问题描述
设施选址问题（Facility Location Problem, FLP）也成选址-分配问题，是企业面临的一类重要问题：在哪里建造设施？建造多少？以及将哪些客户分配给哪些设施去服务？
以物流业的航空站点选址为例，如果航空站点开通的很多，客户的服务质量会变好（更多的航空件可以保障更好的时效），但是显然企业的成本会上升。反之，如果开通的航空站点太少，虽然企业成本下降了，但客户服务质量会变差。因此，该问题本质上是在做服务质量和企业成本的权衡。
数学建模
集合：
N N N：设施集合；
M M M：客户集合；
常量：
f j f_j fj：开通设施 j （ j ∈ N ） j（j \in N） j（j∈N）的固定成本；
c i j c_{ij} cij：客户 i i i被分配给设施 j j j服务的运输成本；
决策变量：
y j y_j yj：是否开通设施 j j j，0-1变量；
x i j x_{ij} xij：是否将客户 i i i分配给设施 j j j。
∑ i ∈ N ∑ j ∈ M x i j c i j + ∑ j ∈ N f j s . t . ∑ j ∈ N x i j = 1 , ∀ i ∈ M x i j ≤ y j , ∀ i ∈ M , j ∈ N \sum_{i \in N}\sum_{j \in M}x_{ij}c_{ij} + \sum_{j \in N}f_j \\ s.t. \sum_{j\in N}x_{ij} = 1, \forall i \in M\\ x_{ij} \leq y_j, \forall i \in M, j \in N i∈N∑j∈M∑xijcij+j∈N∑fjs.t.j∈N∑xij=1,∀i∈Mxij≤yj,∀i∈M,j∈N
- 目标函数表示：最小化「运输成本」+「建设成本」；
- 第一个约束表示每个用户只会被分配给一个设施；
- 第二个约束表示只有当设施 j j j被开通了，才会有用户被分配个这个设施。
参考资料
- 运筹优化常用算法、模型及案例实战：Python+Java 实现. 刘兴禄，熊望祺，臧永森，段宏达，曾文佳，陈伟坚.