文章目录
- 一、搜索
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- [1. 什么是搜索？](#1. 什么是搜索？)
- [2. 遍历 vs 搜索](#2. 遍历 vs 搜索)
- [3. 回溯与剪枝](#3. 回溯与剪枝)
- [二、OJ 练习](#二、OJ 练习)
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- [1. 枚举子集 ⭐](#1. 枚举子集 ⭐)
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- [(1) 解题思路](#(1) 解题思路)
- [(2) 代码实现](#(2) 代码实现)
- [2. 组合型枚举 ⭐](#2. 组合型枚举 ⭐)
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- [(1) 解题思路](#(1) 解题思路)
- 请添加图片描述
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- [(2) 代码实现](#(2) 代码实现)
- [3. 枚举排列 ⭐](#3. 枚举排列 ⭐)
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- [(1) 解题思路](#(1) 解题思路)
- [(2) 代码实现](#(2) 代码实现)
- [4. 全排列问题 ⭐](#4. 全排列问题 ⭐)
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- [(1) 解题思路](#(1) 解题思路)
- [(2) 代码实现](#(2) 代码实现)
一、搜索
1. 什么是搜索？
搜索，是一种枚举，通过穷举所有的情况来找到最优解，或者统计合法解的个数。因此，搜索有时候也叫作暴搜 。 搜索一般分为深度优先搜索 (DFS) 与宽度优先搜索 (BFS) 。
2. 遍历 vs 搜索
深度优先遍历 vs 深度优先搜索，宽度优先遍历 vs 宽度优先搜索？遍历是形式，搜索是目的。 不过，在一般情况下，我们不会去纠结概念的差异，两者可以等同。
3. 回溯与剪枝
回溯：当在搜索的过程中，遇到走不通或者走到底的情况时，就回头。
剪枝：剪掉在搜索过程中，重复出现或者不是最优解的分支。
二、OJ 练习
1. 枚举子集 ⭐
【题目链接】
【题目描述】
今有 n n n 位同学，可以从中选出任意名同学参加合唱。
请输出所有可能的选择方案。
【输入格式】
仅一行，一个正整数 n n n。
【输出格式】
若干行，每行表示一个选择方案。
每一种选择方案用一个字符串表示，其中第 i i i 位为
Y则表示第 i i i 名同学参加合唱；为N则表示不参加。需要以字典序输出答案。
【示例一】
输入
3输出
NNN NNY NYN NYY YNN YNY YYN YYY
【说明/提示】
对于 100 % 100\% 100% 的数据，保证 1 ≤ n ≤ 10 1\leq n\leq 10 1≤n≤10。
(1) 解题思路
对于题目中给的示例来说，我们一共有 3 个人，也就是说我们有三个字母需要填，那么对于每一个字母都有两种情况，我们不妨画出一个树状图来展示枚举的过程。
这样的一棵树状图又可以被称为决策树，它能够很好的帮助我们枚举出最后的答案，我们想要获取答案实质上就是对这一棵树进行一次深度优先遍历 (DFS) 。
接下来我们只需要模拟一遍这个决策树的过程即可。怎么模拟？首先，我们肯定是需要用到递归函数的，那么递归函数内部该如何设计？这就要看我们的决策树了。函数体的主体部分就是在模拟决策树的每一层都干了些什么，结束条件就是到叶子节点的时候。
(2) 代码实现
cpp
#include<iostream>
using namespace std;
string path; // 记录递归过程中，每一步的决策
int n;
void dfs()
{
if(path.size() == n) // 如果大小为n了说明到叶子节点了，需要输出
{
cout << path << endl;
return;
}
// 不选
path += 'N';
dfs(); // 递归到决策树下一层
// 到这里就已经重新回到上一层了，这个时候 path 内的最后一个位置还保留了下面层的数据，需要清除掉
path.pop_back(); // 回溯，恢复现场
// 选
path += 'Y';
dfs(); // 递归到下一层
path.pop_back(); // 回溯，恢复现场
}
int main()
{
cin >> n;
dfs();
return 0;
}2. 组合型枚举 ⭐
【题目描述】
从 1 ∼ n 1 \sim n 1∼n 这 n n n 个整数中随机选出 m m m 个，输出所有可能的选择方案。
【输入格式】
两个整数 n , m n, m n,m ,在同一行用空格隔开。
【输出格式】
按照从小到大的顺序输出所有方案，每行 1 1 1 个。
首先，同一行内的数升序排列，相邻两个数用一个空格隔开。
其次，对于两个不同的行，对应下标的数一一比较，字典序较小的排在前面（例如
1 3 5 7排在1 3 6 8前面）。
【示例一】
输入
5 3输出
1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5
【说明/提示】
