集合
基础
- 集合定义：把一些能够确定 的不同对象组成的整体叫做一个集合，每个对象叫做元素。
- 集合记法：一般用大写字母 A , B , C . . . . . . A,B,C...... A,B,C......表示集合，小写字母 a , b , c . . . . . . a,b,c...... a,b,c......表示元素。
- 集合与元素的关系： { a 是 A 中的元素： a 属于 A ，记为 a ∈ A b 不是 A 中的元素： b 不属于 A ，记为 b ∉ A } \begin{Bmatrix} a\text{是}A\text{中的元素：}a\text{属于}A\text{，记为}a\in A \\ b\text{不是}A\text{中的元素：}b\text{不属于}A\text{，记为}b\notin A \end{Bmatrix} {a是A中的元素：a属于A，记为a∈Ab不是A中的元素：b不属于A，记为b∈/A}
- 元素的三个特性 ：（从定义来的）
( 1 ) (1) (1) 确定性 \color{Red} \text{确定性} 确定性：标准明确，不含糊
( 2 ) (2) (2) 互异性 \color{Red} \text{互异性} 互异性：一个集合中的元素互不相同
( 3 ) (3) (3) 无序性 \color{Red} \text{无序性} 无序性：集合中的元素仅顺序改变，视为同一个集合 - 空集：不含任何元素的集合 叫空集，记为： ∅ \varnothing ∅
- 常见的数集：
( 1 ) (1) (1)：自然数集： N N N
( 2 ) (2) (2)：整数集： Z Z Z
( 3 ) (3) (3)：有理数集： Q Q Q
( 4 ) (4) (4)：实数集： R R R
( 5 ) (5) (5)：正整数集： N + 或 N ∗ N_+\text{或}N^* N+或N∗ (+取正，*去零)
( 6 ) (6) (6)：复数集： C C C - 集合的表示：
- 列举法 \color{Red} \text{列举法} 列举法：把集合中的所有元素都列出来，写在"{ }"内，并用"，"隔开。
( 1 1 1) e.g.：
" 1 1 1 ~ 10 10 10内的质数"：{ 2 , 3 , 5 , 7 2,3,5,7 2,3,5,7}
"不大于 50 50 50的自然数"：{ 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ , 50 0,1,2,3,\cdots,50 0,1,2,3,⋯,50}
"自然数集"：{ 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ 0,1,2,3,\cdots 0,1,2,3,⋯}
( 2 2 2) 分类： { 数集 点集 ⋯ ： { 有限集 无限集 \left\{\begin{matrix} \text{数集} \\ \text{点集} \\ \cdots \end{matrix}\right.\text{：} \left\{\begin{matrix} \text{有限集} \\ \text{无限集} \end{matrix}\right. ⎩ ⎨ ⎧数集点集⋯：{有限集无限集
注意 \color{Red} \text{注意} 注意：元素个数较多而且排列规律的时候，不引起误解的情况下，可以用 ⋯ \cdots ⋯表示集合。
∅ \varnothing ∅与{ ∅ \varnothing ∅}不一样
( 3 3 3) 列举法的特点：有限集且元素个数较少时用列举法，很直观。 - (特殊性质)描述法 \color{Red} \text{(特殊性质)描述法} (特殊性质)描述法：如果集合 A A A 中的任意一个元素都在集合 I I I 中可以找到，且 p ( x ) p(x) p(x) 是 A A A 的一个特征性质，则 A A A 可以表示为 { x ∈ I ∣ p ( x ) x\in I|p(x) x∈I∣p(x)}
(1) e.g.：{ x ∈ R ∣ x 2 − 2 = 0 x\in R|x^2-2=0 x∈R∣x2−2=0} ， { ( x , y ) ∣ y = x 2 (x,y)|y=x^2 (x,y)∣y=x2} ， { x ∈ N ∣ 1 < x ≤ 3 x\in N|1<x\le3 x∈N∣1<x≤3}
(2) 注意：表示的元素 ∈ R \in R ∈R 时可省，其他情况不能省略。集合的描述与字母选取无关。同一个集合的描述方法不唯一。
(3) 特点：无限集常用描述法，形式简洁，充分体现元素特征。 - 区间表示法(表示连续数集) \color{Red} \text{区间表示法(表示连续数集)} 区间表示法(表示连续数集)：设 a , b ∈ R , a < b a,b\in R,a<b a,b∈R,a<b，我们规定：
