Peter算法小课堂—并查集

我们先来看太戈编程467题攀亲戚

题目描述：

最近你发现自己和古代一个皇帝长得很像：都有两个鼻子一个眼睛，你想知道这皇帝是不是你的远方亲戚，你是不是皇亲国戚。目前你能掌握的信息有m条，关于n个人：第i条信息包含两个人的编号ai,bi，表示ai和bi是亲戚。你的编号是0，皇帝的编号是1，最大编号为n-1，请问能否通过信息推理出你和皇帝是不是亲戚？备注：众所周知，亲戚关系具有传递性。

连通块问题三大杀手：1.DFS 2.BFS 3.并查集

我们先定义一个id[]数组，表示i号节点的老爸（不是祖宗）。那么......想象一下，把样例构建成一幅图，怎么做呢（想象着想象着就睡着了）？哈哈，我们将无向边化作有向边即可，什么意思呢，就是呢，这个，啊这，嗯，差不多。回到题目，我们发现，皇帝有两个鼻子一个眼睛。

从这个变成......

按连接关系写完id[]。即看到一条，就在图上加一条边。

那如何判断7和8是否连通呢？其实，我们用root()函数表示一个节点的祖宗，判断root(7)==root(8)就行了。

我们人手动加一条边好弄啊，但是计算机不认识啊，咋办嘞。

我们能不能直接7到8连条线呢？那这时我们发现8的老爸有两个耶，id[8]只能存一个。简单来说就是，不能去修改已经有父亲的点的id。那能不能让1认7做它父亲捏？1又没有父亲。可以是可以，但是......你想想找8的祖宗得走多远呢，换句话说，这棵树的深度太高。正确答案是让1认0做它老爸。所以，unite()函数要调用两次root()。

所以说main()函数如下

cpp 复制代码

int main(){
	cin>>m>>n;
	for(ll i=0;i<n;i++) id[i]=i;
	while(m--){
		cin>>x>>y;
		unite(x,y);
	}
	if(root(1)==root(0)) cout<<"Yes"<<endl;
	else cout<<"No"<<endl;
}

root()和unite()如下

cpp 复制代码

ll root(ll x){
	if(id[x]==x) return x;
	else return root(id[x]);
}
void unite(ll x,ll y){
	ll rx=root(x),ry=root(y);
	id(rx)=ry;
}

此时看到代码的你立马复制黏贴。殊不知，没有AC。为什么呢？原来可以优化。

这叫"路径压缩"。那优化完的代码长什么样呢？

cpp 复制代码

ll root(ll x){
	return id[x]==x?x:id[x]=root(id[x]);
}

就这一处变化。那有的小彭友说我用BFS、DFS那不香吗？为什么我们用并查集，因为unite()、root()函数时间复杂度为O(1)！总复杂度O(m+n)！总空间复杂度O(n)!

并查集可视化网址：并查集 (Union-Find Disjoint Sets, 简称UFDS) - VisuAlgo