本文仅供学习使用，总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结，从矢量的角度进行分析，方法比较传统，但更易理解，并且现有的看似抽象方法，两者本质上并无不同。
2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考：
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食用方法求解逻辑：速度与加速度都是在知道角速度与角加速度的前提下------旋转运动更重要
所求得的速度表达-需要考虑是否为刚体相对固定点！
旋转矩阵？转换矩阵？有什么意义和性质？------与角速度与角加速度的关系
务必自己推导全部公式，并理解每个符号的含义
机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-4 刚体的速度与角速度 Part1
- [4. 刚体的速度与角速度](#4. 刚体的速度与角速度)
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- [4.1 角速度的表达](#4.1 角速度的表达)
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- [4.1.1 欧拉参数表示角速度](#4.1.1 欧拉参数表示角速度)
- [4.1.2 轴角参数表示角速度](#4.1.2 轴角参数表示角速度)
- [4.1.3 轴角参数表示角速度](#4.1.3 轴角参数表示角速度)
4. 刚体的速度与角速度
对于运动坐标系下任意一点 P i P_{\mathrm{i}} Pi而言，有：
R ⃗ P F = R ⃗ M F + Q M F R ⃗ P i M ⇒ v ⃗ P F = v ⃗ M F + Q ˙ M F R ⃗ P i M + Q M F R ⃗ ˙ P i M = ω ⃗ F × R ⃗ P F = ω ⃗ ~ F R ⃗ P F = ω ⃗ ~ F ( R ⃗ M F + Q M F R ⃗ P i M ) ⇒ Q ˙ M F R ⃗ P i M + Q M F R ⃗ ˙ P i M = ω ⃗ ~ F Q M F R ⃗ P i M ⇒ v ⃗ P i M = ( Q M F T ω ⃗ ~ F Q M F − Q M F T Q ˙ M F ) R ⃗ P i M = ( ( Q M F T ω ⃗ F ) ~ − Q M F T Q ˙ M F ) R ⃗ P i M = ( ω ⃗ ~ M − Q M F T Q ˙ M F ) R ⃗ P i M \begin{split} &\vec{R}{\mathrm{P}}^{F}=\vec{R}{\mathrm{M}}^{F}+\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M} \\ &\Rightarrow \vec{v}{\mathrm{P}}^{F}=\vec{v}{\mathrm{M}}^{F}+\left \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}+\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \dot{\vec{R}}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}=\vec{\omega}^F\times \vec{R}{\mathrm{P}}^{F}=\tilde{\vec{\omega}}^F\vec{R}{\mathrm{P}}^{F}=\tilde{\vec{\omega}}^F\left( \vec{R}{\mathrm{M}}^{F}+\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M} \right) \\ &\Rightarrow \left \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}+\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \dot{\vec{R}}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}=\tilde{\vec{\omega}}^F\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M} \\ &\Rightarrow \vec{v}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}=\left( \left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right ^{\mathrm{T}}\tilde{\vec{\omega}}^F\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right -\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right ^{\mathrm{T}}\left \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \right) \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}=\left( \widetilde{\left( \left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right ^{\mathrm{T}}\vec{\omega}^F \right) }-\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right ^{\mathrm{T}}\left \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \right) \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}=\left( \tilde{\vec{\omega}}^M-\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right ^{\mathrm{T}}\left \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \right) \vec{R}{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M} \end{split} R PF=R MF+QMFR PiM⇒v PF=v MF+Q˙MFR PiM+QMFR ˙PiM=ω F×R PF=ω ~FR PF=ω ~F(R MF+QMFR PiM)⇒Q˙MFR PiM+QMFR ˙PiM=ω ~FQMFR PiM⇒v PiM=(QMFTω ~FQMF−QMFTQ˙MF)R PiM=((QMFTω F) −QMFTQ˙MF)R PiM=(ω ~M−QMFTQ˙MF)R PiM
因此，当 P i P_{\mathrm{i}} Pi为刚体上的固定点时，有： v ⃗ P i M = 0 \vec{v}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}=0 v PiM=0，进而可知：
Q M F \] T ω ⃗ \~ F \[ Q M F \] − \[ Q M F \] T \[ Q ˙ M F \] = 0 ⇒ ω ⃗ \~ F = \[ Q ˙ M F \] \[ Q M F \] T ω ⃗ \~ M − \[ Q M F \] T \[ Q ˙ M F \] = 0 ⇒ ω ⃗ \~ M = \[ Q M F \] T \[ Q ˙ M F \] \\begin{split} \\left\[ Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right\] \^{\\mathrm{T}}\\tilde{\\vec{\\omega}}\^F\\left\[ Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right\] -\\left\[ Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right\] \^{\\mathrm{T}}\\left\[ \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right\] =0\&\\Rightarrow \\tilde{\\vec{\\omega}}\^F=\\left\[ \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right\] \\left\[ Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right\] \^{\\mathrm{T}} \\\\ \\tilde{\\vec{\\omega}}\^M-\\left\[ Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right\] \^{\\mathrm{T}}\\left\[ \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right\] =0\&\\Rightarrow \\tilde{\\vec{\\omega}}\^M=\\left\[ Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right\] \^{\\mathrm{T}}\\left\[ \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right\] \\end{split} \[QMF\]Tω \~F\[QMF\]−\[QMF\]T\[Q˙MF\]=0ω \~M−\[QMF\]T\[Q˙MF\]=0⇒ω \~F=\[Q˙MF\]\[QMF\]T⇒ω \~M=\[QMF\]T\[Q˙MF
对转换矩阵 Q M F T \left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right ^{\mathrm{T}} QMFT而言，有：
Q M F T Q M F = 0 ⇒ Q ˙ M F T Q M F + Q M F T Q ˙ M F = 0 ⇒ Q ˙ M F T Q M F + \[ Q ˙ M F T Q M F ] T = 0 \begin{split} &\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right ^{\mathrm{T}}\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right =0 \\ \Rightarrow &\left \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right ^{\mathrm{T}}\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right +\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right ^{\mathrm{T}}\left \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right =0 \\ \Rightarrow &\left \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right ^{\mathrm{T}}\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right +\left \\left\[ \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right ^{\mathrm{T}}\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \right] ^{\mathrm{T}}=0 \end{split} ⇒⇒QMFTQMF=0Q˙MFTQMF+QMFTQ˙MF=0Q˙MFTQMF+\[Q˙MFTQMF]T=0
