【等差数列
⟹ \Longrightarrow ⟹ 通项公式： a n = a 1 + ( n − 1 ) d = a m + ( n − m ) d = n d + a 1 − d = A n + B a_n= a_1+(n-1)d =a_m+(n-m)d=nd+a_1-d=An+B an=a1+(n−1)d=am+(n−m)d=nd+a1−d=An+B ⟹ \Longrightarrow ⟹ A = d ， B = a 1 − d A=d，B=a_1-d A=d，B=a1−d
⟹ \Longrightarrow ⟹ 求和公式： S n = n ( a 1 + a n ) 2 = n a n + 1 2 （ n 为偶数时，可虚拟小数） = n a 1 + n ( n − 1 ) 2 d = d 2 n 2 + ( a 1 − d 2 ) n = C n 2 + D n S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_{\frac{n+1}{2}}（n为偶数时，可虚拟小数）=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n=Cn^2+Dn Sn=2n(a1+an)=na2n+1（n为偶数时，可虚拟小数）=na1+2n(n−1)d=2dn2+(a1−2d)n=Cn2+Dn ⟹ \Longrightarrow ⟹ C = d 2 ， D = a 1 − d 2 C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2} C=2d，D=a1−2d
其中，
S n = n a n + 1 2 S_n=na_{\frac{n+1}{2}} Sn=na2n+1 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 相同的奇数项和之比 a k b k \frac{a_k}{b_k} bkak= S 2 k − 1 T 2 k − 1 \frac{S_{2k-1}}{T_{2k-1}} T2k−1S2k−1
S n = d 2 n 2 + ( a 1 − d 2 ) n S_n=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n Sn=2dn2+(a1−2d)n ⟹ \Longrightarrow ⟹ 对称轴为 n = − a 1 − d 2 2 × d 2 = 1 2 − a 1 d n=-\frac{a_1-\frac{d}{2}}{2×\frac{d}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d} n=−2×2da1−2d=21−da1，最值取在最靠近对称轴的整数处
⟹ \Longrightarrow ⟹下标和：＋
⟹ \Longrightarrow ⟹连续等长片段和/前n项和：新公差为 d n 2 dn^2 dn2
⟹ \Longrightarrow ⟹ 偶数项和与奇数项和之比：
若等差数列一共有 2 n 2n 2n项，则 S 偶 − S 奇 = n d ， S 偶 S 奇 = a n + 1 a n S_偶-S_奇=nd，\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{a_{n+1}}{a_n} S偶−S奇=nd，S奇S偶=anan+1。
若等差数列一共有 2 n --- 1 2n---1 2n---1项，则 S 奇 − S 偶 = a n + 1 S_奇-S_偶=a_{n+1} S奇−S偶=an+1， S 奇 S 偶 = n n − 1 \frac{S_奇}{S_偶}=\frac{n}{n-1} S偶S奇=n−1n， S 2 n − 1 = S 奇 + S 偶 = ( 2 n − 1 ) a n S_{2n-1}=S_奇+S_偶=(2n-1)a_n S2n−1=S奇+S偶=(2n−1)an
⟹ \Longrightarrow ⟹ a n a_n an与 S n S_n Sn的快速转换： S n S_n Sn的二次项系数是 a n a_n an一次项系数的一半， a n a_n an的一次项系数是 S n S_n Sn二次项系数的二倍
⟹ \Longrightarrow ⟹ 轮换对称性
⟹ \Longrightarrow ⟹ 判定等差数列：①定义法： a n − a n − 1 = d a_n-a_{n-1}=d an−an−1=d;②通项形如 a n = A n + B a_n=An+B an=An+B;③前n项和形如 S n − C n 2 + D n S_n-Cn^2+Dn Sn−Cn2+Dn】
类比记忆法：牢记等差，引出等比
【等比数列
⟹ \Longrightarrow ⟹ 通项公式： a n = a 1 q n − 1 = a m q n − m = a k q n − k = a 1 q q n a_n=a_1q^{n-1}=a_mq^{n-m}=a_kq^{n-k}=\frac{a_1}{q}q^n an=a1qn−1=amqn−m=akqn−k=qa1qn
