【计算机算法设计与分析】漂亮打印问题(C++_动态规划)

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问题描述

给定由n个英文单词组成的一段文章,每个单词的长度 (字符个数)依序为 l 1 , l 2 , . . . , l n l_1, l_2, ..., l_n l1,l2,...,ln。要在一台打印机上将这段文章"漂亮"地打印出来。打印机每行最多可打印 M个字符。这里所说的"漂亮"的定义如下:在打印机所打印的每一行中,行首和行尾可不留空格;行中每两个单词之间留一个空格;如果在一行中打印从单词i到单词j的字符,则按打印规则,应在一行中恰好打印 Σ k = i j l k + j − i \Sigma_{k=i}^{j}l_k+j-i Σk=ijlk+j−i个字符(包括字间空格字符),且不允许将单词打破;多余的空格数为 M − Σ k = i j l k − j + i M-\Sigma_{k=i}^{j}l_k-j+i M−Σk=ijlk−j+i;除文章的最后一行外,希望每行多余的空格数尽可能少。因此,以各行(最后一行除外)的多余空格数的立方和达到最小作为"漂亮"的标准。试用动态规划算法设计一个"漂亮打印"方案,并分析算法的计算复杂性。

算法原理

本题使用动态规划算法求解,需要维护三个数组,分别是:

  • extra[i][j]:表示如果第i到第j个单词放到同一行,那么这行有多少个剩余空格;
  • lc[i][j]:从第i到第j个单词放到同一行,那么这行空格数的立方值。维护这个数组会出现以下三种情况:
    • extra[i][j] < 0(本行由于字符数M限制,不能容纳i到j个单词):lc[i][j] = INF;
    • j == n && extra[i][j] >= 0(文章最后一行,不计入统计范围):lc[i][j] = 0;
    • 除以上两种情况之外:lc[i][j] = extra[i][j]的立方;
  • c[i]:文章从第1到j个单词的空格立方之和;

动态规划状态转移方程如下:
l c [ i ] [ j ] = { inf ⁡ , e x t r a [ i ] [ j ] < 0 0 , j = = n & & e x t r a [ i ] [ j ] > = 0 ( e x t r a s [ i ] [ j ] ) 3 , e l s e lc[i][j]=\left\{ \begin{aligned} \inf , & &{extra[i][j]<0}\\ 0,& &{ j == n \&\& extra[i][j] >= 0 }\\ (extras[i][j])^3, & &{else}\\ \end{aligned} \right. lc[i][j]=⎩ ⎨ ⎧inf,0,(extras[i][j])3,extra[i][j]<0j==n&&extra[i][j]>=0else
c [ j ] = { 0 , j = 0 m i n ( c [ i − 1 ] + l c [ i ] [ j ] , c [ j ] ) , j > 0 c[j]=\left\{ \begin{aligned} 0, & &{j=0}\\ min(c[i - 1] + lc[i][j], c[j]),& &{j>0}\\ \end{aligned} \right. c[j]={0,min(c[i−1]+lc[i][j],c[j]),j=0j>0

综上,我们得到这三个数组,那又该如何得出每行的划分位置呢?

在每次更新c[j]时记录position[j] = i,即对于以单词j为结尾的一行来说,本行最佳起始位置为单词i。由于动态规划更新的每一个数值都是当前及之前的最优解,因此全局最优解就是最后一个数值。position数组中很多值都是无意义的,因为动态规划是从前往后算的,但是只有最后的数值才是全局的最优,输出时由果导因,即从后往前看。

算法实现

cpp 复制代码
#include <bits/stdc++.h>
#define INF 1000
using namespace std;

int wordsLen(int wordsL[], int i, int j) {
	//计算从i到j的单词总长度
	int sum = 0;
	for (int k = i; k <= j; k++) {
		sum += wordsL[k];
	}
	return sum;
}

int main() {
	int n, M, extra[100][100], lc[100][100], c[100], l[100], position[100];
	string words[100];
	c[0] = 0;
	cin >> n >> M;//n个单词,每行最多M个字符
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> words[i];
		l[i] = words[i].size();
		c[i] = INF;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {  //此行从第i个开始放
		for (int j = i; j <= n; j++) {  //放到第j个
			extra[i][j] = M - j + i - wordsLen(l, i, j);  //如果i到j放到一行,那么这行有多少个剩余空格
			if (extra[i][j] < 0)  //这行放不下这么多单词
				lc[i][j] = INF;
			else if (j == n && extra[i][j] >= 0)  //最有一行
				lc[i][j] = 0;
			else  //正常情况
				lc[i][j] = pow(extra[i][j], 3);
			if (c[i - 1] + lc[i][j] < c[j]) {  //从i处分行是否空格更少
				c[j] = c[i - 1] + lc[i][j];  //整篇文章从1到j存放单词的空格立方之和
				//position数组很多值都是无意义的,因为动态规划是从前往后算的,但是只有最后的数值才是全局的最优,输出时由果导因,即从后往前看。
				position[j] = i;  //对于以j为结尾的一行来说,本行最佳起始位置为i
			}
		}
	}
	stack<int> st;
	int i = n;
	while(i>0) {
		st.push(position[i]);
		i = position[i]-1;
	}
	st.pop();
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (!st.empty()&&i == st.top())
		{
			cout << endl;
			st.pop();
		}
		cout << words[i] << ' ';
	}
	cout << "\n总剩余空格数:" << c[n];
	return 0;
}
/*
10 8
abc de h polq cs opaqe gh t asd th
*/

参考资料

  1. 动态规划之整齐打印
  2. 动态规划------漂亮打印问题
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