即， Q ˙ M F T Q M F \left \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right ^{\mathrm{T}}\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right Q˙MFTQMF为反(斜)对称矩阵。
因此，对于矩阵 ω ⃗ ~ F \tilde{\vec{\omega}}^F ω ~F与 ω ⃗ ~ M \tilde{\vec{\omega}}^M ω ~M具有如下转换关系：
ω ⃗ ~ M = Q M F T ω ⃗ ~ F Q M F ω ⃗ ~ F = Q M F ω ⃗ ~ M Q M F T \begin{split} \tilde{\vec{\omega}}^M&=\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right ^{\mathrm{T}}\tilde{\vec{\omega}}^F\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \\ \tilde{\vec{\omega}}^F&=\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \tilde{\vec{\omega}}^M\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right ^{\mathrm{T}} \end{split} ω ~Mω ~F=QMFTω ~FQMF=QMFω ~MQMFT
进而可将上式中的项term Q ˙ M F R ⃗ P i M \left \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M} Q˙MFR PiM改写为（下式仅当 P i P_{\mathrm{i}} Pi为刚体上的固定点时成立 ）：
Q ˙ M F R ⃗ P i M = { ω ⃗ ~ F Q M F R ⃗ P i M = ω ⃗ ~ F R ⃗ P i F = ω ⃗ F × R ⃗ P i F Q M F ω ⃗ ~ M R ⃗ P i M = Q M F ( ω ⃗ M × R ⃗ P i M ) \left \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}=\begin{cases} \tilde{\vec{\omega}}^F\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}=\tilde{\vec{\omega}}^F\vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{F}=\vec{\omega}^F\times \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{F}\\ \left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \tilde{\vec{\omega}}^M\vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}=\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \left( \vec{\omega}^M\times \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M} \right)\\ \end{cases} Q˙MFR PiM=⎩ ⎨ ⎧ω ~FQMFR PiM=ω ~FR PiF=ω F×R PiFQMFω ~MR PiM=QMF(ω M×R PiM)
4.1 角速度的表达
4.1.1 欧拉参数表示角速度
结合定义矩阵： B 3 × 4 = − q 2 q 1 − q 4 q 3 − q 3 q 4 q 1 − q 2 − q 4 − q 3 q 2 q 1 B_{3\times 4}=\left \\begin{array}{cccc} -q_2\& q_1\& -q_4\& q_3\\\\ -q_3\& q_4\& q_1\& -q_2\\\\ -q_4\& -q_3\& q_2\& q_1\\\\ \\end{array} \\right B3×4= −q2−q3−q4q1q4−q3−q4q1q2q3−q2q1 B ˉ 3 × 4 = − q 2 q 1 q 4 − q 3 − q 3 − q 4 q 1 q 2 − q 4 q 3 − q 2 q 1 \bar{B}_{3\times 4}=\left \\begin{array}{cccc} -q_2\& q_1\& q_4\& -q_3\\\\ -q_3\& -q_4\& q_1\& q_2\\\\ -q_4\& q_3\& -q_2\& q_1\\\\ \\end{array} \\right Bˉ3×4= −q2−q3−q4q1−q4q3q4q1−q2−q3q2q1 , 带入同样的式子可得：
ω ⃗ ~ F = 2 B ˉ B ˉ ˙ T ω ⃗ ~ M = 2 B B ˙ T \begin{split} \tilde{\vec{\omega}}^F&=2\bar{B}\dot{\bar{B}}^{\mathrm{T}} \\ \tilde{\vec{\omega}}^M&=2B\dot{B}^{\mathrm{T}} \end{split} ω ~Fω ~M=2BˉBˉ˙T=2BB˙T
将上式展开，由四元数的归一化可知： q ˙ 1 q 1 + q ˙ 2 q 2 + q ˙ 3 q 3 + q ˙ 4 q 4 = 0 \dot{q}_1q_1+\dot{q}_2q_2+\dot{q}_3q_3+\dot{q}_4q_4=0 q˙1q1+q˙2q2+q˙3q3+q˙4q4=0，可得：
