信奥赛C++提高组csp-s之搜索进阶（搜索剪枝案例实践2）
生日蛋糕 ------ 上下界剪枝 + 最优性剪枝
题目描述
7 月 17 日是 Mr.W 的生日，ACM-THU 为此要制作一个体积为 N π N\pi Nπ 的 M M M 层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。
设从下往上数第 i i i（ 1 ≤ i ≤ M 1 \leq i \leq M 1≤i≤M）层蛋糕是半径为 R i R_i Ri，高度为 H i H_i Hi 的圆柱。当 i < M i \lt M i<M 时，要求 R i > R i + 1 R_i \gt R_{i+1} Ri>Ri+1 且 H i > H i + 1 H_i \gt H_{i+1} Hi>Hi+1。
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积 Q Q Q 最小。
请编程对给出的 N N N 和 M M M，找出蛋糕的制作方案（适当的 R i R_i Ri 和 H i H_i Hi 的值），使 S = Q π S=\dfrac{Q}{\pi} S=πQ 最小。
（除 Q Q Q 外，以上所有数据皆为正整数）
输入格式
第一行为一个整数 N N N（ N ≤ 2 × 10 4 N \leq 2 \times 10^4 N≤2×104），表示待制作的蛋糕的体积为 N π N\pi Nπ。
第二行为 M M M（ M ≤ 15 M \leq 15 M≤15），表示蛋糕的层数为 M M M。
输出格式
输出一个整数 S S S，若无解，输出 0 0 0。
输入输出样例 1
输入 1
100
2输出 1
68思路分析
问题理解
我们需要制作一个 M 层 的圆柱形蛋糕，从下往上每层的半径 R i R_i Ri和高度 H i H_i Hi 均为正整数，且满足 R i > R i + 1 , H i > H i + 1 R_i > R_{i+1},\ H_i > H_{i+1} Ri>Ri+1, Hi>Hi+1。蛋糕总体积为 N π N\pi Nπ，要求外表面面积 Q 最小（最下一层的下底面除外）。输出 S = Q / π S = Q / \pi S=Q/π（整数）。
外表面面积计算方式为：所有层的侧面积之和 + 最底层的下底面积。
解题思路
由于 M ≤ 15 M \le 15 M≤15， N ≤ 20000 N \le 20000 N≤20000，直接枚举所有可能的半径和高度组合会爆炸，必须使用DFS + 剪枝。
1. 搜索顺序
从**最底层（第 M 层）开始向最顶层（第 1 层）**搜索。因为底层半径和高度较大，先枚举大值有利于后续剪枝。
2. 状态表示
dep：当前正在处理的层数（从 M 到 1）v：已经使用的体积s：已经累积的表面积（注意：当dep == M时会加上最底层的下底面积）
3. 预处理最小可能值（剪枝用）
minv[i]：从上往下前 i 层的最小体积（假设每层半径 = 高 = i，则体积为 i 3 i^3 i3）mins[i]：前 i 层的最小侧面积（每层侧面积 2 π r h 2\pi r h 2πrh，最小为 2 i 2 2i^2 2i2）
4. 剪枝策略
- 体积剪枝：若当前体积 + 剩余层的最小体积 > N，则不可能完成，剪枝。
- 表面积剪枝：若当前表面积 + 剩余层的最小侧面积 ≥ 当前最优解，则剪枝。
- 剩余体积的侧面积下界 ：剩余体积为
N - v，若将其全部做成一个半径为r[dep+1]的圆柱（最大可能半径），其侧面积为2*(N-v)/r[dep+1]。这个值是剩余部分侧面积的下界（半径越大，侧面积越小）。若s + 下界 ≥ ans，则剪枝。
5. 枚举半径和高度
- 半径 i ：
下限 =dep（保证上面还能放下 dep-1 层）
上限 =min( sqrt(N-v), r[dep+1]-1 )（不能超过下一层半径，且体积限制） - 高度 j ：
下限 =dep
上限 =min( (N-v)/(i*i), h[dep+1]-1 )（体积限制 + 递减约束）
6. 递归与回溯
- 更新体积：
v + i*i*j - 更新表面积：
s + 2*i*j，若为最底层（dep == M）还需加上i*i（下底面积） - 递归
dfs(dep-1, new_v, new_s)
7. 输出
若找到解则输出最优的 ans，否则输出 0。
代码实现
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int N, M, ans = INF;
