LeetCode-题目整理【3】：买卖股票的最佳时机

买卖股票的最佳时机都是求最大利润，但是在没有限制，如121和122，动态规划稍微复杂一些，建议不用，到最后两道难题，题目有限制，使用动态规划通过求解子问题的最优解来逐步求解原问题的最优解。

买卖股票的最佳时机给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices $i$ 表示一支给定股票第 i 天的价格。你只能选择某一天买入这只股票，并选择在未来的某一个不同的日子卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
示例 1：
输入： $7,1,5,3,6,4$
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
示例 2：
输入：prices = $7,6,4,3,1$
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

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func maxProfit(prices []int) int {
    minPrice := prices[0]
    maxProfit := 0
    for i := 1; i < len(prices); i++ {
        if prices[i] < minPrice {
            minPrice = prices[i]
        } else if prices[i] - minPrice > maxProfit {
            maxProfit = prices[i] - minPrice
        }
    }
    return maxProfit
}

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//动态规划解答

func maxProfit(prices []int) int {
	if len(prices) == 0 {
		return 0
	}

	n := len(prices)
	dp := make([]int, n)
	dp[0] = 0
	minPrice := prices[0]

	for i := 1; i < n; i++ {
		minPrice = min(minPrice, prices[i])
		dp[i] = max(dp[i-1], prices[i]-minPrice)
	}

	return dp[n-1]
}

func min(a, b int) int {
	if a < b {
		return a
	}
	return b
}

func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

// 使用动态规划来解决这个问题，可以通过定义状态和状态转移方程来求解最大利润。

// 具体步骤如下：

// 定义状态：使用一个一维数组 dp 来表示在第 i 天的最大利润，dp[i] 表示第 i 天卖出股票所能获取的最大利润。
// 初始化状态：dp[0] 初始化为 0。
// 状态转移方程：对于第 i 天，可以选择卖出股票或者不卖出股票。如果选择卖出股票，则最大利润为 prices[i] - minPrice，其中 minPrice 表示前 i 天的最低价格。如果选择不卖出股票，则最大利润为前一天的最大利润 dp[i-1]。因此，状态转移方程为 dp[i] = max(dp[i-1], prices[i] - minPrice)。
// 更新最低价格：在更新状态之前，需要将当前价格 prices[i] 和之前的最低价格 minPrice 进行比较，更新最低价格为较小的那个。
// 遍历结束后，返回 dp[n-1]，其中 n 表示数组 prices 的长度。

买卖股票的最佳时机 II
给你一个整数数组 prices ，其中 prices $i$ 表示某支股票第 i 天的价格。
在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候最多只能持有一股股票。你也可以先购买，然后在同一天出售。
返回你能获得的最大利润。
示例 1：
输入：prices = $7,1,5,3,6,4$
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
总利润为 4 + 3 = 7 。
示例 2：
输入：prices = $1,2,3,4,5$
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
总利润为 4 。
示例 3：
输入：prices = $7,6,4,3,1$
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0 。

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func maxProfit(prices []int) int {
    if len(prices) <= 1 {
        return 0
    }

    maxProfit := 0
    for i := 1; i < len(prices); i++ {
        if prices[i] > prices[i-1] {
            maxProfit += prices[i] - prices[i-1]
        }
    }

    return maxProfit
}

// 使用了贪心算法来解决问题，通过每次在价格上升时买入股票，价格下降时卖出股票，从而获取最大利润。

// 具体步骤如下：

// 初始化最大利润为 0。
// 遍历股票价格数组，从第 2 天开始。
// 如果当天的股票价格比前一天高，则将差值加入最大利润中。
// 遍历结束后，返回最大利润。
// 这种方法的思路是，当股票价格上涨时，我们可以在价格上涨期间多次买入和卖出，从而获取更多的利润。而当股票价格下跌时，我们不进行任何操作。

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//动态规划

func maxProfit(prices []int) int {
    if len(prices) == 0 {
        return 0
    }

    n := len(prices)
    buy := make([]int, n)  // 当前持有股票的最大利润
    sell := make([]int, n) // 当前不持有股票的最大利润

    // 初始化第一天的情况
    buy[0] = -prices[0]
    sell[0] = 0

    for i := 1; i < n; i++ {
        // 当前持有股票的最大利润，要么继续保持前一天的状态，要么今天买入
        buy[i] = max(buy[i-1], sell[i-1]-prices[i])
        // 当前不持有股票的最大利润，要么继续保持前一天的状态，要么今天卖出
        sell[i] = max(sell[i-1], buy[i-1]+prices[i])
    }

    // 最终返回最后一天不持有股票的最大利润
    return sell[n-1]
}

func max(a, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}


// 使用动态规划来解决。
// 具体步骤如下：

// 定义状态：使用两个一维数组 buy 和 sell 来分别表示在第 i 天持有股票和不持有股票时的最大利润。buy[i] 表示第 i 天持有股票时的最大利润，sell[i] 表示第 i 天不持有股票时的最大利润。
// 初始化状态：buy[0] 初始化为 -prices[0]，表示第 0 天持有股票的最大利润；sell[0] 初始化为 0，表示第 0 天不持有股票的最大利润。
// 状态转移方程：对于第 i 天，如果选择持有股票，则最大利润为前一天持有股票的最大利润 buy[i-1] 或者前一天不持有股票的最大利润减去当天的股价 sell[i-1] - prices[i] 中的较大值；如果选择不持有股票，则最大利润为前一天不持有股票的最大利润 sell[i-1] 或者前一天持有股票的最大利润加上当天的股价 buy[i-1] + prices[i] 中的较大值。因此，状态转移方程为 buy[i] = max(buy[i-1], sell[i-1] - prices[i])，sell[i] = max(sell[i-1], buy[i-1] + prices[i])。
// 遍历数组结束后，返回 sell[n-1]，其中 n 表示数组 prices 的长度。