w 1 F w 2 F w 3 F = 2 q ˙ 4 q 3 − q ˙ 3 q 4 + q ˙ 2 q 1 − q ˙ 1 q 2 q ˙ 2 q 4 − q ˙ 1 q 3 + q ˙ 4 q 2 − q ˙ 3 q 1 q ˙ 3 q 2 − q ˙ 4 q 1 + q ˙ 1 q 4 − q ˙ 2 q 3 w 1 M w 2 M w 3 M = 2 q 4 q ˙ 3 − q 3 q ˙ 4 − q 2 q ˙ 1 + q 1 q ˙ 2 q 2 q ˙ 4 + q 1 q ˙ 3 − q 4 q ˙ 2 − q 3 q ˙ 1 q 3 q ˙ 2 − q 4 q ˙ 1 + q 1 q ˙ 4 − q 2 q ˙ 3 \begin{split} \left \\begin{array}{c} {w_1}\^F\\\\ {w_2}\^F\\\\ {w_3}\^F\\\\ \\end{array} \\right &=2\left \\begin{array}{c} \\dot{q}_4q_3-\\dot{q}_3q_4+\\dot{q}_2q_1-\\dot{q}_1q_2\\\\ \\dot{q}_2q_4-\\dot{q}_1q_3+\\dot{q}_4q_2-\\dot{q}_3q_1\\\\ \\dot{q}_3q_2-\\dot{q}_4q_1+\\dot{q}_1q_4-\\dot{q}_2q_3\\\\ \\end{array} \\right \\ \left \\begin{array}{c} {w_1}\^M\\\\ {w_2}\^M\\\\ {w_3}\^M\\\\ \\end{array} \\right &=2\left \\begin{array}{c} q_4\\dot{q}_3-q_3\\dot{q}_4-q_2\\dot{q}_1+q_1\\dot{q}_2\\\\ q_2\\dot{q}_4+q_1\\dot{q}_3-q_4\\dot{q}_2-q_3\\dot{q}_1\\\\ q_3\\dot{q}_2-q_4\\dot{q}_1+q_1\\dot{q}_4-q_2\\dot{q}_3\\\\ \\end{array} \\right \end{split} w1Fw2Fw3F w1Mw2Mw3M =2 q˙4q3−q˙3q4+q˙2q1−q˙1q2q˙2q4−q˙1q3+q˙4q2−q˙3q1q˙3q2−q˙4q1+q˙1q4−q˙2q3 =2 q4q˙3−q3q˙4−q2q˙1+q1q˙2q2q˙4+q1q˙3−q4q˙2−q3q˙1q3q˙2−q4q˙1+q1q˙4−q2q˙3
继续观察上式，将上式进行化简：
ω ⃗ F = 2 B q ⃗ ˙ = − 2 B ˙ q ⃗ ω ⃗ M = 2 B ˉ q ⃗ ˙ = − 2 B ˉ ˙ q ⃗ \vec{\omega}^F=2B\dot{\vec{q}}=-2\dot{B}\vec{q} \\ \vec{\omega}^M=2\bar{B}\dot{\vec{q}}=-2\dot{\bar{B}}\vec{q} ω F=2Bq ˙=−2B˙q ω M=2Bˉq ˙=−2Bˉ˙q
进而可将 Q ˙ M F R ⃗ P i M = Q M F ( ω ⃗ M × R ⃗ P i M ) \left \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}=\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \left( \vec{\omega}^M\times \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M} \right) Q˙MFR PiM=QMF(ω M×R PiM)改写为（下式仅当 P i P_{\mathrm{i}} Pi为刚体上的固定点时成立）：
Q ˙ M F R ⃗ P i M = Q M F ( ω ⃗ M × R ⃗ P i M ) = − Q M F ( R ⃗ P i M × ω ⃗ M ) = − Q M F R ⃗ ~ P i M ( 2 B ˉ q ⃗ ˙ ) \left \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}=\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \left( \vec{\omega}^M\times \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M} \right) =-\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \left( \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}\times \vec{\omega}^M \right) =-\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \tilde{\vec{R}}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}\left( 2\bar{B}\dot{\vec{q}} \right) Q˙MFR PiM=QMF(ω M×R PiM)=−QMF(R PiM×ω M)=−QMFR ~PiM(2Bˉq ˙)
因为所有表达方式都能转换成欧拉参数-四元数的形式，因此上式在计算过程中具有普适性。
进而可知：
∂ ( Q M F R ⃗ P i M ) ∂ q ⃗ = − Q M F R ⃗ ~ P i M ( 2 B ˉ ) \frac{\partial \left( \left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \vec{R}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M} \right)}{\partial \vec{q}}=-\left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \tilde{\vec{R}}{\mathrm{P}{\mathrm{i}}}^{M}\left( 2\bar{B} \right) ∂q ∂(QMFR PiM)=−QMFR ~PiM(2Bˉ)
4.1.2 轴角参数表示角速度
