【数学笔记】集合及简要逻辑

集合

基础

  1. 集合定义:把一些能够确定不同对象组成的整体叫做一个集合,每个对象叫做元素。
  2. 集合记法:一般用大写字母 A , B , C . . . . . . A,B,C...... A,B,C......表示集合,小写字母 a , b , c . . . . . . a,b,c...... a,b,c......表示元素。
  3. 集合与元素的关系: { a 是 A 中的元素: a 属于 A ,记为 a ∈ A b 不是 A 中的元素: b 不属于 A ,记为 b ∉ A } \begin{Bmatrix} a\text{是}A\text{中的元素:}a\text{属于}A\text{,记为}a\in A \\ b\text{不是}A\text{中的元素:}b\text{不属于}A\text{,记为}b\notin A \end{Bmatrix} {a是A中的元素:a属于A,记为a∈Ab不是A中的元素:b不属于A,记为b∈/A}
  4. 元素的三个特性 :(从定义来的)
    ( 1 ) (1) (1) 确定性 \color{Red} \text{确定性} 确定性:标准明确,不含糊
    ( 2 ) (2) (2) 互异性 \color{Red} \text{互异性} 互异性:一个集合中的元素互不相同
    ( 3 ) (3) (3) 无序性 \color{Red} \text{无序性} 无序性:集合中的元素仅顺序改变,视为同一个集合
  5. 空集:不含任何元素的集合 叫空集,记为: ∅ \varnothing ∅
  6. 常见的数集:
    ( 1 ) (1) (1):自然数集: N N N
    ( 2 ) (2) (2):整数集: Z Z Z
    ( 3 ) (3) (3):有理数集: Q Q Q
    ( 4 ) (4) (4):实数集: R R R
    ( 5 ) (5) (5):正整数集: N + 或 N ∗ N_+\text{或}N^* N+或N∗ (+取正,*去零)
    ( 6 ) (6) (6):复数集: C C C
  7. 集合的表示:
    1. 列举法 \color{Red} \text{列举法} 列举法:把集合中的所有元素都列出来,写在"{ }"内,并用","隔开。
      ( 1 1 1) e.g.:
      " 1 1 1 ~ 10 10 10内的质数":{ 2 , 3 , 5 , 7 2,3,5,7 2,3,5,7}
      "不大于 50 50 50的自然数":{ 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯   , 50 0,1,2,3,\cdots,50 0,1,2,3,⋯,50}
      "自然数集":{ 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ 0,1,2,3,\cdots 0,1,2,3,⋯}
      ( 2 2 2) 分类: { 数集 点集 ⋯ : { 有限集 无限集 \left\{\begin{matrix} \text{数集} \\ \text{点集} \\ \cdots \end{matrix}\right.\text{:} \left\{\begin{matrix} \text{有限集} \\ \text{无限集} \end{matrix}\right. ⎩ ⎨ ⎧数集点集⋯:{有限集无限集
      注意 \color{Red} \text{注意} 注意:元素个数较多而且排列规律的时候,不引起误解的情况下,可以用 ⋯ \cdots ⋯表示集合。
      ∅ \varnothing ∅与{ ∅ \varnothing ∅}不一样
      ( 3 3 3) 列举法的特点:有限集且元素个数较少时用列举法,很直观。
    2. (特殊性质)描述法 \color{Red} \text{(特殊性质)描述法} (特殊性质)描述法:如果集合 A A A 中的任意一个元素都在集合 I I I 中可以找到,且 p ( x ) p(x) p(x) 是 A A A 的一个特征性质,则 A A A 可以表示为 { x ∈ I ∣ p ( x ) x\in I|p(x) x∈I∣p(x)}
      (1) e.g.:{ x ∈ R ∣ x 2 − 2 = 0 x\in R|x^2-2=0 x∈R∣x2−2=0} , { ( x , y ) ∣ y = x 2 (x,y)|y=x^2 (x,y)∣y=x2} , { x ∈ N ∣ 1 < x ≤ 3 x\in N|1<x\le3 x∈N∣1<x≤3}
      (2) 注意:表示的元素 ∈ R \in R ∈R 时可省,其他情况不能省略。集合的描述与字母选取无关。同一个集合的描述方法不唯一。
      (3) 特点:无限集常用描述法,形式简洁,充分体现元素特征。
    3. 区间表示法(表示连续数集) \color{Red} \text{区间表示法(表示连续数集)} 区间表示法(表示连续数集):设 a , b ∈ R , a < b a,b\in R,a<b a,b∈R,a<b,我们规定:
定义 名称 符号 几何表示
{ x ∣ a ≤ x ≤ b x\mid a\le x\le b x∣a≤x≤b} 闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]
{ x ∣ a < x < b x\mid a< x< b x∣a<x<b} 开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)
{ x ∣ a ≤ x < b x\mid a\le x< b x∣a≤x<b} 左闭右开区间 [ a , b ) [a,b) [a,b)
{ x ∣ a < x ≤ b x\mid a< x\le b x∣a<x≤b} 左开右闭区间 ( a , b ] (a,b] (a,b]
R R R 开区间 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)
{ x ∣ x ≥ a x\mid x\ge a x∣x≥a} 左闭右开区间 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)
{ x ∣ x ≤ a x\mid x\le a x∣x≤a} 左开右闭区间 ( − ∞ , a ] (-\infty,a] (−∞,a]
{ x ∣ x > a x\mid x>a x∣x>a} 开区间 ( a , + ∞ ) (a,+\infty) (a,+∞)
{ x ∣ x < a x\mid x<a x∣x<a} 开区间 ( − ∞ , a ) (-\infty,a) (−∞,a)
  1. 韦恩图法 \color{Red} \text{韦恩图法} 韦恩图法:了解即可,同容斥

