 0 , 1 ] t\ \in [0,1] t ∈[0,1] 内采样，等价于相机坐标系中在 t ∈ [ 0 , ∞ ] t\in[0,\infty] t∈[0,∞] 范围内采样。但是，如前文描述的，相机坐标系的可视范围是从 Near Clipping Plane 到 Far Clipping Plane 之间，也就是在 z ∈ [ − ∞ ] , − n z\in[-\infty],-n z∈[−∞],−n 这个区间。为了保证光线上每个采样点可见，需要把光线起点对齐到 Near Clipping Plane 上。
即 o 沿光线方向移动 t n t_n tn 个单位后， o z = − z o_z = -z oz=−z，表示成公式为：
o z + t n ∗ d z = − n t n = n + o z d z o_z+t_n*d_z = -n \\ t_n = \frac{n+o_z}{d_z} oz+tn∗dz=−ntn=dzn+oz
因此，移动后的光线起点为 o n = o + t n d o_n = o+t_n d on=o+tnd：