将 θ v 1 v 2 v 3 = 2 a r c cos ( q 1 ) q 2 sin θ 2 q 3 sin θ 2 q 4 sin θ 2 \left \\begin{array}{c} \\theta\\\\ v_1\\\\ v_2\\\\ v_3\\\\ \\end{array} \\right =\left \\begin{array}{c} 2\\mathrm{arc}\\cos \\left( q_1 \\right)\\\\ \\frac{q_2}{\\sin \\frac{\\theta}{2}}\\\\ \\frac{q_3}{\\sin \\frac{\\theta}{2}}\\\\ \\frac{q_4}{\\sin \\frac{\\theta}{2}}\\\\ \\end{array} \\right θv1v2v3 = 2arccos(q1)sin2θq2sin2θq3sin2θq4 带入 w 1 F w 2 F w 3 F = 2 q ˙ 4 q 3 − q ˙ 3 q 4 + q ˙ 2 q 1 − q ˙ 1 q 2 q ˙ 2 q 4 − q ˙ 1 q 3 + q ˙ 4 q 2 − q ˙ 3 q 1 q ˙ 3 q 2 − q ˙ 4 q 1 + q ˙ 1 q 4 − q ˙ 2 q 3 , w 1 M w 2 M w 3 M = 2 q 4 q ˙ 3 − q 3 q ˙ 4 − q 2 q ˙ 1 + q 1 q ˙ 2 q 2 q ˙ 4 + q 1 q ˙ 3 − q 4 q ˙ 2 − q 3 q ˙ 1 q 3 q ˙ 2 − q 4 q ˙ 1 + q 1 q ˙ 4 − q 2 q ˙ 3 \left \\begin{array}{c} {w_1}\^F\\\\ {w_2}\^F\\\\ {w_3}\^F\\\\ \\end{array} \\right =2\left \\begin{array}{c} \\dot{q}_4q_3-\\dot{q}_3q_4+\\dot{q}_2q_1-\\dot{q}_1q_2\\\\ \\dot{q}_2q_4-\\dot{q}_1q_3+\\dot{q}_4q_2-\\dot{q}_3q_1\\\\ \\dot{q}_3q_2-\\dot{q}_4q_1+\\dot{q}_1q_4-\\dot{q}_2q_3\\\\ \\end{array} \\right , \left \\begin{array}{c} {w_1}\^M\\\\ {w_2}\^M\\\\ {w_3}\^M\\\\ \\end{array} \\right =2\left \\begin{array}{c} q_4\\dot{q}_3-q_3\\dot{q}_4-q_2\\dot{q}_1+q_1\\dot{q}_2\\\\ q_2\\dot{q}_4+q_1\\dot{q}_3-q_4\\dot{q}_2-q_3\\dot{q}_1\\\\ q_3\\dot{q}_2-q_4\\dot{q}_1+q_1\\dot{q}_4-q_2\\dot{q}_3\\\\ \\end{array} \\right w1Fw2Fw3F =2 q˙4q3−q˙3q4+q˙2q1−q˙1q2q˙2q4−q˙1q3+q˙4q2−q˙3q1q˙3q2−q˙4q1+q˙1q4−q˙2q3 , w1Mw2Mw3M =2 q4q˙3−q3q˙4−q2q˙1+q1q˙2q2q˙4+q1q˙3−q4q˙2−q3q˙1q3q˙2−q4q˙1+q1q˙4−q2q˙3 可得：
w 1 F w 2 F w 3 F = 2 ( v ˙ 3 v 2 − v ˙ 2 v 3 ) sin 2 θ 2 + v ˙ 1 sin θ + θ ˙ v 1 2 ( v ˙ 1 v 3 − v ˙ 3 v 1 ) sin 2 θ 2 + v ˙ 2 sin θ + θ ˙ v 2 2 ( v ˙ 2 v 1 − v ˙ 1 v 2 ) sin 2 θ 2 + v ˙ 3 sin θ + θ ˙ v 3 w 1 M w 2 M w 3 M = 2 ( v 3 v ˙ 2 − v 2 v ˙ 3 ) sin 2 θ 2 + v ˙ 1 sin θ + θ ˙ v 1 2 ( v 1 v ˙ 3 − v 3 v ˙ 1 ) sin 2 θ 2 + v ˙ 2 sin θ + θ ˙ v 2 2 ( v 2 v ˙ 1 − v 1 v ˙ 2 ) sin 2 θ 2 + v ˙ 3 sin θ + θ ˙ v 3 \begin{split} \left \\begin{array}{c} {w_1}\^F\\\\ {w_2}\^F\\\\ {w_3}\^F\\\\ \\end{array} \\right &=\left \\begin{array}{c} 2\\left( \\dot{v}_3v_2-\\dot{v}_2v_3 \\right) \\sin \^2\\frac{\\theta}{2}+\\dot{v}_1\\sin \\theta +\\dot{\\theta}v_1\\\\ 2\\left( \\dot{v}_1v_3-\\dot{v}_3v_1 \\right) \\sin \^2\\frac{\\theta}{2}+\\dot{v}_2\\sin \\theta +\\dot{\\theta}v_2\\\\ 2\\left( \\dot{v}_2v_1-\\dot{v}_1v_2 \\right) \\sin \^2\\frac{\\theta}{2}+\\dot{v}_3\\sin \\theta +\\dot{\\theta}v_3\\\\ \\end{array} \\right \\ \left \\begin{array}{c} {w_1}\^M\\\\ {w_2}\^M\\\\ {w_3}\^M\\\\ \\end{array} \\right &=\left \\begin{array}{c} 2\\left( v_3\\dot{v}_2-v_2\\dot{v}_3 \\right) \\sin \^2\\frac{\\theta}{2}+\\dot{v}_1\\sin \\theta +\\dot{\\theta}v_1\\\\ 2\\left( v_1\\dot{v}_3-v_3\\dot{v}_1 \\right) \\sin \^2\\frac{\\theta}{2}+\\dot{v}_2\\sin \\theta +\\dot{\\theta}v_2\\\\ 2\\left( v_2\\dot{v}_1-v_1\\dot{v}_2 \\right) \\sin \^2\\frac{\\theta}{2}+\\dot{v}_3\\sin \\theta +\\dot{\\theta}v_3\\\\ \\end{array} \\right \end{split} w1Fw2Fw3F w1Mw2Mw3M = 2(v˙3v2−v˙2v3)sin22θ+v˙1sinθ+θ˙v12(v˙1v3−v˙3v1)sin22θ+v˙2sinθ+θ˙v22(v˙2v1−v˙1v2)sin22θ+v˙3sinθ+θ˙v3 = 2(v3v˙2−v2v˙3)sin22θ+v˙1sinθ+θ˙v12(v1v˙3−v3v˙1)sin22θ+v˙2sinθ+θ˙v22(v2v˙1−v1v˙2)sin22θ+v˙3sinθ+θ˙v3
