算法(TS)：爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2

输出：2

解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3

输出：3

解释：有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

分析

由于一次只能爬一步或爬两步，那么第 n 阶只能从第 n-1 阶和第 n-2 阶转移得来，由于这里是统计方法数量，因此能推到出一个公式 f(n) = f(n - 1) + f(n -2)

解法一

function climbStairs(n: number): number {
    const step = (n: number): number => {
        if (n <= 1) {
            return 1
        } else {
            return step(n-1) + step(n-2)
        }
    }

    return step(n)
};

时间复杂度是 O(2^n)。这是最简单的写法，存在重复的计算，当 n 很大的时候会出现递归栈溢出的情况。

解法二

优化解法一，用一个 hash 表保存已经计算出的结果。

function climbStairs(n: number): number {
    const hash = new Map<number,number>([[0,1],[1,1]])
    const step = (n: number): number => {
        if (hash.has(n)) {
            return hash.get(n)
        }
        if (n <= 1) {
            hash.set(n,1)
            return 1
        } else {
            const i = step(n-2),j = step(n-1)
            hash.set(n-2,i)
            hash.set(n-1,j)
            return i + j
        }
    }

    return step(n)
};

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)

解法三

修改解法二。解法二将每一阶的计算结果都保存在 hash 中，通过 f(n) = f(n - 1) + f(n -2) 公式可知，在计算第 n 的时候，我们只需要知道前两阶的结果，可以使用函数的参数传递它们。

function climbStairs(n: number): number {
    const step = (n: number,i: number,j: number): number => {
        if (n <= 1) {
            return j
        } else {
            return step(n-1,j,i + j)
        }
    }

    return step(n,1,1)
};

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)

解法四

前面三种解法都是从 n 计算到 1将结果累加，还能从 1计算到 n 将结果累加。

function climbStairs(n: number): number {
    let i = 1,j = 1, r = 1
    for(let k = 1; k < n; k++) {
        i = j
        j = r
        r = i + j
    }
    return r
};

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)