超级胶水（第十一届蓝桥杯）

题目

小明有 n n n颗石子，按顺序摆成一排。他准备用胶水将这些石子粘在一起。

每颗石子有自己的重量，如果将两颗石子粘在一起，将合并成一颗新的石子，重量是这两颗石子的重量之和。

为了保证石子粘贴牢固，粘贴两颗石子所需要的胶水与两颗石子的重量乘积成正比，本题不考虑物理单位，认为所需要的胶水在数值上等于两颗石子重量的乘积。

每次合并，小明只能合并位置相邻的两颗石子，并将合并出的新石子放在原来的位置。

现在，小明想用最少的胶水将所有石子粘在一起，请帮助小明计算最少需要多少胶水。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 n n n，表示初始时的石子数量。

第二行包含 n 个整数 w 1 , w 2 , ... , w n n个整数 w_1,w_2,...,w_n n个整数w1,w2,...,wn，依次表示每颗石子的重量。

输出格式

一个整数表示答案。

数据范围
1 ≤ n ≤ 1 0 5 , 1≤n≤10^5, 1≤n≤105,
1 ≤ w i ≤ 1000 1≤w_i≤1000 1≤wi≤1000
输入样例1：

3

3 4 5

输出样例1：

47

输入样例2：

8

1 5 2 6 3 7 4 8

输出样例2：

546

代码(python版本)

python 复制代码

n=int(input())
arr=list(map(int,input().split()))
res=0
cur=0
for i in range(len(arr)):
    res+=cur*arr[i]
    cur+=arr[i]
print(res)

代码（cpp版本）

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

int n;
const int N = 1e5+10;
int arr[N];
int main()
{
    cin>>n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    cin>>arr[i];
    
    LL res=0,cur=0;    
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        
        res+=cur*arr[i];
        cur+=arr[i];
    }
    cout<<res<<endl;
    
    
    return 0;
}

思路

看到这题，首先看一下数据范围为1e5，思考一下，那么最大的时间复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn),最多时间不能超过这个。现在心里有数了，就可以开始做题，首先拿到题目，首先暴力骗分看一下常规思路。我们先模拟一下：

假设现在有三个石头，质量分别为 a 1 , a 2 ， a 3 a_1,a_2，a_3 a1,a2，a3，那么：

第一次将最左边的两个石头合并，需要的胶水量就是 a 1 ∗ a 2 a_1*a_2 a1∗a2

现在只有两个石头了，质量分别为 a 1 + a 2 , a 3 a_1+a_2,a_3 a1+a2,a3

那么将这两个石头合并之后，需要的胶水量是 ( a 1 + a 2 ) ∗ a 3 (a_1+a_2)*a_3 (a1+a2)∗a3

一共需要的胶水量是 a 1 ∗ a 2 + ( a 1 + a 2 ) ∗ a 3 a_1*a_2+(a_1+a_2)*a_3 a1∗a2+(a1+a2)∗a3

假设现在有四个石头，质量分别为 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 a_1,a_2,a_3,a_4 a1,a2,a3,a4，那么：

第一次将最左边的两个石头合并，需要的胶水量就是 a 1 ∗ a 2 a_1*a_2 a1∗a2

现在还有三个石头，质量分别为 a 1 + a 2 , a 3 , a 4 a_1+a_2,a_3,a_4 a1+a2,a3,a4

继续将左边的两个石头合并之后，需要的胶水量是 ( a 1 + a 2 ) ∗ a 3 (a_1+a_2)*a_3 (a1+a2)∗a3

现在只有两个石头，质量分别为 a 1 + a 2 + a 3 , a 4 a_1+a_2+a_3,a_4 a1+a2+a3,a4

将剩余的两个石头合并，需要的胶水量是 ( a 1 + a 2 + a 3 ) ∗ a 4 (a_1+a_2+a_3)*a_4 (a1+a2+a3)∗a4

一共需要的胶水量是 a 1 ∗ a 2 + ( a 1 + a 2 ) ∗ a 3 + ( a 1 + a 2 + a 3 ) ∗ a 4 a_1*a_2+(a_1+a_2)*a_3+(a_1+a_2+a_3)*a_4 a1∗a2+(a1+a2)∗a3+(a1+a2+a3)∗a4

到这里就找到了规律，就是胶水量为 a 1 ∗ a 2 + ( a 1 + a 2 ) ∗ a 3 + ( a 1 + a 2 + a 3 ) ∗ a 4 + ( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) ∗ a 5 + . . . . . . + ( a 1 + a 2 + . . . + a n − 1 ) ∗ a n a_1*a_2+(a_1+a_2)*a_3+(a_1+a_2+a_3)*a_4+(a_1+a_2+a_3+a_4)*a_5+......+(a_1+a_2+...+a_{n-1})*a_n a1∗a2+(a1+a2)∗a3+(a1+a2+a3)∗a4+(a1+a2+a3+a4)∗a5+......+(a1+a2+...+an−1)∗an

然后代码中cur代表当前的重量，也就是上面的规律中的括号中的数。