int mins[25], minv[25]; // 前 i 层的最小侧面积和最小体积
int r[25], h[25]; // 每层的半径和高度（从下往上存储）
// dep：当前要处理的层数（从 M 向下到 1）
// v：已经使用的体积
// s：已经累积的表面积（最底层下底面积已在 dep==M 时加入）
void dfs(int dep, int v, int s) {
if (dep == 0) { // 所有层处理完毕
if (v == N) ans = min(ans, s); // 体积恰好为 N 时更新答案
return;
}
// 剪枝1：剩余体积加上已有体积仍不足 N，或已超过 N
if (v + minv[dep] > N) return;
// 剪枝2：当前表面积加上剩余层的最小侧面积已经不小于最优解
if (s + mins[dep] >= ans) return;
// 剪枝3：剩余体积对应的最小可能侧面积下界估算
// 剩余体积为 N-v，用当前层的下一层半径（即更大半径）作为半径，
// 得到剩余侧面积的下界（半径越大，侧面积越小）
if (s + 2 * (N - v) / r[dep + 1] >= ans) return;
// 枚举当前层的半径，从大到小
// 半径下限：至少 dep（保证上面还能放 dep-1 层）
// 半径上限：不能超过下一层半径-1，且不能超过 sqrt(N-v)（最小高度为1）
for (int i = min((int)sqrt(N - v), r[dep + 1] - 1); i >= dep; i--) {
// 枚举当前层的高度
// 高度下限：至少 dep
// 高度上限：不能超过下一层高度-1，且受体积限制 (N-v)/(i*i)
for (int j = min((N - v) / i / i, h[dep + 1] - 1); j >= dep; j--) {
r[dep] = i;
h[dep] = j;
int cur_s = s + 2 * i * j; // 加上当前层的侧面积
if (dep == M) cur_s += i * i; // 最底层额外加上下底面积
dfs(dep - 1, v + i * i * j, cur_s);
}
}
}
int main() {
cin >> N >> M;
// 预处理前 i 层的最小体积和最小侧面积（假设半径 = 高 = i）
for (int i = 1; i <= M; i++) {
minv[i] = minv[i - 1] + i * i * i; // 体积：i^3
mins[i] = mins[i - 1] + 2 * i * i; // 侧面积：2*i^2
}
// 边界条件：第 M+1 层（虚拟层）半径和高度设为无穷大，以便底层枚举时不受限制
r[M + 1] = h[M + 1] = INF;
dfs(M, 0, 0); // 从最底层开始搜索
cout << (ans == INF ? 0 : ans) << endl;
return 0;
}功能分析
1. 解决问题
在给定总体积 (N) 和层数 (M) 的情况下，找到使外表面面积最小的蛋糕制作方案，并输出最小的 (S)（整数）。若无解则输出 0。
2. 算法核心
- 深度优先搜索：枚举每一层的半径和高度，通过递归遍历所有合法组合。
- 剪枝优化 ：
- 可行性剪枝（体积不足或超出）
- 最优性剪枝（当前面积已不优于已知最优解）
- 剩余体积的面积下界剪枝
- 预处理：计算最小可能体积和侧面积，用于剪枝判断。
- 有序枚举：半径和高度从大到小枚举，优先尝试大值，加速找到较优解并增强剪枝效果。
3. 注意点
- 表面积的计算方式为 所有层侧面积之和 + 最底层下底面积，这与题目文字描述略有差异，但符合样例和多数 AC 代码的实现。
- 半径和高度的下限取
dep，保证了递减性且每层至少为 1。
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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return 0;
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using namespace std;
int main(){
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return 0;
}