java数据结构与算法刷题-----LeetCode64. 最小路径和

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很多人觉得动态规划很难，但它就是固定套路而已。其实动态规划只不过是将多余的步骤，提前放到dp数组中（就是一个数组，只不过大家都叫它dp），达到空间换时间的效果。它仅仅只是一种优化思路，因此它目前的境地和线性代数一样----虚假的难。

1. 想想线性代数，在国外留学的学生大多数不觉得线性代数难理解。但是中国的学生学习线性代数时，完全摸不着头脑，一上来就是行列式和矩阵，根本不知道这玩意是干嘛的。
2. 线性代数从根本上是在空间上研究向量，抽象上研究线性关系的学科。人家国外的教科书都是第一讲就帮助大家理解研究向量和线性关系。
3. 反观国内的教材，直接把行列式搞到第一章。搞的国内的学生在学习线性代数的时候，只会觉得一知半解，觉得麻烦，完全不知道这玩意学来干什么。当苦尽甘来终于理解线性代数时干什么的时候，发现人家国外的教材第一节就把这玩意讲清楚了。你只会大骂我们国内这些教材，什么狗东西（以上是自己学完线性代数后的吐槽，我们同学无一例外都这么觉得）。

而我想告诉你，动态规划和线性代数一样，我学完了才知道，它不过就是研究空间换时间，提前将固定的重复操作规划到dp数组中，而不用暴力求解，从而让效率极大提升。

1. 但是网上教动态规划的兄弟们，你直接给一个动态方程是怎么回事？和线性代数，一上来就教行列式和矩阵一样，纯属恶心人。我差不多做了30多道动态规划题目，才理解，动态方程只是一个步骤而已，而这已经浪费我很长时间了，我每道题都一知半解不理解，过程及其痛苦。最后只能重新做。
2. 动态规划，一定是优先考虑重复操作与dp数组之间的关系，搞清楚后，再提出动态方程。而你们前面步骤省略了不讲，一上来给个方程，不是纯属扯淡吗？
3. 我推荐研究动态规划题目，按5个步骤，从上到下依次来分析

1. DP数组及下标含义
2. 递推公式
3. dp数组初始化
4. 数组遍历顺序（双重循环及以上时，才考虑）
5. dp数组打印，分析思路是否正确（相当于做完题，检查一下）
   
   这道题是62题的衍生题，在62题的基础上，增加了一个条件，就是每个方块都有一个开销值，我们需要选择开销最小的哪条路，除此之外没有任何区别

可以先参考🏆LeetCode62. 不同路径https://blog.csdn.net/grd_java/article/details/135421514

先理解题目细节

1. 起点在[0,0]位置，且只能向右或向下走，也就是说，我们到达每一个方格，只有两种情况，从上面过来的，或者从左面过来的。注意区分"走过去"和"从哪过来的区别"，这是解出这道题的关键。
2. 我们依次走到每一个方块，不管其它的，只看当前方块，研究当前方块的最短路径
3. 步骤如下：

1. [0,0]位置：开销是1，到达这个位置只有一种方法，直接站上去，所以最短路径的开销就是1，故dp[0,0] = 1
2. 第一行除起点[0,0]外的方块，想要到达它们同样只有一条路，那就是从起点一直向右走

1. [0,1]位置，其本身开销为3，只有一种方法可以到达它，就是从左边过来，所以加上从起点到达左边这个[0,0]位置的最短开销1，一共为4. 因此 dp[0,1] = 4
2. 同理[0,2]位置，本身开销1+起点到左边位置[0,1]开销4 = 5，故dp[0,2] = 5

3. 第一列和第一行同理，除[0,0]外，只有从起点往下走这一条路

1. [1,0]位置开销 = 本身开销1+[0,0]位置开销1 = 2
2. **[2,0]位置开销 = 本身开销4+起点到[1,0]的开销 2=6 **

4. 其余位置都有两种情况，从左边过来，或者从上面过来。因为这道题求最短开销，因此两个方向选小的那个

1. [1,1]位置 = min{本身开销5+左边[1,0]开销2 = 7 ， 本身开销5+ 上面[0,1]开销4 = 9} = 7. 从左边过来开销为7，上面过来开销为9，选小的7。
2. [1,2]位置 = min{本身开销1+左边[1,1]开销7 = 8 ， 本身开销1+ 上面[0,2]开销5 = 6} = 6
3. [2,1]位置 = min{本身开销2+左边[2,0]开销6 = 8 ， 本身开销2+ 上面[1,1]开销7 = 9} = 8
4. [2,2]位置 = min{本身开销1+左边[2,1]开销8 = 9 ， 本身开销1+ 上面[1,2]开销6 = 7} = 7

