图论：并查集的合并、判断和求节点

所谓并查集就是可以画图理解

假如说我们想要构建一个树（也是图），要求1->2,2->4,1->3

在构另一个树，要求5->6,6->7,5->8

1是2的头结点，2是4的头结点，以此类推

下面要求去将5连接到1上，就是我下面要讲的，其实上面的子节点的连接也是如此的。

简单并查集例题：

一共有 n 个数，编号是 1∼n，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行 m 个操作，操作共有两种：

M a b，将编号为 a 和 b 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
Q a b，询问编号为 a 和 b 的两个数是否在同一个集合中；

输入格式

第一行输入整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 M a b 或 Q a b 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q a b，都要输出一个结果，如果 a 和 b 在同一集合内，则输出 Yes，否则输出 No。

每个结果占一行。

分析一下：

面对这种比较新的数据结构一般都是非常抽象的，但是一旦通过画图或者推理理解了，也就很容易记住了，首先我们将p $i$ =i，为的是存储此树的头结点，接下来要进行连接的操作，就要通过find（），压缩一下路径。将子节点连接到p $b$ =find(p $a$ )（a为子节点，b为父节点），下面都是这种操作。

然后这个题目他让判断是不是在一个集合就可以find(a)==find(b)来判断是不是头结点一样，因为最终find(a)返回的是头结点的值。

代码实现：

cpp 复制代码

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int N=1e5+10;
 int p[N];
 int find(int x){//返回x的祖宗节点+路径压缩
    if(p[x]!=x)p[x]=find(p[x]);//只有祖宗节点才有p[x]=x
    return p[x];
 }
 int n,m;
 signed main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
      for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=i;
      for(int i=1;i<=m;i++){
         char op[2];//读字符串比读字符更省事
         int a,b;
         scanf("%s%d%d",op,&a,&b);
         if(*op=='M')p[find(a)]=find(b);
         else {
             if(find(a)==find(b))printf("Yes\n");
             else printf("No\n");
         }
      }
 }

下面还有一类题目：让求一个树里面有多少子节点

给定一个包含 n 个点（编号为 1∼n）的无向图，初始时图中没有边。

现在要进行 m 个操作，操作共有三种：

C a b，在点 a 和点 b 之间连一条边，a 和 b 可能相等；
Q1 a b，询问点 a 和点 b 是否在同一个连通块中，a 和 b 可能相等；
Q2 a，询问点 a 所在连通块中点的数量；

输入格式

第一行输入整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 C a b，Q1 a b 或 Q2 a 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q1 a b，如果 a和 b在同一个连通块中，则输出 Yes，否则输出 No。

对于每个询问指令 Q2 a，输出一个整数表示点 a 所在连通块中点的数量

每个结果占一行。

数据范围

1≤n,m≤10^5

输入样例：

复制代码

输出样例：

复制代码

Yes
2
3

分析过程：

这个题的求节点数，只用拿个数组将所有的子节点连接过程一一地加到父节点的si $b$ （b为父节点），最后输出的是si $find(a)$ （a为树中任意一个数）。这样我们就求到了树的节点数。

但是别忘记初始化为si $i$ =1，不是si $i$ =i

代码实现：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define read(x) scanf("%d",&x)
using namespace std;
const int N = 1e5+5;
int n,m,a,b,fa[N], si[N];
string act;

void init() {//初始化
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        fa[i] = i;
        si[i] = 1;
    }
}

int find(int x) {//查找父节点
    if(fa[x]==x) return x;
    else return fa[x] = find(fa[x]);
}

void merge(int a,int b) {//节点数加起来
    int x = find(a);
    int y = find(b);
    fa[x] = y;
    si[y] += si[x];
}

bool ask(int a,int b) {//询问是不是头结点一样
    return find(a)==find(b);
}

int main() {
    read(n),read(m);
    init();
    while(m--) {
        cin>>act;
        if(act=="C") {
            read(a),read(b);
            if(!ask(a,b)) merge(a,b);
        } else if(act=="Q1") {
            read(a),read(b);
            ask(a,b) ? printf("Yes\n") : printf("No\n");
        } else {
            read(a);
            printf("%d\n",si[find(a)]);
        }
    }   
    return 0;
}

以上就是并查集这一种数据结构的代码思路和方法了。