简要逻辑

  1. 命题:同初中,分为真命题和假命题。 写成若 p p p 则 q q q 的形式。( p p p 为条件, q q q为结论)
  2. 充分,必要条件:
条件 内容 示例
充分条件 若 p ⇒ q p\Rightarrow q p⇒q,则 p p p 是 q q q 的充分条件 x > 0 ⇒ x 2 > 0 x>0 \Rightarrow x^2>0 x>0⇒x2>0
必要条件 若 p ⇐ q p\Leftarrow q p⇐q,则 p p p 是 q q q 的必要条件 x 2 > 0 ⇐ x > 0 x^2>0\Leftarrow x>0 x2>0⇐x>0
充要条件 若 p ⇔ q p\Leftrightarrow q p⇔q,则 p p p 是 q q q 的充要条件 x 2 > 0 ⇔ x 4 > 0 x^2>0 \Leftrightarrow x^4>0 x2>0⇔x4>0
既不充分也不必要 ------ ------
  1. 全称量词,特称量词概念
  2. 命题的否定:一般地,对命题 p p p 加以否定,就得到一个新的命题,记作 ¬ p \neg p ¬p,读作 "非 p p p " 或 " p p p 的否定"
    ( 1 1 1) : p : 2 > 1 , ¬ p : 2 ≤ 1 p:2>1,\neg p:2\le1 p:2>1,¬p:2≤1
    ( 2 2 2) :" ∀ x ∈ M , p ( x ) \forall x\in M,p(x) ∀x∈M,p(x)"的否定为" ∃ x ∈ M , ¬ p ( x ) \exists x\in M,\neg p(x) ∃x∈M,¬p(x)"
    ( 3 3 3) :" ∃ x ∈ M , p ( x ) \exists x\in M,p(x) ∃x∈M,p(x)"的否定为" ∀ x ∈ M , ¬ p ( x ) \forall x\in M,\neg p(x) ∀x∈M,¬p(x)"
    注意 :对于 ( 2 ) ( 3 ) (2)(3) (2)(3),口诀:"量词互换,条件取反"