- 列举法 \color{Red} \text{列举法} 列举法：把集合中的所有元素都列出来，写在"{ }"内，并用"，"隔开。
| 定义 | 名称 | 符号 | 几何表示 |
|---|---|---|---|
| { x ∣ a ≤ x ≤ b x\mid a\le x\le b x∣a≤x≤b} | 闭区间 | [ a , b ] [a,b] [a,b] | 同 |
| { x ∣ a < x < b x\mid a< x< b x∣a<x<b} | 开区间 | ( a , b ) (a,b) (a,b) | 不 |
| { x ∣ a ≤ x < b x\mid a\le x< b x∣a≤x<b} | 左闭右开区间 | [ a , b ) [a,b) [a,b) | 等 |
| { x ∣ a < x ≤ b x\mid a< x\le b x∣a<x≤b} | 左开右闭区间 | ( a , b ] (a,b] (a,b] | 式 |
| R R R | 开区间 | ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞) | 解 |
| { x ∣ x ≥ a x\mid x\ge a x∣x≥a} | 左闭右开区间 | [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞) | 集 |
| { x ∣ x ≤ a x\mid x\le a x∣x≤a} | 左开右闭区间 | ( − ∞ , a ] (-\infty,a] (−∞,a] | 的 |
| { x ∣ x > a x\mid x>a x∣x>a} | 开区间 | ( a , + ∞ ) (a,+\infty) (a,+∞) | 画 |
| { x ∣ x < a x\mid x<a x∣x<a} | 开区间 | ( − ∞ , a ) (-\infty,a) (−∞,a) | 法 |
- 韦恩图法 \color{Red} \text{韦恩图法} 韦恩图法：了解即可，同容斥
简要逻辑
- 命题：同初中，分为真命题和假命题。 写成若 p p p 则 q q q 的形式。( p p p 为条件， q q q为结论)
- 充分，必要条件：
| 条件 | 内容 | 示例 |
|---|---|---|
| 充分条件 | 若 p ⇒ q p\Rightarrow q p⇒q，则 p p p 是 q q q 的充分条件 | x > 0 ⇒ x 2 > 0 x>0 \Rightarrow x^2>0 x>0⇒x2>0 |
| 必要条件 | 若 p ⇐ q p\Leftarrow q p⇐q，则 p p p 是 q q q 的必要条件 | x 2 > 0 ⇐ x > 0 x^2>0\Leftarrow x>0 x2>0⇐x>0 |
| 充要条件 | 若 p ⇔ q p\Leftrightarrow q p⇔q，则 p p p 是 q q q 的充要条件 | x 2 > 0 ⇔ x 4 > 0 x^2>0 \Leftrightarrow x^4>0 x2>0⇔x4>0 |
| 既不充分也不必要 | ------ | ------ |
- 全称量词，特称量词概念
- 命题的否定：一般地，对命题 p p p 加以否定，就得到一个新的命题，记作 ¬ p \neg p ¬p，读作 "非 p p p " 或 " p p p 的否定"
( 1 1 1) ： p : 2 > 1 ， ¬ p : 2 ≤ 1 p:2>1，\neg p:2\le1 p:2>1，¬p:2≤1
( 2 2 2) ：" ∀ x ∈ M , p ( x ) \forall x\in M,p(x) ∀x∈M,p(x)"的否定为" ∃ x ∈ M , ¬ p ( x ) \exists x\in M,\neg p(x) ∃x∈M,¬p(x)"
( 3 3 3) ：" ∃ x ∈ M , p ( x ) \exists x\in M,p(x) ∃x∈M,p(x)"的否定为" ∀ x ∈ M , ¬ p ( x ) \forall x\in M,\neg p(x) ∀x∈M,¬p(x)"
注意 ：对于 ( 2 ) ( 3 ) (2)(3) (2)(3)，口诀："量词互换，条件取反"
集合间的关系与运算
- 子集关系：若 ∀ x ∈ A , x ∈ B \forall x\in A,x\in B ∀x∈A,x∈B，则称集合 A A A 为集合 B B B 的子集，记作 A ⊆ B A\subseteq B A⊆B 或 B ⊇ A B\supseteq A B⊇A，读作 " A A A 包含于 B B B" 或 " B B B 包含 A A A"
