信号与线性系统翻转课堂笔记18——z变换的应用

信号与线性系统翻转课堂笔记18------z变换的应用

The Flipped Classroom18 of Signals and Linear Systems

对应教材:《信号与线性系统分析(第五版)》高等教育出版社,吴大正著

一、要点

(1,重点)掌握不同收敛域对应的逆z变换求法:包括幂级数展开法和部分分式法;

(2)利用z变换求解线性常系数差分方程;

(3,重点)离散LTI系统的系统函数,基于系统函数的系统求解;

(4)离散LTI系统的z域框图,各种离散系统模型的转换;

(5)z变换与拉普拉斯变换之间的联系。

二、问题与解答

(1)

(*2)针对习题6.16(3)所给出的系统差分方程模型和初始条件,求解其零输入响应、零状态响应和全响应。并与习题6.17的求解过程和结果进行比较,说明它们的不同之处。

(*3)求解习题6.24,总结系统函数、z域框图、差分方程、单位 响应等离散系统模型之间相互转换的方法。

(*4)求解习题6.29,总结其求解思路。

(5)

1、收敛域与序列类型


(1)对于因果序列,若 z 变换存在,则收敛域为|z|>ρ1(ρ1为收敛半径)圆的外部。

(2)对于反因果序列,它的双边 z 变换可能存在,其收敛域为|z|<ρ2(ρ2亦称为收敛半径)。

(3)对于双边序列,它的双边 z 变换的收敛域为环状收敛域,而单边 z 变换的收敛域为ρ1圆的外部。存在双边 z 变换的双边序列也一定存在单边 z 变换,而存在单边 z 变换的双边序列却不一定存在双过 z 变换(譬如序列 a^k ,-∞<h<∞)

2、z变换法求解离散系统的响应

针对习题6.16(3)所给出的系统差分方程模型和初始条件,求解其零输入响应、零状态响应和全响应。并与习题6.17的求解过程和结果进行比较,说明它们的不同之处。


6.16(3)

6.17

6.16用到了单边左移位性质,6.17 用到了单边右移位性质。

在求6.16的全解时并没有分别求出零输入响应和零状态响应,而是直接通过逆z变换给出了全解。而6.17与6.16给出的初始条件有所不同,在求解6.17的全响应时是分开来求的,即求出零输入响应和零状态响应后再加和得到全响应。

3、离散系统模型之间的相互转换

求解习题6.24,总结系统函数、z域框图、差分方程、单位响应等离散系统模型之间相互转换的方法。


由z域框图可以写出Y(z)和F(z)之间的关系,由Y(z)/F(z)得到系统函数,然后由系统函数求得差分方程,系统函数进行z域逆变换得到单位序列响应。

4、

求解习题6.29,总结其求解思路。



5、


由上式可以看出:s平面的左半平面(σ<0)映射到z平面的单位圆内部(|z|=ρ<1);s平面的右半平面(σ>0)映射到z平面的单位圆外部(|z|=ρ>1);s平面的虚轴(σ=0)映射到z平面的单位圆上(|z|=ρ=1);s平面的实轴(w=0)映射到z平面的正实轴(θ=0),而原点(σ=0,w=0)映射为z平面上z=1的点(ρ=1,θ=0)。

三、反思总结

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