⟹ \Longrightarrow ⟹ 前n项和公式：当q=1时， S n = n a 1 ；当 q ≠ 1 时， S n = a 1 ( 1 − q n ) 1 − q = a 1 − a n q 1 − q = a 1 − a n + 1 1 − q S_n=na_1；当q≠1时，S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q}=\frac{a_1-a_{n+1}}{1-q} Sn=na1；当q=1时，Sn=1−qa1(1−qn)=1−qa1−anq=1−qa1−an+1
⟹ \Longrightarrow ⟹下标和：×
⟹ \Longrightarrow ⟹ 连续等长片段和：新公比为 q n q^n qn
⟹ \Longrightarrow ⟹ 偶数项和与奇数项和之比：
若等比数列一共有 2 n 2n 2n项，则 S 偶 S 奇 = q \frac{S_偶}{S_奇}=q S奇S偶=q。
若等比数列一共有 2 n 一 1 2n一1 2n一1项，则 S 奇 S_奇 S奇与 S 偶 S_偶 S偶之间的关系无规律。】
【莫名巧合：等差数列
通项公式： a n = A n + B a_n=An+B an=An+B ⟹ \Longrightarrow ⟹ A = d ， B = a 1 − d A=d，B=a_1-d A=d，B=a1−d
求和公式： S n = C n 2 + D n S_n=Cn^2+Dn Sn=Cn2+Dn ⟹ \Longrightarrow ⟹ C = d 2 ， D = a 1 − d 2 C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2} C=2d，D=a1−2d
所以记住， A = d ， B = a 1 − d ， C = d 2 ， D = a 1 − d 2 ，验证： A + B = C + D A=d，B=a_1-d，C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2}，验证：A+B=C+D A=d，B=a1−d，C=2d，D=a1−2d，验证：A+B=C+D】
【递推数列
⟹ \Longrightarrow ⟹类等差数列 ⟹ \Longrightarrow ⟹累加法 ⟹ \Longrightarrow ⟹形如 a n + 1 = a n + f ( n ) 或 a n + 1 − a n = f ( n ) a_{n+1}=a_n+f(n)或a_{n+1}-a_n=f(n) an+1=an+f(n)或an+1−an=f(n) ⟹ \Longrightarrow ⟹写出若干项，再相加求解。
⟹ \Longrightarrow ⟹类等比数列 ⟹ \Longrightarrow ⟹累乘法 ⟹ \Longrightarrow ⟹ a n + 1 = a n ⋅ f ( n ) 或 a n + 1 a n = f ( n ) a_{n+1}=a_n·f(n)或\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n) an+1=an⋅f(n)或anan+1=f(n) ⟹ \Longrightarrow ⟹写出若干项，再相乘求解。
⟹ \Longrightarrow ⟹构造等差数列 ⟹ \Longrightarrow ⟹满足 b n + 1 − b n = 常数 b_{n+1}-b_n=常数 bn+1−bn=常数 ⟹ \Longrightarrow ⟹结论1：当看到 a n + 1 = a n c a n + 1 a_{n+1}=\frac{a_n}{ca_n+1} an+1=can+1an，那么{ 1 a n \frac{1}{a_n} an1}为等差数列；结论2：当看到 a n + 1 = q a n + q n a_{n+1}=qa_n+q^n an+1=qan+qn，两边同时除以 q n + 1 q^{n+1} qn+1来构造等差数列。
⟹ \Longrightarrow ⟹构造等比数列 ⟹ \Longrightarrow ⟹满足 b n + 1 b n = 常数 \frac{b_{n+1}}{b_n}=常数 bnbn+1=常数 ⟹ \Longrightarrow ⟹结论1：当看到 a n + 1 = q a n + c a_{n+1}= qa_n+c an+1=qan+c时，转化为 a n + 1 + k = q ( a n + k ) a_{n+1}+k=q(a_n+k) an+1+k=q(an+k)，其中 k = c q − 1 k=\frac{c}{q-1} k=q−1c，构造等比数列即可。或者，类一次函数， a n + 1 = A ⋅ a n + B a_{n+1}=A·a_n+B an+1=A⋅an+B，构造等比数法， b n = a n + B A − 1 b_n=a_n+\frac{B}{A-1} bn=an+A−1B。结论2：当看到 a n + 1 = A a n + B n + C a_{n+1}=Aa_n+Bn+C an+1=Aan+Bn+C型，可化成 a n + 1 + p ( n + 1 ) + q = A ( a n + p n + q ) a_{n+1}+p(n+1)+q=A(a_n+pn+q) an+1+p(n+1)+q=A(an+pn+q)的形式来求通项。