4. 构建完dp数组，我们要返回的是起点[0,0]到终点[2,2]的最短路径，他就保存在dp[2,2]中。因为我们dp数组存储的就是起点到达每个位置的最短开销。

解题思路

1. 暴力求解的思想，就是回溯算法，枚举每一种情况，拿到最大值，显然会做大量无效运算。
2. 但是如果我们预先将其存储到dp数组，就可以直接通过dp[x], 获取dp数组中指定位置x的体力花费，而不用枚举。典型的动态规划题目

动态规划思考5步曲

1. DP数组及下标含义

我们要求出的是到达某个方块，可以从哪里过来，过来的几种方法谁的开销最小，那么dp数组中存储的就是到达这里的最短路径开销。要求出谁的从起点到达后的最短开销呢？显然是某个方块，那么下标就是代表现在到了哪个方块，也就是代表到了某一方块后的最短开销。显然，需要2个下标表示，故这道题的dp数组需要二维数组

2. 递推公式

1. 由题意可知，只能选择向右走或者向下走，因此对于每个方块而言，只能是从上面过来，或者从左面过来。而第一行没有从上面来的路，因此只能从左面过来，也就是第一行都只有一条从左面来的路，直接计算从起点到它的开销即可。同理第一列，没有从左面来的路，只能从上面过来，也只有从上面过来这一条路，计算从起点到它的开销即可。

1. 起点[0,0]的开销固定为其本身开销。F(0,0) = 其本身开销
2. 第一行和第一列都固定为其唯一可通的路上的开销（行：从起点一直向右走。列是从起点一直向下走），F(0,n) = F(0,n-1)+其本身开销; F(n,0) = F(n-1,0)+其本身开销

2. 之后每一个方块，都需要考虑从上面来的路，和从左面来的路。也就是到它上面的方块最短路径开销+其本身开销。和到它左面的方块的最短开销+其本身开销。选一个小的。
3. 因此，可以得到，从第二行，第二列开始，递推公式变为，min(到左边方块的最短开销+其本身开销，到上面方块的最短开销+其本身开销)。F(n,n) = min（F(n-1,n)+其本身开销，F(n,n-1)+其本身开销）

3. dp数组初始化

4. 数组遍历顺序

双重循环，我们知道这道题，数组下标表示方块的位置，也就是所在行和列的位置。那么其中一层循环代表第几行，另外一层循环代表第几列。那么先遍历行还是列呢？我们发现，无论遍历哪个，都不影响。我们可以一列一列考虑，也可以一行一行考虑，因此，先遍历哪个都一样。我们这里选择先遍历行。

5. 打印dp数组（自己生成dp数组后，将dp数组输出看看，是否和自己预想的一样。）

代码:时间复杂度O(mn).空间复杂度O(mn)

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) return 0;
        int m = grid.length,n = grid[0].length;//获取行和列
        int dp[][] = new int[m][n];//dp数组表示每个方块，每个元素值代表从起点到这个方块的最短路径，下标代表其所在行和列
        dp[0][0] = grid[0][0];//到达第一个方块，只有一种方法，就是直接站上去，所以最短路径就是它本身开销
        //对于第一列来说，只有从上往下走这一条路，因此这条路上的每个方块的开销，就是从起点沿着这条路走到它的开销
        for(int i = 1;i<m;i++) dp[i][0] = dp[i-1][0]+grid[i][0];
        //第一行同理，只有从左往右这一条路
        for(int j = 1;j<n;j++) dp[0][j] = dp[0][j-1]+grid[0][j];
        //剩余的每个方块，都可以从上面过来，也可以从左面过来，我们选择值小的，也就是路径开销小的方向
        for(int i = 1;i<m;i++)
            for(int j = 1;j<n;j++)
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j]+grid[i][j],dp[i][j-1]+grid[i][j]);
        return dp[m-1][n-1];//最后返回终点的最短路径开销
    }
}