1. 递归函数
1.1 递归函数的定义
-
递归函数：即在函数体中出现调用自身的函数，即函数Func(Type a,......)直接或间接调用函数本身；
-
递归函数：在数学上，关于递归函数的定义如下：对于某一函数f(x)，其定义域是集合A，那么若对于A集合中的某一个值x0，其函数值f(x0)由f(f(x0))决定，那么就称f(x)为递归函数；
-
递归函数：不能定义为内联函数；
1.2 递归的本质
递归函数的例子：
(1)例子一：等差数列
数列1 3 5 7 9......代码实现输入一个数n，输出数列第n项的值。
cpp
#include<iostream>
using namespace std;
int f(int n)
{
if(n==1)
return 1;
else
return f(n-1)+2;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
cout << f(n);
return 0;
}解释：递归关系：f(n-1)+2,递归出口：1；
(2)例子二：阶乘n!
cpp
递归的数学函数描述：
f(n)=1 (n=1)
f(n)=n*f(n-1) (n>1)
cpp
递归的C++函数描述：
int f(nt n)
{
if(n==1)
return 1;
return n*f(n-1);
}注：由于f(13)>2^32。所以对于int型(无符号类型)的表示范围，其n的取值范围只有1<=n<=12了。
(3)例子3：Fibonacci数列
斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89...
cpp
递归的数学函数描述：
f(n)=0 (n=0)
f(n)=1 (n=1)
f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n>2)
cpp
递归的C++函数描述：
int f(int n)
{
if((n==0) || (n==1))
return n;
return f(n-1)+f(n-2) ;
}
cpp
#include<iostream>
using namespace std;
int f(int n)
{
if(n==1||n==2)
return 1;
else
return f(n-1)+f(n-2);
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
cout<<f(n);
return 0;
}(4)例子4：王小刀切饼：
王小二自夸刀工不错，有人放一张大的煎饼在砧板上，问他:"饼不许离开贴板，切n(1<=n<=100)刀最多能分成几块?
**输入格式：**输入切的刀数n
**输出格式：**输出切n刀最多切的块数
cpp
#include<iostream>
using namespace std;
int f(int n)
{
if(n==1)
return 2;
else
return f(n-1)+n;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
cout<<f(n);
return 0;
}解释：递归关系：f(n-1)+n,递归出口：n=1；
先列举几项就会发现规律
第一刀2
第二刀2+2=4
第三刀 4+3=7
第四刀 7+4=11
......
第n-1刀 i
第n刀 i+n
如图
(5)例子5：杨辉三角
cpp
#include<iostream>
using namespace std;
int f(int x,int y)
{
if(y==0||x==y)
return 1;
else
return f(x-1,y-1)+f(x-1,y);
}
int main()
{
int x,y;
cin>>x>>y;
cout<<f(x,y);
return 0;
}**(6)例子6：**最大公约数
cpp
#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
int r=a%b;
if(r==0) return b;
return gcd(b,r);
}
int main()
{
int m,n;
cin>>m>>n;
cout<<gcd(m,n);
return 0;
}解释：
辗转相除法又名欧几里得算法，目的是求出两个正整数的最大公约数。它是最古老的算法，其可追溯刀公元前300年前。
这条算法基于一个定理：两个正整数a和b（a>b)，他们的最大公约数等于a除以b的余数c和较小数b之间的最大公约数。
- 递归有直接递归和间接递归之分：
- 直接递归：直接调用函数本身；
- 间接递归：指函数体中没有直接调用自身函数，而是调用了另一个函数，在那个函数里，出现了调用本函数的语句。或者，在那个函数里，又调用了一个其他函数，反复出现调用其它函数，而最后有一个函数调用了本函数；
- 注：递归函数在运行中，其调用与被调用函数的指令代码是同一个函数副本，只不过各个不同运行中的调用点作为状态的一部分，在栈中被分别保护了起来。因此，是C++的函数机制决定了递归操作中的数据独立性，因而使递归调用成为可能。
1.3 递归条件
- 递归不能无限制地调用下去，因为栈空间是有限的。所以递归函数是有条件地调用自身，该条件就是递归的停止条件；
- 递归函数中必须有完成终极任务的语句序列(如：return 1;)，以使函数有意义，递归调用，并非终极；
- 递归函数当然有递归调用语句，递归调用应有参数，而且参数值应该是逐渐逼近停止条件；
- 递归条件应先测试，后递归调用，无条件递推的逻辑错误，编译器是检查不出来的，要靠程序员自己把握；
- 注：消去递归，即大多数递归函数都能用非递归函数来替代，一般用循环语句实现。
1.4 递归函数的优缺点
优点：
- 简化程序设计，使程序易读；
- 作为对特殊问题的一种处理方法，递归仍然占有一席之地；
- 许多高难算法的简捷描述，往往采用递归，特别对于能较快逼近停止条件的、优化了的递归函数；
- 递归在迅速退栈的技术处理上得到了异常机制的帮助；
缺点：
- 递归会迅速递增系统开销；
- 在时间上，执行函数的调用与返回的次数明显要大于非递归函数；
- 在空间上，栈空间资源会遭到空前的劫掠，随着每递归一次，栈内存就会多占用一截；