⟹ \Longrightarrow ⟹没上述特点，列举前面若干项，寻找规律】
文章目录
- 数列
-
- 2023
-
- [真题（2023-18）-代数-数列-等比数列-性质-递增需要 a 1 ＞ 1 ， q ＞ 1 a_1＞1，q＞1 a1＞1，q＞1；-代数-方程-一元二次方程-根-因式分解](#真题（2023-18）-代数-数列-等比数列-性质-递增需要 a 1 ＞ 1 ， q ＞ 1 a_1＞1，q＞1 a1＞1，q＞1；-代数-方程-一元二次方程-根-因式分解)
- [真题（2023-24）-代数-数列-等比数列- a n a_n an与 S n S_n Sn的关系（重要）](#真题（2023-24）-代数-数列-等比数列- a n a_n an与 S n S_n Sn的关系（重要）)
- 2022
-
- 真题（2022-19）-代数-数列-等比数列-出现"三个数"-等比中项；-几何-平面几何
- [真题（2022-21）-代数-数列-等比数列-出现"三个数"，用等比中项- a c = b 2 ac=b^2 ac=b2；-代数-几何-平面几何-三角形-勾股定理](#真题（2022-21）-代数-数列-等比数列-出现“三个数”，用等比中项- a c = b 2 ac=b^2 ac=b2；-代数-几何-平面几何-三角形-勾股定理)
- 真题（2022-23）-代数-数列-等比数列-出现"三个数"，用等比中项；+代数-函数-一元二次函数
- [真题（2022-24）-代数-数列-等差数列-判定等差数列：①定义法： a n − a n − 1 = d a_n-a_{n-1}=d an−an−1=d;②通项形如 a n = A n + B a_n=An+B an=An+B;③前n项和形如 S n − C n 2 + D n S_n-Cn^2+Dn Sn−Cn2+Dn；-代数-数列-递推数列-形如 a n + 1 = a n + f ( n ) 或 a n + 1 − a n = f ( n ) a_{n+1}=a_n+f(n)或a_{n+1}-a_n=f(n) an+1=an+f(n)或an+1−an=f(n)，称为类等差数列，可以写出若干项，再相加求解。=先写出若干项，再用累加法求解。](#真题（2022-24）-代数-数列-等差数列-判定等差数列：①定义法： a n − a n − 1 = d a_n-a_{n-1}=d an−an−1=d;②通项形如 a n = A n + B a_n=An+B an=An+B;③前n项和形如 S n − C n 2 + D n S_n-Cn^2+Dn Sn−Cn2+Dn；-代数-数列-递推数列-形如 a n + 1 = a n + f ( n ) 或 a n + 1 − a n = f ( n ) a_{n+1}=a_n+f(n)或a_{n+1}-a_n=f(n) an+1=an+f(n)或an+1−an=f(n)，称为类等差数列，可以写出若干项，再相加求解。=先写出若干项，再用累加法求解。)
- 2021
- 2020
-
- [真题（2020-05）-代数-数列-等差数列-最值-等差数列的前n项和可以整理成一元二次函数的形式： S n = d 2 n 2 + ( a 1 − d 2 ) n S_n=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n Sn=2dn2+(a1−2d)n，对称轴为 n = − a 1 − d 2 2 × d 2 = 1 2 − a 1 d n=-\frac{a_1-\frac{d}{2}}{2×\frac{d}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d} n=−2×2da1−2d=21−da1，最值取在最靠近对称轴的整数处。or-莫名巧合：等差数列-通项公式： a n = A n + B a_n=An+B an=An+B ⟹ \Longrightarrow ⟹ A = d ， B = a 1 − d A=d，B=a_1-d A=d，B=a1−d；求和公式： S n = C n 2 + D n S_n=Cn^2+Dn Sn=Cn2+Dn ⟹ \Longrightarrow ⟹ C = d 2 ， D = a 1 − d 2 C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2} C=2d，D=a1−2d，所以记住， A = d ， B = a 1 − d ， C = d 2 ， D = a 1 − d 2 ，验证： A + B = C + D A=d，B=a_1-d，C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2}，验证：A+B=C+D