信奥赛C++提高组csp-s之搜索进阶（搜索剪枝案例实践1）

信奥赛C++提高组csp-s之搜索进阶（搜索剪枝案例实践1）

小木棍 ------ 可行性剪枝的综合运用

题目描述

乔治有一些同样长的小木棍，他把这些木棍随意砍成几段，直到每段的长都不超过 50 50 50。

现在，他想把小木棍拼接成原来的样子，但是却忘记了自己开始时有多少根木棍和它们的长度。

给出每段小木棍的长度，编程帮他找出原始木棍的最小可能长度。

输入格式

第一行是一个整数 n n n，表示小木棍的个数。

第二行有 n n n 个整数，表示各个木棍的长度 a i a_i ai。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例 1

输入 1

9
5 2 1 5 2 1 5 2 1

输出 1

6

说明/提示

对于全部测试点， 1 ≤ n ≤ 65 1 \leq n \leq 65 1≤n≤65， 1 ≤ a i ≤ 50 1 \leq a_i \leq 50 1≤ai≤50。

思路分析

本题是经典的"小木棍"搜索问题，目标是找到原始等长木棍的最小可能长度。

给定若干截断后的小木棍长度（每段 ≤ 50），原始木棍长度相同且未知，需要将小木棍拼回若干根原始长度的木棍。

由于原始长度一定大于等于最长小木棍，且总长度必须能被原始长度整除，因此从最长小木棍长度开始枚举可能的原始长度 tot（即每根原始木棍的长度），检查是否能将全部小木棍恰好拼成 sum/tot 根长度为 tot 的木棍。

搜索框架

• 状态 ：dfs(k, rest, st) 表示当前正在拼第 k 根原始木棍，这根木棍还剩 rest 长度需要填充，从第 st 根小木棍开始尝试。
• 目标 ：拼完所有 cnt = sum/tot 根木棍，即 k == cnt 时返回 true。
• 转移 ：枚举未使用的小木棍，如果长度 ≤ rest，则尝试放入当前木棍，递归继续。

关键剪枝（大幅降低搜索量）

1. 长度从大到小排序：先尝试较长的木棍，可减少分支数。
2. 整除性剪枝 ：tot 必须是总长度的约数，否则跳过。
3. 拼接失败剪枝 ：
   • 当 rest == a[i]（即当前木棍恰好被填满）且递归失败，说明后面无论怎么组合都无法成功，因为长度 a[i] 是当前这根的最后一块，若它不能成功，则任何其他长度代替它也无法成功（因为若换用更短的木棍，后面会更难拼）。
   • 当 rest == tot（即当前木棍开始拼第一个木棍）且递归失败，说明这根木棍的第一个选择（长度为 a[i]）不可行，并且由于木棍已从大到小排序，后续所有选择都会失败（因为第一个木棍无法匹配任何长度）。
4. 跳过相同长度：如果当前木棍长度尝试失败，后面相同长度的木棍必然也失败，直接跳过。

这些剪枝使得搜索在数据范围（n ≤ 65）内能够较快通过。

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代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 70;  // 最大木棍数+5
int n, tot, mx, cnt; // n: 小木棍总数, tot: 当前尝试的原始长度, mx: 最长小木棍, cnt: 原始木棍数量
int a[N];  // 存储每根小木棍的长度
bool vis[N];  // 标记小木棍是否已被使用

// 从大到小排序的比较函数
bool cmp(int x, int y) {
    return x > y;
}

// 深度优先搜索
// k: 已经拼好的原始木棍数量（当前正在拼第 k+1 根，但参数k表示已完成的根数）
// rest: 当前正在拼的木棍还剩多少长度需要填充
// st: 从第 st 根小木棍开始尝试（避免重复搜索）
bool dfs(int k, int rest, int st) {
    if (k == cnt) return true;          // 所有原始木棍都拼好了，成功
    if (rest == 0)                      // 当前这根已经拼满，开始拼下一根
        return dfs(k + 1, tot, 1);      // 下一根木棍的剩余长度为 tot，从头开始选木棍

    for (int i = st; i <= n; i++) {     // 从 st 开始枚举未使用的小木棍
        if (!vis[i] && a[i] <= rest) {  // 未使用且长度不超过剩余长度
            vis[i] = true;              // 尝试使用这根木棍
            if (dfs(k, rest - a[i], i + 1)) // 递归，下一根木棍从 i+1 开始（因为已排序，避免重复）
                return true;
            vis[i] = false;             // 回溯，撤销选择

            // 剪枝1: 如果当前木棍恰好填满剩余长度，但后续失败，则任何其他木棍都无法替代
            // 因为如果换成更短的木棍，后续组合只会更困难，所以直接返回 false
            if (rest == a[i]) return false;

            // 剪枝2: 如果这是当前木棍的第一根木棍（即 rest == tot），且尝试失败，
            // 说明以这根木棍开头的所有情况都不可行，因为木棍从大到小排序，
            // 后面更短的木棍作为第一根只会更差，直接返回 false
            if (rest == tot) return false;

            // 剪枝3: 跳过所有与当前失败木棍长度相同的后续木棍（它们也会失败）
            while (i + 1 <= n && a[i + 1] == a[i]) i++;
        }
    }
    return false;                       // 所有尝试均失败
}

int main() {
    cin >> n;
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        sum += a[i];                    // 计算总长度
    }
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp);        // 从大到小排序，便于剪枝
    mx = a[1];                          // 最长小木棍长度

    // 枚举可能的原始木棍长度，从最长小木棍开始到总长度
    for (tot = mx; tot <= sum; tot++) {
        if (sum % tot != 0) continue;   // 必须能整除，否则不可能拼成整数根
        cnt = sum / tot;                // 原始木棍的数量
        memset(vis, 0, sizeof vis);     // 重置访问标记
        if (dfs(1, tot, 1)) {           // 从第1根原始木棍开始，剩余长度为tot，从第1根小木棍开始尝试
            cout << tot << endl;        // 找到最小可行长度，输出并结束循环
            break;
        }
    }
    return 0;
}

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功能分析

1. 程序目标

给定若干截断后的小木棍长度，找出原始等长木棍的最小可能长度。

2. 输入输出

• 输入：第一行整数 n（小木棍个数），第二行 n 个整数（每段长度）。
• 输出：一个整数，表示原始木棍的最小可能长度。

3. 算法核心

• 枚举原始长度 tot，利用深度优先搜索（DFS）判断是否能将所有小木棍拼成若干根长度为 tot 的木棍。
• 通过多重剪枝大幅减少搜索空间，从而在 n ≤ 65 的范围内可行。

4. 关键步骤

1. 读取输入，计算总长度 sum，并找到最长小木棍 mx。
2. 将小木棍按长度从大到小排序。
3. 枚举 tot 从 mx 到 sum，只考虑能整除 sum 的 tot。
4. 对每个可行的 tot，调用 dfs 进行尝试。
5. dfs 递归地填充每根原始木棍，利用剪枝及时返回失败。
6. 一旦找到可行解，输出并结束。

5. 复杂度分析

• 最坏情况仍为指数级，但实际运行中剪枝效果显著，能通过本题数据范围。
• 排序 O(n log n)，DFS 状态数受剪枝限制，通常能在合理时间内完成。

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