完全二叉树简介
- 完全二叉树是指，所有节点最多有两个叉
- 并且每层都得从左向右排列
- 必须上一层排满了，才能排下一层
度是指，当前节点有几个子节点。在二叉树中，只可能有三种不同的度节点2度节点，即有左右两个子元素的节点1度节点，只有一个子元素的节点，由于完全二叉树的特性，1 度节点最多只有一个0度节点，即叶子节点。叶子节点最多出现在后两层。
如下是14个节点的完全二叉树。
js
0
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1 2
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3 4 5 6
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7 8 9 10 11 12 13其实上面的完全二叉树，是可以从上往下，从左往右，放入到一个数组中，为了方便表示，上图直接把节点的值写成了数组下标。
几个公式和其证明
nodeNum = edgeNum + 1
在任何不循环的树中，其节点数量nodeNum 和边数量edgeNum的关系是 nodeNum = edgeNum + 1
- 例如当前这棵树只有一个节点，那么
nodeNum = 1，edgeNum = 0 - 之后，在这棵树上，每添加一个点，必须要添加一个边。例如再添加
n个点，那么nodeNum = n + 1，edgeNum = n - 通过上述两个和
n相关的关系式，可以得出nodeNum = edgeNum + 1
叶子节点推算公式 N0 = (n-1)*Nn + (n-1)*Nn-1 + ... + 2*N3 + N2 + 1
在一棵度最大为 4（这里用 n 表示，比较好，但是那个数学公式用代码表述比较麻烦，所以先用实数 4 举例）的树中，假设
- 0 度节点有
n0个 - 1 度节点有
n1个 - 2 度节点有
n2个 - 3 度节点有
n3个 - 4 度节点有
n4个
那么总节点数nodeNum的值为nodeNum = n0 + n1 + n2 + n3 + n4 从边的角度讲：
- 0 度节点有 0 个边
- 1 度节点有 1 个边
- 2 度节点有 2 个边
- 3 度节点有 3 个边
- 4 度节点有 4 个边
所以 edgeNum = 0*n0 + 1*n1 + 2*n2 + 3*n3 + 4*n4
又有nodeNum = edgeNum + 1 和 nodeNum = n0 + n1 + n2 + n3 + n4
可以得出 1*n1 + 2*n2 + 3*n3 + 4*n4 + 1 = n0 + n1 + n2 + n3 + n4
即叶子节点数量n0：n0 = 3*n4 + 2*n3 + n2 + 1
这个公式适用于任何多叉树叶子节点的计算，
- 3 叉树为：
n0 = 2*n3 + n2 + 1 - 5 叉树为：
n0 = 4*n5 + 3*n4 + 2*n3 + n2 + 1 - n 叉树为：
N0 = (n-1)*Nn + (n-1)*Nn-1 + ... + 2*N3 + N2 + 1(这里因为 md 不能用下标 n 这种表示，所以把 n 大写了。)
二叉树叶子节点公式 n0=n2+1
其中，二叉树的情况为：
节点的情况
- 0 度节点有
n0个 - 1 度节点有
n1个 - 2 度节点有
n2个
边的情况：
- 0 度节点有 0 个边
- 1 度节点有 1 个边
- 2 度节点有 2 个边
按照上述推导以后得出 n0 = n2 + 1，即叶子节点 比 2度节点多一个
二叉树左子树位置计算公式 nl = 2n + 1
假设现在有个一个节点，它在数组中下标为n,它和其左子树下标nl的关系是nl = 2n + 1,那右子树nr就是nl + 1即nr = 2n + 2。证明如下。
设想这棵二叉树只绘制填充到当前元素左子树被填充的情况（可以参考成下图，5 就是此时的 n）。
js
0
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1 2
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3 4 5 6
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7 8 9 10 11-
所有后续兄弟节点都没有子元素，即都是
叶子节点 -
所有前序兄弟都被填满，即所有前续兄弟都是
2度节点 -
叶子节点数量n0:n0 = 后续兄弟数量 + 前序兄弟 * 2 + 1，+1 是因为本节点的左子节点也是叶子节点。 -
此时
nl的位置就是当前节点位置加上所有叶子节点的数量即：nl = n + n0(等式 1) -
2度节点的数量为n2: 又由于当前节点之前所有节点都被填充满了，所以当前节点之前的节点，都是2度节点，那就是从 0 到 n-1，总共有 n 个，即n2 = n(等式 2) -
我们从上节推算出了二叉树中
叶子节点和2度节点的数量关系为n0 = n2 + 1(等式 3)
带入上述等式
js
nl = n + n0
n2 = n;
n0 = n2 + 1;
// 带入等式：
nl = n + n2 + 1
= n + n + 1
= 2n + 1那么右子树的位置就是 2n+2，n 的父元素的位置就是(n - 1) / 2，对结果向下取整。
完全二叉树的层高：log2(n+1)取上界
- 在完全二叉树中，第 l 层（层数从 1 开始计算），最多存放 2^(l-1) 个节点。例如第 1 层有 1 个节点（根节点），第 2 层有 2 个节点，第 3 层有 4 个节点。
- 那么本层最后一个元素的就是第
1 + 2 + 4 + ... + 2^(l-1)个元素，即2^l - 1 - 上一层最后一个元素就是第
2^(l-1) - 1个。 - 那么第 n 层元素存放的就是 第
2^(l-1)到2^l - 1个。
例如当前有个元素，它的下标为 n，那么，它就是第n+1个元素，假设它所处的层级是第 l 层，就有表达式：2^(l-1) <= n+1 < 2^l(注意，2^l 即下层第一个元素)，取对数得l-1 <= log2(n+1) < l
即 l 层高为：log2(n+1)的上界(如果不是整数，就向上取整，如果是整数，就+1)。eg：
- 索引为 6 的元素，层高为
log2(6+1)的上界，2.88，取上界为 3。 - 索引为 7 的元素，层高为
log2(7+1)的上界，3，取上界为 4。