A=d，B=a1−d，C=2d，D=a1−2d，验证：A+B=C+D](#真题（2020-05）-代数-数列-等差数列-最值-等差数列的前n项和可以整理成一元二次函数的形式： S n = d 2 n 2 + ( a 1 − d 2 ) n S_n=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n Sn=2dn2+(a1−2d)n，对称轴为 n = − a 1 − d 2 2 × d 2 = 1 2 − a 1 d n=-\frac{a_1-\frac{d}{2}}{2×\frac{d}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d} n=−2×2da1−2d=21−da1，最值取在最靠近对称轴的整数处。or-莫名巧合：等差数列-通项公式： a n = A n + B a_n=An+B an=An+B ⟹ \Longrightarrow ⟹ A = d ， B = a 1 − d A=d，B=a_1-d A=d，B=a1−d；求和公式： S n = C n 2 + D n S_n=Cn^2+Dn Sn=Cn2+Dn ⟹ \Longrightarrow ⟹ C = d 2 ， D = a 1 − d 2 C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2} C=2d，D=a1−2d，所以记住， A = d ， B = a 1 − d ， C = d 2 ， D = a 1 − d 2 ，验证： A + B = C + D A=d，B=a_1-d，C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2}，验证：A+B=C+D A=d，B=a1−d，C=2d，D=a1−2d，验证：A+B=C+D)
- 真题（2020-11）-代数-数列-递推数列-没特点，列举若干项，找周期；类等差数列，累加法；类等比数列，累乘法。
- 2019
-
- [真题（2019-15）-代数-数列-递推公式-构造等比数列-结论1：当看到 a n + 1 = q a n + c a_{n+1}= qa_n+c an+1=qan+c时，转化为 a n + 1 + k = q ( a n + k ) a_{n+1}+k=q(a_n+k) an+1+k=q(an+k)，其中 k = c q − 1 k=\frac{c}{q-1} k=q−1c，构造等比数列即可。](#真题（2019-15）-代数-数列-递推公式-构造等比数列-结论1：当看到 a n + 1 = q a n + c a_{n+1}= qa_n+c an+1=qan+c时，转化为 a n + 1 + k = q ( a n + k ) a_{n+1}+k=q(a_n+k) an+1+k=q(an+k)，其中 k = c q − 1 k=\frac{c}{q-1} k=q−1c，构造等比数列即可。)
- 真题（2019-16）-代数-数列-等比数列-数列的判定-
- [真题（2019-25）-代数-数列-等差数列-数列判定-特征判断法- S n S_n Sn的特征：形如一个没有常数项的一元二次函数： S n = C n 2 + D n S_n=Cn^2+Dn Sn=Cn2+Dn（C,D为常数）](#真题（2019-25）-代数-数列-等差数列-数列判定-特征判断法- S n S_n Sn的特征：形如一个没有常数项的一元二次函数： S n = C n 2 + D n S_n=Cn^2+Dn Sn=Cn2+Dn（C,D为常数）)
- 2018
-
- 真题（2018-07）-代数-数列-等比数列-无穷等比数列
- [真题（2018-17）-B-代数-数列-等差数列-求和公式： S n = n ( a 1 + a n ) 2 = n a n + 1 2 （ n 为偶数时，可虚拟小数） = n a 1 + n ( n − 1 ) 2 d = d 2 n 2 + ( a 1 − d 2 ) n S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_{\frac{n+1}{2}}（n为偶数时，可虚拟小数）=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n Sn=2n(a1+an)=na2n+1（n为偶数时，可虚拟小数）=na1+2n(n−1)d=2dn2+(a1−2d)n](#真题（2018-17）-B-代数-数列-等差数列-求和公式： S n = n ( a 1 + a n ) 2 = n a n + 1 2 （ n 为偶数时，可虚拟小数） = n a 1 + n ( n − 1 ) 2 d = d 2 n 2 + ( a 1 − d 2 ) n S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_{\frac{n+1}{2}}（n为偶数时，可虚拟小数）=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n Sn=2n(a1+an)=na2n+1（n为偶数时，可虚拟小数）=na1+2n(n−1)d=2dn2+(a1−2d)n)
