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题目描述
给定一个包含 n n n 个点 m m m 条边的有向图，并给定每条边的容量，边的容量非负。
图中可能存在重边和自环。求从点 S S S 到点 T T T 的最小割。
输入格式
第一行包含四个整数 n , m , S , T n,m,S,T n,m,S,T。
接下来 m m m 行，每行三个整数 u , v , c u,v,c u,v,c，表示从点 u u u 到点 v v v 存在一条有向边，容量为 c c c。
点的编号从 1 1 1 到 n n n。
输出格式
输出点 S S S 到点 T T T 的最小割。
如果从点 S S S 无法到达点 T T T 则输出 0 0 0。
数据范围
2 ≤ n ≤ 10000 2 \le n \le 10000 2≤n≤10000,
1 ≤ m ≤ 100000 1 \le m \le 100000 1≤m≤100000,
0 ≤ c ≤ 10000 0 \le c \le 10000 0≤c≤10000,
S ≠ T S \neq T S=T
思路
最大流最小割定理
对于任意一个流网络 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 都满足：
- 可行流 f f f 是最大流。
⇔ \Leftrightarrow ⇔
- 可行流 f f f 的残量网络中不存在增广路。
⇔ \Leftrightarrow ⇔
- ∃ [ S , T ] , ∣ f ∣ = c ( S , T ) \exist [\text S,\text T],|f|=c(\text S,\text T) ∃[S,T],∣f∣=c(S,T)。
证明：
- 1 ⇒ 2 1\Rightarrow 2 1⇒2：反证法。假设 f f f 是最大流，且 G f G_f Gf 存在增广路径。这说明 G f G_f Gf 存在至少一个流量大于 0 0 0 的可行流 f ′ f' f′。这样能构造出原网络中另一个可行流 f + f ′ f+f' f+f′，且 ∣ f + f ′ ∣ > ∣ f ∣ |f+f'|>|f| ∣f+f′∣>∣f∣，说明 f f f 不是最大流，与假设矛盾。
- 2 ⇒ 3 2\Rightarrow 3 2⇒3：构造一个割，使得它在残量网络中不存在增广路径，且 ∣ f ∣ = c ( S , T ) |f|=c(\text S,\text T) ∣f∣=c(S,T)。定义集合 S \text S S 为在 G f G_f Gf 中从 S S S 出发，沿容量大于 0 0 0 的边走能走到的所有的点。由于残量网络中不存在增广路径，所以集合 S \text S S 中不可能包含 T T T。在定义集合 T = V − S \text T = \text V - \text S T=V−S，即为构造的合法割。对于正向边 ( u , v ) [ u ∈ S , v ∈ T ] (u,v)[u\in \text S,v\in \text T] (u,v)[u∈S,v∈T]，由于 u , v u,v u,v 不相通，所以 f ′ ( u , v ) = 0 f'(u, v)=0 f′(u,v)=0，所以 f ( u , v ) = c ( u , v ) f(u,v)=c(u,v) f(u,v)=c(u,v)。对于反向边 ( u , v ) [ u ∈ T , v ∈ S ] (u,v)[u\in \text T,v\in \text S] (u,v)[u∈T,v∈S] 同理， c ′ ( v , u ) = 0 c'(v,u)=0 c′(v,u)=0，即 f ( u , v ) = 0 f(u,v)=0 f(u,v)=0。发现原网络中 ∀ ( u , v ) ( u ∈ S , v ∈ T ) \forall (u,v)(u\in\text S,v\in\text T) ∀(u,v)(u∈S,v∈T)，都有 f ( u , v ) = c ( u , v ) , f ( v , u ) = 0 f(u,v)=c(u,v),f(v,u)=0 f(u,v)=c(u,v),f(v,u)=0。因此 ∣ f ∣ = f ( S , T ) = ∑ u ∈ S ∑ v ∈ T f ( u , v ) − ∑ u ∈ S ∑ v ∈ T f ( v , u ) = ∑ u ∈ S ∑ v ∈ T f ( u , v ) = ∑ u ∈ S ∑ v ∈ T c ( u , v ) = c ( S , T ) |f|=f(\text S,\text T)=\sum_{u\in\text S}\sum_{v\in\text T}f(u,v)-\sum_{u\in\text S}\sum_{v\in\text T}f(v,u)=\sum_{u\in\text S}\sum_{v\in\text T}f(u,v)=\sum_{u\in\text S}\sum_{v\in\text T}c(u,v)=c(\text S,\text T) ∣f∣=f(S,T)=∑u∈S∑v∈Tf(u,v)−∑u∈S∑v∈Tf(v,u)=∑u∈S∑v∈Tf(u,v)=∑u∈S∑v∈Tc(u,v)=c(S,T)。