整理为：
ω ⃗ F = 2 v ⃗ F × v ⃗ ˙ F sin 2 θ 2 + v ⃗ ˙ F sin θ + θ ˙ v ⃗ F ω ⃗ M = 2 v ⃗ ˙ F × v ⃗ F sin 2 θ 2 + v ⃗ ˙ F sin θ + θ ˙ v ⃗ F \begin{split} \vec{\omega}^F&=2\vec{v}^F\times \dot{\vec{v}}^F\sin ^2\frac{\theta}{2}+\dot{\vec{v}}^F\sin \theta +\dot{\theta}\vec{v}^F \\ \vec{\omega}^M&=2\dot{\vec{v}}^F\times \vec{v}^F\sin ^2\frac{\theta}{2}+\dot{\vec{v}}^F\sin \theta +\dot{\theta}\vec{v}^F \end{split} ω Fω M=2v F×v ˙Fsin22θ+v ˙Fsinθ+θ˙v F=2v ˙F×v Fsin22θ+v ˙Fsinθ+θ˙v F
4.1.3 轴角参数表示角速度
对于ZYX欧拉角而言，有：
{ Q M F = Q F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) Q F 2 F 1 ( j ⃗ F , β ) Q F 1 F ( i ⃗ F , α ) ω ⃗ ~ F = Q ˙ M F Q M F T ω ⃗ ~ F = { Q ˙ F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) Q F 2 F 1 ( j ⃗ F , β ) Q F 1 F ( i ⃗ F , α ) ⋅ Q F 1 F ( i ⃗ F , α ) T Q F 2 F 1 ( j ⃗ F , β ) T Q F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) T + Q F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) Q ˙ F 2 F 1 ( j ⃗ F , β ) Q F 1 F ( i ⃗ F , α ) ⋅ Q F 1 F ( i ⃗ F , α ) T Q F 2 F 1 ( j ⃗ F , β ) T Q F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) T + Q F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) Q F 2 F 1 ( j ⃗ F , β ) Q ˙ F 1 F ( i ⃗ F , α ) ⋅ Q F 1 F ( i ⃗ F , α ) T Q F 2 F 1 ( j ⃗ F , β ) T Q F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) T ω ⃗ ~ F = { Q ˙ F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) Q F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) T + Q F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) Q ˙ F 2 F 1 ( j ⃗ F , β ) Q F 2 F 1 ( j ⃗ F , β ) T Q F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) T + \[ Q F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) Q F 2 F 1 ( j ⃗ F , β ) ] Q ˙ F 1 F ( i ⃗ F , α ) ⋅ Q F 1 F ( i ⃗ F , α ) T \[ Q F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) Q F 2 F 1 ( j ⃗ F , β ) ] T ω ⃗ ~ F = ω ⃗ ~ F 3 ( M ) F 2 + Q F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) ω ⃗ ~ F 2 F 1 ~ + \[ Q F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) Q F 2 F 1 ( j ⃗ F , β ) ] ω ⃗ ~ F 1 F ~ ⇒ ω ⃗ F = ω ⃗ F 3 ( M ) F 2 + Q F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) ω ⃗ F 2 F 1 + \[ Q F 3 ( M ) F 2 ( k ⃗ F , γ ) Q F 2 F 1 ( j ⃗ F , β ) ] ω ⃗ F 1 F ⇒ ω ⃗ F = 0 0 γ ˙ + cos γ − sin γ 0 sin γ cos γ 0 0 0 1 0 β ˙ 0 + cos γ − sin γ 0 sin γ cos γ 0 0 0 1 cos β 0 sin β 0 1 0 − sin β 0 cos β α ˙ 0 0 ⇒ ω ⃗ F = cos β cos γ − sin γ 0 cos β sin γ cos γ 0 − sin β 0 1 α ˙ β ˙ γ ˙ \begin{split} &\begin{cases} \left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right =\left Q_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right \left Q_{\\mathrm{F}_2}\^{F_1}\\left( \\vec{j}\^F,\\beta \\right) \\right \left Q_{\\mathrm{F}_1}\^{F}\\left( \\vec{i}\^F,\\alpha \\right) \\right\\ \tilde{\vec{\omega}}^F=\left \\dot{Q}_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right \left Q_{\\mathrm{M}}\^{F} \\right ^{\mathrm{T}}\\ \end{cases} \\ \tilde{\vec{\omega}}^F&=\begin{cases} \left \\dot{Q}_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right \left Q_{\\mathrm{F}_2}\^{F_1}\\left( \\vec{j}\^F,\\beta \\right) \\right \left Q_{\\mathrm{F}_1}\^{F}\\left( \\vec{i}\^F,\\alpha \\right) \\right \cdot \left Q_{\\mathrm{F}_1}\^{F}\\left( \\vec{i}\^F,\\alpha \\right) \\right ^{\mathrm{T}}\left Q_{\\mathrm{F}_2}\^{F_1}\\left( \\vec{j}\^F,\\beta \\right) \\right ^{\mathrm{T}}\left Q_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right ^{\mathrm{T}}+\\ \left Q_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right \left \\dot{Q}_{\\mathrm{F}_2}\^{F_1}\\left( \\vec{j}\^F,\\beta \\right) \\right \left Q_{\\mathrm{F}_1}\^{F}\\left( \\vec{i}\^F,\\alpha \\right) \\right \cdot \left Q_{\\mathrm{F}_1}\^{F}\\left( \\vec{i}\^F,\\alpha \\right) \\right ^{\mathrm{T}}\left Q_{\\mathrm{F}_2}\^{F_1}\\left( \\vec{j}\^F,\\beta \\right) \\right ^{\mathrm{T}}\left Q_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right ^{\mathrm{T}}+\\ \left Q_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right \left Q_{\\mathrm{F}_2}\^{F_1}\\left( \\vec{j}\^F,\\beta \\right) \\right \left \\dot{Q}_{\\mathrm{F}_1}\^{F}\\left( \\vec{i}\^F,\\alpha \\right) \\right \cdot \left Q_{\\mathrm{F}_1}\^{F}\\left( \\vec{i}\^F,\\alpha \\right) \\right ^{\mathrm{T}}\left Q_{\\mathrm{F}_2}\^{F_1}\\left( \\vec{j}\^F,\\beta \\right) \\right ^{\mathrm{T}}\left Q_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right ^{\mathrm{T}}\\ \end{cases} \\ \tilde{\vec{\omega}}^F&=\begin{cases} \left \\dot{Q}_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right \left Q_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right ^{\mathrm{T}}+\left Q_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right \left \\dot{Q}_{\\mathrm{F}_2}\^{F_1}\\left( \\vec{j}\^F,\\beta \\right) \\right \left Q_{\\mathrm{F}_2}\^{F_1}\\left( \\vec{j}\^F,\\beta \\right) \\right ^{\mathrm{T}}\left Q_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right ^{\mathrm{T}}\\ +\left \\left\[ Q_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right \left Q_{\\mathrm{F}_2}\^{F_1}\\left( \\vec{j}\^F,\\beta \\right) \\right \right] \left \\dot{Q}_{\\mathrm{F}_1}\^{F}\\left( \\vec{i}\^F,\\alpha \\right) \\right \cdot \left Q_{\\mathrm{F}_1}\^{F}\\left( \\vec{i}\^F,\\alpha \\right) \\right ^{\mathrm{T}}\left \\left\[ Q_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right \left Q_{\\mathrm{F}_2}\^{F_1}\\left( \\vec{j}\^F,\\beta \\right) \\right \right] ^{\mathrm{T}}\\ \end{cases} \\ \tilde{\vec{\omega}}^F&=\tilde{\vec{\omega}}_{\mathrm{F}3\left( M \right)}^{F_2}+\widetilde{\left Q_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right \tilde{\vec{\omega}}{\mathrm{F}2}^{F_1}}+\widetilde{\left \\left\[ Q_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right \left Q_{\\mathrm{F}_2}\^{F_1}\\left( \\vec{j}\^F,\\beta \\right) \\right \right] \tilde{\vec{\omega}}{\mathrm{F}1}^{F}} \\ \Rightarrow \vec{\omega}^F&=\vec{\omega}{\mathrm{F}3\left( M \right)}^{F_2}+\left Q_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right \vec{\omega}{\mathrm{F}2}^{F_1}+\left \\left\[ Q_{\\mathrm{F}_3\\left( M \\right)}\^{F_2}\\left( \\vec{k}\^F,\\gamma \\right) \\right \left Q_{\\mathrm{F}_2}\^{F_1}\\left( \\vec{j}\^F,\\beta \\right) \\right \right] \vec{\omega}{\mathrm{F}_1}^{F} \\ \Rightarrow \vec{\omega}^F&=\left \\begin{array}{c} 0\\\\ 0\\\\ \\dot{\\gamma}\\\\ \\end{array} \\right +\left \\begin{matrix} \\cos \\gamma\& -\\sin \\gamma\& 0\\\\ \\sin \\gamma\& \\cos \\gamma\& 0\\\\ 0\& 0\& 1\\\\ \\end{matrix} \\right \left \\begin{array}{c} 0\\\\ \\dot{\\beta}\\\\ 0\\\\ \\end{array} \\right +\left \\begin{matrix} \\cos \\gamma\& -\\sin \\gamma\& 0\\\\ \\sin \\gamma\& \\cos \\gamma\& 0\\\\ 0\& 0\& 1\\\\ \\end{matrix} \\right \left \\begin{matrix} \\cos \\beta\& 0\& \\sin \\beta\\\\ 0\& 1\& 0\\\\ -\\sin \\beta\& 0\& \\cos \\beta\\\\ \\end{matrix} \\right \left \\begin{array}{c} \\dot{\\alpha}\\\\ 0\\\\ 0\\\\ \\end{array} \\right \\ \Rightarrow \vec{\omega}^F&=\left \\begin{matrix} \\cos \\beta \\cos \\gamma\& -\\sin \\gamma\& 0\\\\ \\cos \\beta \\sin \\gamma\& \\cos \\gamma\& 0\\\\ -\\sin \\beta\& 0\& 1\\\\ \\end{matrix} \\right \left \\begin{array}{c} \\dot{\\alpha}\\\\ \\dot{\\beta}\\\\ \\dot{\\gamma}\\\\ \\end{array} \\right \end{split} ω ~Fω ~Fω ~F⇒ω F⇒ω F⇒ω F⎩ ⎨ ⎧QMF=QF3(M)F2(k F,γ)QF2F1(j F,β)QF1F(i F,α)ω ~F=Q˙MFQMFT=⎩ ⎨ ⎧Q˙F3(M)F2(k F,γ)QF2F1(j F,β)QF1F(i F,α)⋅QF1F(i F,α)TQF2F1(j F,β)TQF3(M)F2(k F,γ)T+QF3(M)F2(k F,γ)Q˙F2F1(j F,β)QF1F(i F,α)⋅QF1F(i F,α)TQF2F1(j F,β)TQF3(M)F2(k F,γ)T+QF3(M)F2(k F,γ)QF2F1(j F,β)Q˙F1F(i F,α)⋅QF1F(i F,α)TQF2F1(j F,β)TQF3(M)F2(k F,γ)T=⎩ ⎨ ⎧Q˙F3(M)F2(k F,γ)QF3(M)F2(k F,γ)T+QF3(M)F2(k F,γ)Q˙F2F1(j F,β)QF2F1(j F,β)TQF3(M)F2(k F,γ)T+\[QF3(M)F2(k F,γ)QF2F1(j F,β)]Q˙F1F(i F,α)⋅QF1F(i F,α)T\[QF3(M)F2(k F,γ)QF2F1(j F,β)]T=ω ~F3(M)F2+QF3(M)F2(k F,γ)ω ~F2F1 +\[QF3(M)F2(k F,γ)QF2F1(j F,β)]ω ~F1F =ω F3(M)F2+QF3(M)F2(k F,γ)ω F2F1+\[QF3(M)F2(k F,γ)QF2F1(j F,β)]ω F1F= 00γ˙ + cosγsinγ0−sinγcosγ0001 0β˙0 + cosγsinγ0−sinγcosγ0001 cosβ0−sinβ010sinβ0cosβ α˙00 = cosβcosγcosβsinγ−sinβ−sinγcosγ0001 α˙β˙γ˙