- 2017
- 2016
- 2015
-
- 真题（2015-20）-E-代数-数列-等差数列
- [真题（2015-23）-代数-数列-等差数列-前n项和的最值-若 a 1 < 0 ， d > 0 a_1<0，d>0 a1<0，d>0时， S n S_n Sn有最小值。](#真题（2015-23）-代数-数列-等差数列-前n项和的最值-若 a 1 < 0 ， d > 0 a_1<0，d>0 a1<0，d>0时， S n S_n Sn有最小值。)
- 2014
-
- 真题（2014-07）-代数-数列-等差数列-出现"三"，用等差中项-
- 真题（2014-18）-代数-数列-等差数列&等比数列-既是等差数列又是等比数列的数列是非零的常数列
- [真题（2014-21）-A-代数-数列-等差数列；-方程-一元二次方程-判别式- △ = b 2 − 4 a c △=b^2-4ac △=b2−4ac](#真题（2014-21）-A-代数-数列-等差数列；-方程-一元二次方程-判别式- △ = b 2 − 4 a c △=b^2-4ac △=b2−4ac)
- 2013
-
- [真题（2013-13）-代数-数列-等差数列-下标和公式；-代数-方程-一元二次方程-韦达定理- x 1 + x 2 = − b / a x_1+x_2=-b/a x1+x2=−b/a](#真题（2013-13）-代数-数列-等差数列-下标和公式；-代数-方程-一元二次方程-韦达定理- x 1 + x 2 = − b / a x_1+x_2=-b/a x1+x2=−b/a)
- 真题（2013-25）-代数-数列-递推公式-难度升级-中间段才出现周期
数列
2023
真题（2023-18）-代数-数列-等比数列-性质-递增需要 a 1 ＞ 1 ， q ＞ 1 a_1＞1，q＞1 a1＞1，q＞1；-代数-方程-一元二次方程-根-因式分解
真题（2023-24）-代数-数列-等比数列- a n a_n an与 S n S_n Sn的关系（重要）
2022
有趣，2022年跟等比中项杠上了
真题（2022-19）-代数-数列-等比数列-出现"三个数"-等比中项；-几何-平面几何
19.在△ 𝐴𝐵𝐶 中，𝐷 为 𝐵𝐶 边上的点， 𝐵𝐷 、 𝐴𝐵 、𝐵𝐶成等比数列，则 ∠𝐵𝐴𝐶 = 90°。
（1）𝐵𝐷 = 𝐷𝐶。
（2） 𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐶。
真题（2022-21）-代数-数列-等比数列-出现"三个数"，用等比中项- a c = b 2 ac=b^2 ac=b2；-代数-几何-平面几何-三角形-勾股定理
21.某直角三角形的三边长 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 成等比数列，则能确定公比的值。
（1）𝑎 是直角边长。
（2）𝑐 是斜边长。
真题（2022-23）-代数-数列-等比数列-出现"三个数"，用等比中项；+代数-函数-一元二次函数
23.已知𝑎，𝑏为实数，则能确定𝑎的值。
（1）𝑎，𝑏，𝑎 + 𝑏成等比数列。
（2）𝑎(𝑎 + 𝑏) > 0。
真题（2022-24）-代数-数列-等差数列-判定等差数列：①定义法： a n − a n − 1 = d a_n-a_{n-1}=d an−an−1=d;②通项形如 a n = A n + B a_n=An+B an=An+B;③前n项和形如 S n − C n 2 + D n S_n-Cn^2+Dn Sn−Cn2+Dn；-代数-数列-递推数列-形如 a n + 1 = a n + f ( n ) 或 a n + 1 − a n = f ( n ) a_{n+1}=a_n+f(n)或a_{n+1}-a_n=f(n) an+1=an+f(n)或an+1−an=f(n)，称为类等差数列，可以写出若干项，再相加求解。=先写出若干项，再用累加法求解。
24.已知正数列{ a n a_n an}，则{ a n a_n an}是等差数列。
（1） a n + 1 2 − a n 2 = 2 n , n = 1 , 2 , . . . a_{n+1}^2-a_n^2=2n,n=1,2,... an+12−an2=2n,n=1,2,...。
（2） a 1 + a 3 = 2 a 2 a_1+a_3=2a_2 a1+a3=2a2。
2021
真题（2021-02）-代数-数列-等差数列-出现"三"，用等差中项，2b=a+c；-前10题特值法、设未知数
2.三位年轻人的年龄成等差数列，且最大与最小的两人年龄差的10倍是另一人的年龄，则三人中年龄最大的是( )。
A.19
B.20
C.21
D.22
E.23
真题（2021-24）-代数-数列-等比数列-等比数列判定-特征判断法-