- 3 ⇒ 1 3\Rightarrow 1 3⇒1：由 本文 最小割的推论中已知 ∣ f ∣ ≤ c ( S , T ) |f|≤c(\text S,\text T) ∣f∣≤c(S,T)，且最大流是可行流的一种，所以最大流 ≤ c ( S , T ) \leq c(\text S,\text T) ≤c(S,T)。易知 ∣ f ∣ ≤ |f|\leq ∣f∣≤ 最大流，而 ∣ f ∣ = c ( S , T ) ≥ |f|=c(\text S,\text T)\geq ∣f∣=c(S,T)≥ 最大流。即 ∣ f ∣ ≥ |f|\geq ∣f∣≥ 最大流。综上得出 ∣ f ∣ = |f|= ∣f∣= 最大流。已证最大流 ≤ \leq ≤ 最小割，而最小割又是割的容量的最小值，得出最小割 ≤ c ( S , T ) = ∣ f ∣ ≤ \leq c(\text S,\text T)=|f|\leq ≤c(S,T)=∣f∣≤ 最大流，即最小割 ≤ \leq ≤ 最大流，最终得出最大流 = 最小割。
因此要求最小割，只需求原图的最大流即可。
Dinic 算法其实是 EK 算法的一个暴力的优化，EK 算法每次只能搜索一条增广路径，而 Dinic 算法每次都用 DFS 的形式尽可能多的搜索增广路径。
而图中可能存在环，为了保证 DFS 的过程中不会造成死循环，这里可以使用分层图，这样每次都是一层一层往下搜索，就不会出现死循环。
- BFS 建立分层图
- DFS 找出所有能增广的路径
- 累加最大流量
注意： Dinic 算法对于优化非常敏感，如果优化的不好就可能直接 TLE
算法时间复杂度 O ( n 2 m ) O(n^2m) O(n2m)
AC Code
C + + \text{C}++ C++
cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 10010, M = 200010;
const int INF = 1e9;
int n, m, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], f[M], idx;
int d[N], q[N], cur[N];
// d[] 存分层图中每个点的深度
// q[] 手写队列
// cur[] 当前弧优化
inline void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ; // 正向边
e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ; // 反向边，用于反悔
}
bool bfs()
{
memset(d, -1, sizeof d); // 记得初始化
int hh = 0, tt = 0;
q[0] = S, d[S] = 0, cur[S] = h[S];
// 将源点加入队列，源点深度为0，初始化源点当前弧为表头
while (hh <= tt)
{
int t = q[hh ++ ];
for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (d[j] == -1 && f[i]) // 存在增广路才能从这里分层
{
d[j] = d[t] + 1; // 更新深度
cur[j] = h[j]; // 所有点当前弧最开始都是表头
if (j == T) return true; // 如果找到汇点了就说明有增广路
q[ ++ tt] = j;
}
}
}
return false; // 没有增广路
}
int find(int u, int lim) // DFS，u是当前点，lim是u之前的路径能流过的最大值
{
if (u == T) return lim; // 如果已经流到汇点了就返回这个最大值
int flow = 0; // 当前往下流的流量
for (int i = cur[u]; ~i && flow < lim; cur[u] = i, i = ne[i])
// 注意应从当前弧开始遍历，并且每次要更新。没有剩余流量也应该退出
{
int j = e[i];
if (d[j] == d[u] + 1 && f[i])
// 按分层图遍历，防止死循环
{
int t = find(j, min(f[i], lim - flow));
// 找到后面能流的最大值
if (!t) d[j] = -1;
// 如果没有流量那么说明后面没有增广路了，这个点不会用到，将深度设为-1
f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
// 当前边减流量，反向边加流量，实际流量加流量
}
}
return flow;
}
int dinic()
{
int r = 0, flow = 0;
while (bfs()) while ((flow = find(S, INF))) r += flow;
// 只要存在增广路就一直DFS，直到DFS出的流量为0
return r;
}
int main()
{
int a, b, c;
memset(h, -1, sizeof h);
scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);
while (m -- )
{
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
add(a, b, c);
}
printf("%d\n", dinic());
return 0;
}
最后，如果觉得对您有帮助的话，点个赞再走吧！