对于所有测试数据满足 0 ≤ m ≤ n 0 \le m \le n 0≤m≤n , n+(n-m) \\le 25 。
(1) 解题思路
首先画出决策树：
注意到在这道题中，由于我们需要枚举的是升序的序列，每一层枚举的时候是从前一个位置数字的下一个数字开始枚举的，因此在 dfs() 函数中，我们需要知道当前层我们应该从哪里开始枚举。
(2) 代码实现
cpp
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
vector<int> path; // 记录递归过程
int n, m;
// 从 begin 位置开始往后枚举
void dfs(int begin)
{
if(path.size() == m) // 结束条件
{
for(auto e : path) cout << e << " ";
cout << endl;
return;
}
for(int i = begin; i <= n; i++)
{
path.push_back(i);
dfs(i + 1); // 下一层就从当前位置填的这个数的下一个数开始枚举
path.pop_back(); // 恢复现场
}
}
int main()
{
cin >> n >> m;
dfs(1);
return 0;
}3. 枚举排列 ⭐
【题目链接】
【题目描述】
今有 n n n 名学生，要从中选出 k k k 人排成一列拍照。
请按字典序输出所有可能的排列方式。
【输入格式】
仅一行，两个正整数 n , k n, k n,k。
【输出格式】
若干行，每行 k k k 个正整数，表示一种可能的队伍顺序。
【示例一】
输入
3 2输出
1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
【说明/提示】
对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ k ≤ n ≤ 10 1\leq k\leq n \leq 10 1≤k≤n≤10。
(1) 解题思路
首先画出决策树：
递归函数主体部分的逻辑就是在枚举 1, 2, 3 这三个数，所以我们只需要写一个 for 循环枚举 1 ~ n 即可。重点是我们不能选择已经选过的数字，也就是说我们需要剪枝 。如何实现剪枝呢？我们可以搞一个 vis 数组，它的第 i 个位置代表 i 这个数有没有被选择过，在我们枚举的过程中只需要在 vis 数组中看一下当前位置的是否被选择过即可，如果被选择过那么 continue，否则
就正常执行。
(2) 代码实现
cpp
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 15;
vector<int> path;
bool vis[N]; // 标记哪些数已经被选择了
int n, m;
void dfs()
{
if(path.size() == m)
{
for(auto e : path) cout << e << " ";
cout << endl;
return;
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
if(!vis[i]) // 如果当前数没有被选择
{
path.push_back(i);
vis[i] = true; // 当前数被选择了，需要在 vis 数组中标记一下
dfs(); // 递归到下一层
path.pop_back(); // 恢复现场
vis[i] = false; // 恢复现场
}
}
}
int main()
{
cin >> n >> m;
dfs();
return 0;
}4. 全排列问题 ⭐
【题目链接】
【题目描述】
按照字典序输出自然数 1 1 1 到 n n n 所有不重复的排列，即 n n n 的全排列，要求所产生的任一数字序列中不允许出现重复的数字。
【输入格式】
一个整数 n n n。
【输出格式】
由 1 ∼ n 1 \sim n 1∼n 组成的所有不重复的数字序列，每行一个序列。
每个数字保留 5 5 5 个场宽。
【示例一】
输入
3输出
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
【说明/提示】
1 ≤ n ≤ 9 1 \leq n \leq 9 1≤n≤9。
(1) 解题思路
首先画出决策树：
解法同【枚举排列】，唯一不同的是递归出口不同。
(2) 代码实现
cpp
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 10;
int n;
vector<int> path;
bool vis[N];
void dfs()
{
if(path.size() == n)
{
for(auto e : path) cout << " " << e;
cout << endl;
return;
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
if(!vis[i]) // 如果当前数没有被选择
{
path.push_back(i);
vis[i] = true;
dfs(); // 递归到下一层
path.pop_back(); // 恢复现场
vis[i] = false; // 恢复现场
}
}
}
int main()
{
cin >> n;
dfs();
return 0;
}