24.已知数列{ a n a_n an}，则数列{ a n a_n an}为等比数列。
（1） a n a n + 1 ＞ 0 a_na_{n+1}＞0 anan+1＞0。
（2） a n + 1 2 − 2 a n 2 − a n a n + 1 = 0 a^2_{n+1}-2a^2_n-a_na_{n+1}=0 an+12−2an2−anan+1=0。
真题（2021-25）-代数-数列-等差数列和等比数列；-几何-平面几何-三角形-相似；这种纯文字题，需要设未知数，但是很麻烦
25.给定两个直角三角形，则这两个直角三角形相似。
（1）每个直角三角形边长成等比数列。
（2）每个直角三角形边长成等差数列。
2020
真题（2020-05）-代数-数列-等差数列-最值-等差数列的前n项和可以整理成一元二次函数的形式： S n = d 2 n 2 + ( a 1 − d 2 ) n S_n=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n Sn=2dn2+(a1−2d)n，对称轴为 n = − a 1 − d 2 2 × d 2 = 1 2 − a 1 d n=-\frac{a_1-\frac{d}{2}}{2×\frac{d}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d} n=−2×2da1−2d=21−da1，最值取在最靠近对称轴的整数处。or-莫名巧合：等差数列-通项公式： a n = A n + B a_n=An+B an=An+B ⟹ \Longrightarrow ⟹ A = d ， B = a 1 − d A=d，B=a_1-d A=d，B=a1−d；求和公式： S n = C n 2 + D n S_n=Cn^2+Dn Sn=Cn2+Dn ⟹ \Longrightarrow ⟹ C = d 2 ， D = a 1 − d 2 C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2} C=2d，D=a1−2d，所以记住， A = d ， B = a 1 − d ， C = d 2 ， D = a 1 − d 2 ，验证： A + B = C + D A=d，B=a_1-d，C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2}，验证：A+B=C+D A=d，B=a1−d，C=2d，D=a1−2d，验证：A+B=C+D
5、若等差数列{ a n a_n an} 满足 a 1 = 8 a_1=8 a1=8，且 a 2 + a 4 = a 1 a_2+a_4=a_1 a2+a4=a1，则{ a n a_n an} 的前n 项和的最大值为（ ）
A.16
B.17
C.18
D.19
E.20
最值 ：
1.等差数列前n项和 S n S_n Sn有最值的条件
（1）若 a 1 < 0 ， d > 0 a_1<0，d>0 a1<0，d>0时， S n S_n Sn有最小值。
（2）若 a 1 > 0 ， d < 0 a_1>0，d<0 a1>0，d<0时， S n S_n Sn有最大值。
2.求解等差数列 S n S_n Sn最值的方法
（1）一元二次函数法
等差数列的前n项和可以整理成一元二次函数的形式： S n = d 2 n 2 + ( a 1 − d 2 ) n S_n=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n Sn=2dn2+(a1−2d)n，对称轴为 n = − a 1 − d 2 2 × d 2 = 1 2 − a 1 d n=-\frac{a_1-\frac{d}{2}}{2×\frac{d}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d} n=−2×2da1−2d=21−da1，最值取在最靠近对称轴的整数处。
特别地，若 S m = S n S_m=S_n Sm=Sn，即 S m + n = 0 S_{m+n}=0 Sm+n=0时，对称轴为 m + n 2 \frac{m+n}{2} 2m+n。
（2） a n = 0 a_n=0 an=0法
最值一定在"变号"时取得，可令a=0，则有
① 若解得n为整数，则 S n = S n − 1 S_n=S_{n-1} Sn=Sn−1均为最值。例如，若解得n=6，则 S 6 = S 5 S_6=S_5 S6=S5为其最值。
② 若解得n为非整数，则当n取其整数部分m（m=[n]）时， S m S_m Sm取到最值。例如，若解得n=6.9，则 S 6 S_6 S6为其最值。
真题（2020-11）-代数-数列-递推数列-没特点，列举若干项，找周期；类等差数列，累加法；类等比数列，累乘法。