买卖股票的最佳时机 III
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = $3,3,5,0,0,3,1,4$
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天（股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = $1,2,3,4,5$
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = $7,6,4,3,1$
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = $1$
输出：0

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//动态规划

func maxProfit(prices []int) int {
	if len(prices) == 0 {
		return 0
	}

	buy1 := -prices[0]
	sell1 := 0
	buy2 := -prices[0]
	sell2 := 0

	for i := 1; i < len(prices); i++ {
		buy1 = max(buy1, -prices[i])
		sell1 = max(sell1, buy1+prices[i])
		buy2 = max(buy2, sell1-prices[i])
		sell2 = max(sell2, buy2+prices[i])
	}

	return sell2
}

func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

// 可以使用动态规划来解决。

// 具体步骤如下：

// 定义状态：使用四个变量 buy1、sell1、buy2、sell2 来分别表示第一次买入、第一次卖出、第二次买入、第二次卖出时的最大利润。
// 初始化状态：buy1 初始化为 -prices[0]，表示第一次买入的最大利润；sell1、buy2、sell2 初始化为 0。
// 状态转移方程：对于第 i 天，我们可以选择买入第一次、卖出第一次、买入第二次、卖出第二次或者不进行任何操作。因此，状态转移方程为：
// buy1 = max(buy1, -prices[i])，第一次买入的最大利润为前一天买入的最大利润 buy1 或者今天买入的价格 -prices[i] 中的较大值。
// sell1 = max(sell1, buy1 + prices[i])，第一次卖出的最大利润为前一天卖出的最大利润 sell1 或者今天卖出的价格加上第一次买入的最大利润 buy1 + prices[i] 中的较大值。
// buy2 = max(buy2, sell1 - prices[i])，第二次买入的最大利润为前一天买入的最大利润 buy2 或者今天买入的价格 -prices[i] 加上第一次卖出的最大利润 sell1 中的较大值。
// sell2 = max(sell2, buy2 + prices[i])，第二次卖出的最大利润为前一天卖出的最大利润 sell2 或者今天卖出的价格加上第二次买入的最大利润 buy2 + prices[i] 中的较大值。
// 遍历结束后，返回 sell2，即最大利润。

买卖股票的最佳时机 IV
给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices $i$ 是某支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1：
输入：k = 2, prices = $2,4,1$
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
示例 2：
输入：k = 2, prices = $3,2,6,5,0,3$
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

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//动态规划

func maxProfit(k int, prices []int) int {
	if k == 0 || len(prices) == 0 {
		return 0
	}

// 定义了一个辅助函数 maxProfitUnlimited 来计算不限制交易次数时的最大利润。
	if k >= len(prices)/2 {
		return maxProfitUnlimited(prices)
	}

	dp := make([][]int, len(prices))
	for i := 0; i < len(prices); i++ {
		dp[i] = make([]int, k+1)
	}

	for j := 1; j <= k; j++ {
		buy := -prices[0]
		for i := 1; i < len(prices); i++ {
			dp[i][j] = max(dp[i-1][j], prices[i]+buy)
			buy = max(buy, dp[i-1][j-1]-prices[i])
		}
	}

	return dp[len(prices)-1][k]
}

// 和122. 买卖股票的最佳时机 II 使用贪心解法一样
// 定义了一个辅助函数 maxProfitUnlimited 来计算不限制交易次数时的最大利润。
func maxProfitUnlimited(prices []int) int {
	profit := 0

	for i := 1; i < len(prices); i++ {
		if prices[i] > prices[i-1] {
			profit += prices[i] - prices[i-1]
		}
	}

	return profit
}

func max(x, y int) int {
	if x > y {
		return x
	}
	return y
}

// 可以使用动态规划来解决。
// 定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在第 i 天进行了 j 笔交易的最大利润。
// 具体步骤如下：

// 初始化 dp 为一个大小为 (len(prices), k+1) 的二维数组，所有元素初始化为 0。
// 对于每一天 i，对于每一笔交易次数 j：
// 如果 j = 0，表示没有交易，利润为 0。
// 如果 i = 0，表示第一天，利润为 0。
// 否则，根据以下两种情况来更新 dp[i][j]：
// 第一种情况是在第 i 天不进行交易，即 dp[i][j] = dp[i-1][j]。
// 第二种情况是在第 i 天进行交易，即在前 i-1 天进行了 j-1 笔交易，然后在第 i 天买入股票，再在第 i 天卖出股票，即 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + prices[i] - prices[i-1]。
// 返回 dp[len(prices)-1][k]，即为最大利润。

// 在这个解法中，首先判断特殊情况，如果 k = 0 或者 prices 数组为空，直接返回 0。
// 然后，初始化二维数组 dp，并且对于每一天和每一笔交易次数，根据上述的两种情况来更新 dp。
// 最后，返回 dp[len(prices)-1][k]，即为最大利润。