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问题描述
给定由n个英文单词组成的一段文章，每个单词的长度 (字符个数)依序为 l 1 , l 2 , . . . , l n l_1, l_2, ..., l_n l1,l2,...,ln。要在一台打印机上将这段文章"漂亮"地打印出来。打印机每行最多可打印 M个字符。这里所说的"漂亮"的定义如下：在打印机所打印的每一行中，行首和行尾可不留空格；行中每两个单词之间留一个空格；如果在一行中打印从单词i到单词j的字符，则按打印规则，应在一行中恰好打印 Σ k = i j l k + j − i \Sigma_{k=i}^{j}l_k+j-i Σk=ijlk+j−i个字符（包括字间空格字符），且不允许将单词打破；多余的空格数为 M − Σ k = i j l k − j + i M-\Sigma_{k=i}^{j}l_k-j+i M−Σk=ijlk−j+i；除文章的最后一行外，希望每行多余的空格数尽可能少。因此，以各行(最后一行除外)的多余空格数的立方和达到最小作为"漂亮"的标准。试用动态规划算法设计一个"漂亮打印"方案，并分析算法的计算复杂性。
算法原理
本题使用动态规划算法求解，需要维护三个数组，分别是：
- extraij：表示如果第i到第j个单词放到同一行，那么这行有多少个剩余空格；
- lcij：从第i到第j个单词放到同一行，那么这行空格数的立方值。维护这个数组会出现以下三种情况：
- extraij < 0（本行由于字符数M限制，不能容纳i到j个单词）：lcij = INF；
- j == n && extraij >= 0（文章最后一行，不计入统计范围）：lcij = 0；
- 除以上两种情况之外：lcij = extraij的立方;
- ci：文章从第1到j个单词的空格立方之和；
动态规划状态转移方程如下：
l c i j = { inf , e x t r a i j < 0 0 , j = = n & & e x t r a i j > = 0 ( e x t r a s i j ) 3 , e l s e lcij=\left\{ \begin{aligned} \inf , & &{extraij<0}\\ 0,& &{ j == n \&\& extraij >= 0 }\\ (extrasij)^3, & &{else}\\ \end{aligned} \right. lcij=⎩ ⎨ ⎧inf,0,(extrasij)3,extraij<0j==n&&extraij>=0else
c j = { 0 , j = 0 m i n ( c i − 1 + l c i j , c j ) , j > 0 cj=\left\{ \begin{aligned} 0, & &{j=0}\\ min(ci - 1 + lcij, cj),& &{j>0}\\ \end{aligned} \right. cj={0,min(ci−1+lcij,cj),j=0j>0
综上，我们得到这三个数组，那又该如何得出每行的划分位置呢？
在每次更新cj时记录positionj = i，即对于以单词j为结尾的一行来说，本行最佳起始位置为单词i。由于动态规划更新的每一个数值都是当前及之前的最优解，因此全局最优解就是最后一个数值。position数组中很多值都是无意义的，因为动态规划是从前往后算的，但是只有最后的数值才是全局的最优，输出时由果导因，即从后往前看。
算法实现
cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define INF 1000
using namespace std;
int wordsLen(int wordsL[], int i, int j) {
//计算从i到j的单词总长度
int sum = 0;
for (int k = i; k <= j; k++) {
sum += wordsL[k];
}
return sum;
}
int main() {
int n, M, extra[100][100], lc[100][100], c[100], l[100], position[100];
string words[100];
c[0] = 0;
cin >> n >> M;//n个单词，每行最多M个字符
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> words[i];
l[i] = words[i].size();
c[i] = INF;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) { //此行从第i个开始放
for (int j = i; j <= n; j++) { //放到第j个
extra[i][j] = M - j + i - wordsLen(l, i, j); //如果i到j放到一行，那么这行有多少个剩余空格
if (extra[i][j] < 0) //这行放不下这么多单词
lc[i][j] = INF;
else if (j == n && extra[i][j] >= 0) //最有一行
lc[i][j] = 0;
else //正常情况
lc[i][j] = pow(extra[i][j], 3);
if (c[i - 1] + lc[i][j] < c[j]) { //从i处分行是否空格更少
c[j] = c[i - 1] + lc[i][j]; //整篇文章从1到j存放单词的空格立方之和
//position数组很多值都是无意义的，因为动态规划是从前往后算的，但是只有最后的数值才是全局的最优，输出时由果导因，即从后往前看。
position[j] = i; //对于以j为结尾的一行来说，本行最佳起始位置为i
}
}
}
stack<int> st;
int i = n;
while(i>0) {
st.push(position[i]);
i = position[i]-1;
}
st.pop();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (!st.empty()&&i == st.top())
{
cout << endl;
st.pop();
}
cout << words[i] << ' ';
}
cout << "\n总剩余空格数：" << c[n];
return 0;
}
/*
10 8
abc de h polq cs opaqe gh t asd th
*/