11、已知数列{ a n a_n an}满足 a 1 = 1 a_1=1 a1=1， a 2 = 2 a_2=2 a2=2，且 a n + 2 = a n + 1 − a n ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) a_{n+2}=a_{n+1}-a_n(n=1,2,3,...) an+2=an+1−an(n=1,2,3,...)，则 a 100 a_{100} a100=（ ）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
E.0
2019
真题（2019-15）-代数-数列-递推公式-构造等比数列-结论1：当看到 a n + 1 = q a n + c a_{n+1}= qa_n+c an+1=qan+c时，转化为 a n + 1 + k = q ( a n + k ) a_{n+1}+k=q(a_n+k) an+1+k=q(an+k)，其中 k = c q − 1 k=\frac{c}{q-1} k=q−1c，构造等比数列即可。
-秒杀：复杂选项（选多法）：复杂选项可秒杀，按多的选（选多法），选项哪些因素出现多，就选哪些（90%准确率）1、99多，排除选项DE；2、-1，+1多，排除选项B。结果只能是A,C。看题干a1=0，C任何情况的不为0，所以选A。
15、设数列{ a n {a_n} an}满足 a 1 = 0 , a n + 1 − 2 a n = 1 a_1=0,a_{n+1}-2a_n=1 a1=0,an+1−2an=1，则 a 100 = a_{100}= a100=（）
A. 2 99 − 1 2^{99}-1 299−1
B. 2 99 2^{99} 299
C. 2 99 + 1 2^{99}+1 299+1
D. 2 100 − 1 2^{100}-1 2100−1
E. 2 100 + 1 2^{100}+1 2100+1
秒杀：复杂选项（选多法）：复杂选项可秒杀，按多的选（选多法），选项哪些因素出现多，就选哪些（90%准确率）1、99多，排除选项DE；2、-1，+1多，排除选项B。结果只能是A,C。看题干a1=0，C任何情况的不为0，所以选A。
真题（2019-16）-代数-数列-等比数列-数列的判定-
16、甲、乙、丙三人各自拥有不超过10本图书，甲再购入2本图书后，他们拥有的图书量构成等比数列，则能确定甲拥有图书的数量。
(1) 已知乙拥有的图书数量。
(2) 已知丙拥有的图书数量。
真题（2019-25）-代数-数列-等差数列-数列判定-特征判断法- S n S_n Sn的特征：形如一个没有常数项的一元二次函数： S n = C n 2 + D n S_n=Cn^2+Dn Sn=Cn2+Dn（C,D为常数）
25、设数列{ a n a_n an}的前n项和为 S n S_n Sn，则{ a n a_n an}等差。
（1） S n = n 2 + 2 n , n = 1 , 2 , 3 S_n=n^2+2n,n=1,2,3 Sn=n2+2n,n=1,2,3。
（2） S n = n + 2 n + 1 , n = 1 , 2 , 3 S_n=n^+2n+1,n=1,2,3 Sn=n+2n+1,n=1,2,3。
2018
真题（2018-07）-代数-数列-等比数列-无穷等比数列
7.四边形 A 1 B 1 C 1 D 1 A_1B_1C_1D_1 A1B1C1D1是平行四边形， A 2 B 2 C 2 D 2 A_2B_2C_2D_2 A2B2C2D2是 A 1 B 1 C 1 D 1 A_1B_1C_1D_1 A1B1C1D1四边的中点， A 3 B 3 C 3 D 3 A_3B_3C_3D_3 A3B3C3D3分别是 A 2 B 2 C 2 D 2 A_2B_2C_2D_2 A2B2C2D2四边中点，依次下去，得到四边形序列 A n B n C n D n A_nB_nC_nD_n AnBnCnDn(n = 1、2、3...) ，设 A n B n C n D n A_nB_nC_nD_n AnBnCnDn面积为 S n S_n Sn，且 S 1 = 12 S_1=12 S1=12，则 S 1 + S 2 + S 3 + . . . = （） S_1+S_2+S_3+...=（） S1+S2+S3+...=（）
A. 16 16 16
B. 20 20 20
C. 24 24 24
D. 28 28 28
E. 30 30 30
真题（2018-17）-B-代数-数列-等差数列-求和公式： S n = n ( a 1 + a n ) 2 = n a n + 1 2 （ n 为偶数时，可虚拟小数） = n a 1 + n ( n − 1 ) 2 d = d 2 n 2 + ( a 1 − d 2 ) n S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_{\frac{n+1}{2}}（n为偶数时，可虚拟小数）=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n Sn=2n(a1+an)=na2n+1（n为偶数时，可虚拟小数）=na1+2n(n−1)d=2dn2+(a1−2d)n
17.{ a n a_n an}等差数列，则能确定 a 1 + a 2 + . . . + a 9 a_1+a_2+...+a_9 a1+a2+...+a9的值。