集合间的关系与运算

  1. 子集关系:若 ∀ x ∈ A , x ∈ B \forall x\in A,x\in B ∀x∈A,x∈B,则称集合 A A A 为集合 B B B 的子集,记作 A ⊆ B A\subseteq B A⊆B 或 B ⊇ A B\supseteq A B⊇A,读作 " A A A 包含于 B B B" 或 " B B B 包含 A A A"
    注意:空集是任何集合的子集,任何集合都是本身的一个子集。
  2. 相等关系:若 A ⊆ B A\subseteq B A⊆B 且 B ⊆ A B\subseteq A B⊆A,则集合 A A A与集合 B B B相等,记作 A = B A=B A=B
  3. 真子集关系(真包含关系):若 A ⊆ B , ∃ x ∈ B , x ∉ A A\subseteq B,\exists x\in B,x\notin A A⊆B,∃x∈B,x∈/A,我们称集合 A A A 是集合 B B B 的真子集,记作 A ⫋ B ( B ⫌ A ) A\subsetneqq B (B\supsetneqq A) A⫋B(B⫌A)
    注意空集,注意: A ⊆ B { A = B A ⫋ B A\subseteq B\left\{\begin{matrix} A=B \\ A\subsetneqq B \end{matrix}\right. A⊆B{A=BA⫋B

A ∩ B = A\cap B= A∩B={ x ∣ x ∈ A , x ∈ B x|x\in A,x\in B x∣x∈A,x∈B}

A ∩ B = B ∩ A , A ∩ A = A , A ∩ ∅ = ∅ , ( A ∩ B ) ⊆ A , A ∩ B = A ⇔ A ⊆ B A\cap B =B\cap A,A\cap A=A,A\cap \varnothing=\varnothing,(A\cap B)\subseteq A,A\cap B=A\Leftrightarrow A\subseteq B A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩∅=∅,(A∩B)⊆A,A∩B=A⇔A⊆B

A ∪ B = A\cup B= A∪B={ x ∣ x ∈ A x|x\in A x∣x∈A 或 x ∈ B x\in B x∈B}

A ∪ B = B ∪ A , A ∪ A = A , A ∪ ∅ = A , ( A ∪ B ) ⊇ A , A ∪ B = B ⇔ A ⊆ B A\cup B =B\cup A,A\cup A=A,A\cup \varnothing=A,(A\cup B)\supseteq A,A\cup B=B\Leftrightarrow A\subseteq B A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪∅=A,(A∪B)⊇A,A∪B=B⇔A⊆B

  1. 全集:给定的集合,通常用 U U U 表示。
  2. 补集:记作 C U A C_UA CUA
    C U A = C_UA= CUA={ x ∣ x ∈ U , x ∉ A x|x\in U,x\notin A x∣x∈U,x∈/A}
    e.g:无理数集: C R Q C_RQ CRQ

C U U = ∅ , C U ∅ = U , C U ( C U A ) = A , A ∪ ( C U A ) = U , A ∩ ( C U A ) = ∅ C_UU=\varnothing,C_U\varnothing=U,C_U(C_UA)=A,A\cup(C_UA)=U,A\cap(C_UA)=\varnothing CUU=∅,CU∅=U,CU(CUA)=A,A∪(CUA)=U,A∩(CUA)=∅

集合与充要性的关系 :命题 "若 p p p,则 q q q" 中, p : x ∈ A , q : x ∈ B p:x\in A,q:x\in B p:x∈A,q:x∈B

条件类型 判断依据(箭头方向) 集合关系
充分非必要条件 p ⇒ q p\Rightarrow q p⇒q且 p ⇍ q p\nLeftarrow q p⇍q, p p p 是 q q q 的充分非必要条件 A ⫋ B A\subsetneqq B A⫋B
必要非充分条件 p ⇐ q p\Leftarrow q p⇐q且 p ⇏ q p\nRightarrow q p⇏q, p p p 是 q q q 的必要非充分条件 A ⫌ B A\supsetneqq B A⫌B
充要条件 p ⇔ q p\Leftrightarrow q p⇔q, p p p 是 q q q 的充要条件 A = B A=B A=B
既不充分也不必要 p ⇏ q p\nRightarrow q p⇏q且 p ⇍ q p\nLeftarrow q p⇍q, p p p 是 q q q的既不充分也不必要条件 A , B A,B A,B无包含关系
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