注意：空集是任何集合的子集，任何集合都是本身的一个子集。 - 相等关系：若 A ⊆ B A\subseteq B A⊆B 且 B ⊆ A B\subseteq A B⊆A，则集合 A A A与集合 B B B相等，记作 A = B A=B A=B
- 真子集关系(真包含关系)：若 A ⊆ B , ∃ x ∈ B , x ∉ A A\subseteq B,\exists x\in B,x\notin A A⊆B,∃x∈B,x∈/A，我们称集合 A A A 是集合 B B B 的真子集，记作 A ⫋ B ( B ⫌ A ) A\subsetneqq B (B\supsetneqq A) A⫋B(B⫌A)
注意空集，注意： A ⊆ B { A = B A ⫋ B A\subseteq B\left\{\begin{matrix} A=B \\ A\subsetneqq B \end{matrix}\right. A⊆B{A=BA⫋B
A ∩ B = A\cap B= A∩B={ x ∣ x ∈ A , x ∈ B x|x\in A,x\in B x∣x∈A,x∈B}
A ∩ B = B ∩ A , A ∩ A = A , A ∩ ∅ = ∅ , ( A ∩ B ) ⊆ A , A ∩ B = A ⇔ A ⊆ B A\cap B =B\cap A,A\cap A=A,A\cap \varnothing=\varnothing,(A\cap B)\subseteq A,A\cap B=A\Leftrightarrow A\subseteq B A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩∅=∅,(A∩B)⊆A,A∩B=A⇔A⊆B
A ∪ B = A\cup B= A∪B={ x ∣ x ∈ A x|x\in A x∣x∈A 或 x ∈ B x\in B x∈B}
A ∪ B = B ∪ A , A ∪ A = A , A ∪ ∅ = A , ( A ∪ B ) ⊇ A , A ∪ B = B ⇔ A ⊆ B A\cup B =B\cup A,A\cup A=A,A\cup \varnothing=A,(A\cup B)\supseteq A,A\cup B=B\Leftrightarrow A\subseteq B A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪∅=A,(A∪B)⊇A,A∪B=B⇔A⊆B
- 全集：给定的集合，通常用 U U U 表示。
- 补集：记作 C U A C_UA CUA
C U A = C_UA= CUA={ x ∣ x ∈ U , x ∉ A x|x\in U,x\notin A x∣x∈U,x∈/A}
e.g:无理数集： C R Q C_RQ CRQ
C U U = ∅ , C U ∅ = U , C U ( C U A ) = A , A ∪ ( C U A ) = U , A ∩ ( C U A ) = ∅ C_UU=\varnothing,C_U\varnothing=U,C_U(C_UA)=A,A\cup(C_UA)=U,A\cap(C_UA)=\varnothing CUU=∅,CU∅=U,CU(CUA)=A,A∪(CUA)=U,A∩(CUA)=∅
集合与充要性的关系 ：命题 "若 p p p,则 q q q" 中， p : x ∈ A , q : x ∈ B p:x\in A,q:x\in B p:x∈A,q:x∈B
| 条件类型 | 判断依据(箭头方向) | 集合关系 |
|---|---|---|
| 充分非必要条件 | p ⇒ q p\Rightarrow q p⇒q且 p ⇍ q p\nLeftarrow q p⇍q， p p p 是 q q q 的充分非必要条件 | A ⫋ B A\subsetneqq B A⫋B |
| 必要非充分条件 | p ⇐ q p\Leftarrow q p⇐q且 p ⇏ q p\nRightarrow q p⇏q， p p p 是 q q q 的必要非充分条件 | A ⫌ B A\supsetneqq B A⫌B |
| 充要条件 | p ⇔ q p\Leftrightarrow q p⇔q， p p p 是 q q q 的充要条件 | A = B A=B A=B |
| 既不充分也不必要 | p ⇏ q p\nRightarrow q p⇏q且 p ⇍ q p\nLeftarrow q p⇍q， p p p 是 q q q的既不充分也不必要条件 | A , B A,B A,B无包含关系 |