（1）已知 a 1 a_1 a1的值。
（2）已知 a 5 a_5 a5的值。
2017
真题（2017-03）-代数-数列-等差数列-出现"三"-等差中项-数列应用题
3.甲、乙、丙三种货车载重量成等差数列，2 辆甲种车和 1 辆乙种车的满载量为 95 吨，1辆甲种车和 3 辆丙种车载重量为 150 吨，则用甲、乙、丙各一辆车一次最多运送货物为（ ）吨。
A.125
B.120
C.115
D.110
E.105
2016
真题（2016-24）-代数-数列-递推公式-直接计算法-举反例
24.已知数列 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a 10 a_1,a_2,a_3,...,a_{10} a1,a2,a3,...,a10，则 a 1 − a 2 + a 3 − . . . + a 9 − a 10 ≥ 0 a_1-a_2+a_3-...+a_9-a_{10}≥0 a1−a2+a3−...+a9−a10≥0
（1） a n ≥ a n + 1 , n = 1 , 2 , . . . , 9 a_n≥a_{n+1},n=1,2,...,9 an≥an+1,n=1,2,...,9
（2） a n 2 ≥ a n + 1 2 , n = 1 , 2 , . . . , 9 a_n^2≥a_{n+1}^2,n=1,2,...,9 an2≥an+12,n=1,2,...,9
2015
真题（2015-20）-E-代数-数列-等差数列
20.设{ a n a_n an}是等差数列，则能确定数列{ a n a_n an}。
（1） a 1 + a 6 = 0 a_1+a_6=0 a1+a6=0
（2） a 1 a 6 = − 1 a_1a_6=-1 a1a6=−1
真题（2015-23）-代数-数列-等差数列-前n项和的最值-若 a 1 < 0 ， d > 0 a_1<0，d>0 a1<0，d>0时， S n S_n Sn有最小值。
23.已知数列{ a n a_n an}是公差大于零的等差数列，{ S n S_n Sn}是{ a n a_n an}的前n 项和。则 S n ≥ S 10 ， n = 1 , 2 , . . . S_n≥S_{10}，n=1,2,... Sn≥S10，n=1,2,...
（1） a 10 = 0 a_{10}=0 a10=0
（2） a 11 a 10 ＜ 0 a_{11}a_{10}＜0 a11a10＜0
2014
真题（2014-07）-代数-数列-等差数列-出现"三"，用等差中项-
7.已知{ a n a_n an}为等差数列，且 a 2 − a 5 + a 8 = 9 a_2-a_5+a_8=9 a2−a5+a8=9 ，则 a 1 + a 2 + . . . + a 9 = （） a_1+a_2+...+a_9=（ ） a1+a2+...+a9=（）
A.27
B.45
C.54
D.81
E.182
真题（2014-18）-代数-数列-等差数列&等比数列-既是等差数列又是等比数列的数列是非零的常数列
18.甲、乙、丙三人的年龄相同
（1）甲、乙、丙的年龄成等差数列
（2）甲、乙、丙的年龄成等比数列
真题（2014-21）-A-代数-数列-等差数列；-方程-一元二次方程-判别式- △ = b 2 − 4 a c △=b^2-4ac △=b2−4ac
21.方程 x 2 + 2 ( a + b ) x + c 2 = 0 x^2+2(a+b)x+c^2=0 x2+2(a+b)x+c2=0 有实根。
（1） a, b, c 是一个三角形的三边长。
（2）实数a, b, c 成等差数列。
2013
真题（2013-13）-代数-数列-等差数列-下标和公式；-代数-方程-一元二次方程-韦达定理- x 1 + x 2 = − b / a x_1+x_2=-b/a x1+x2=−b/a
13.已知{ a n a_n an}为等差数列，若 a 2 a_2 a2和 a 10 a_{10} a10是方程 x 2 − 10 x − 9 = 0 x^2-10x-9=0 x2−10x−9=0的两个根，则 a 5 + a 7 = a_5+a_7= a5+a7=（ ）。
A. − 10 -10 −10
B. − 9 -9 −9
C. 9 9 9
D. 10 10 10
E. 12 12 12
真题（2013-25）-代数-数列-递推公式-难度升级-中间段才出现周期
25.设 a 1 = 1 , a 2 = k , . . . , a n + 1 = ∣ a n − a n − 1 ∣ , ( n ≥ 2 ) a_1=1,a_2=k,...,a_{n+1}=|a_n-a_{n-1}|,(n≥2) a1=1,a2=k,...,an+1=∣an−an−1∣,(n≥2) ，则 a 100 + a 101 + a 102 = 2 a_{100}+a_{101}+a_{102}=2 a100+a101+a102=2
（1） k = 2 k = 2 k=2
（2）k 是小于 20 的正整数
