文章目录
- [第6章 逻辑斯谛回归与最大熵模型](#第6章 逻辑斯谛回归与最大熵模型)
- [6.1 逻辑斯谛回归模型](#6.1 逻辑斯谛回归模型)
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- [6.1.1 逻辑斯谛分布](#6.1.1 逻辑斯谛分布)
- [6.1.2 二项逻辑斯谛回归模型](#6.1.2 二项逻辑斯谛回归模型)
- [6.1.3 模型参数估计](#6.1.3 模型参数估计)
- [6.1.4 多项逻辑斯谛回归](#6.1.4 多项逻辑斯谛回归)
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我算是有点基础的（有过深度学习和机器学的项目经验），但也是半路出家，无论是学Python还是深度学习，都是从问题出发，边查边做，没有系统的学过相关的知识，这样的好处是入门快（如果想快速入门，大家也可以试试，直接上手项目，从小项目开始），但也存在一个严重的问题就是，很多东西一知半解，容易走进死胡同出不来（感觉有点像陷入局部最优解，找不到出路），所以打算系统的学习几本口碑比较不错的书籍。
书籍选择： 当然，机器学习相关的书籍有很多，很多英文版的神书，据说读英文版的书会更好，奈何英文不太好，比较难啃。国内也有很多书，周志华老师的"西瓜书"我也有了解过，看了前几章，个人感觉他肯能对初学者更友好一点，讲述的非常清楚，有很多描述性的内容。对比下来，更喜欢《统计学习方法》，毕竟能坚持看完才最重要。
笔记内容： 笔记内容尽量省去了公式推导的部分，一方面latex编辑太费时间了，另一方面，我觉得公式一定要自己推到一边才有用（最好是手写）。尽量保留所有标题，但内容会有删减，通过标黑和列表的形式突出重点内容，要特意说一下，标灰的部分大家最好读一下（这部分是我觉得比较繁琐，但又不想删掉的部分）。
代码实现： 最后是本章内容的实践，如果想要对应的.ipynb文件，可以留言
第6章 逻辑斯谛回归与最大熵模型
逻辑斯谛回归（logistic regression） 是统计学习中的经典分类方法。最大熵是概率模型学习的一个准则，将其推广到分类问题得到最大熵模型（maximum entropy model）。
逻辑斯谛回归模型与最大熵模型都属于对数线性模型。
6.1 逻辑斯谛回归模型
6.1.1 逻辑斯谛分布
首先介绍逻辑斯谛分布 （logistic distribution）。
逻辑斯谛分布的密度函数 f ( x ) f(x) f(x)和分布函数 F ( x ) F(x) F(x)的图形如图6.1所示。分布函数属于逻辑斯谛函数，其图形是一条S形曲线（sigmoid curve）。该曲线以点 为中心对称，即满足：
曲线在中心附近增长速度较快，在两端增长速度较慢。形状参数 γ γ γ的值越小，曲线在中心附近增长得越快。
6.1.2 二项逻辑斯谛回归模型
二项逻辑斯谛回归模型（binomial logistic regression model）是一种分类模型 ，由条件概率分布 P ( Y ∣ X ) P(Y|X) P(Y∣X)表示，形式为参数化的逻辑斯谛分布。
这里，随机变量 X X X取值为实数，随机变量 Y Y Y取值为1或0。我们通过监督学习的方法来估计模型参数。
对于给定的输入实例 x x x，按照式（6.3）和式（6.4）可以求得 P ( Y ＝ 1 ∣ x ) P(Y＝1|x) P(Y＝1∣x)和 P ( Y ＝ 0 ∣ x ) P(Y＝0|x) P(Y＝0∣x)。
逻辑斯谛回归比较两个条件概率值的大小，将实例 x x x分到概率值较大的那一类。
有时为了方便，将权值向量 和输入向量 加以扩充，仍记作 w ， x w，x w，x，即
- 权值向量: w ＝ ( w ( 1 ) , w ( 2 ) , ... , w ( n ) , b ) T w＝(w^{(1)},w^{(2)}, ...,w^{(n)},b)^T w＝(w(1),w(2),...,w(n),b)T，
- 输入向量: x ＝ ( x ( 1 ) , x ( 2 ) , ... , x ( n ) , 1 ) T x＝(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(n)},1)^T x＝(x(1),x(2),...,x(n),1)T。
这时，逻辑斯谛回归模型如下：
逻辑斯谛回归模型的特点。
一个事件的几率（odds）是指该事件发生的概率与该事件不发生的概率的比值。
如果事件发生的概率是p，那么该事件的几率是 p 1 − p \frac{p}{1-p} 1−pp ，该事件的对数几率 （log odds）或logit函数是
l o g i t ( p ) = l o g p 1 − p logit(p)=log\frac{p}{1-p} logit(p)=log1−pp
对逻辑斯谛回归而言，由式（6.5）与式（6.6）得
l o g P ( Y = 1 ∣ x ) 1 − P ( Y = 1 ∣ x ) = w ⋅ x log\frac{P(Y=1|x)}{1-P(Y=1|x)} = w\cdot x log1−P(Y=1∣x)P(Y=1∣x)=w⋅x
这就是说，在逻辑斯谛回归模型中，输出 Y ＝ 1 Y＝1 Y＝1的对数几率是输入 x x x的线性函数。（或者说，输出 Y ＝ 1 Y＝1 Y＝1的对数几率是由输入 x x x的线性函数表示的模型，即逻辑斯谛回归模型。）
换一个角度看，考虑对输入 x x x进行分类的线性函数 w ⋅ x w·x w⋅x，其值域为实数域。注意，这里 x ∊ R N + 1 x∊R^{N+1} x∊RN+1, w ∊ R N + 1 w∊R^{N+1} w∊RN+1。通过逻辑斯谛回归模型定义式（6.5）可以将线性函数 w ⋅ x w·x w⋅x转换为概率：
P ( Y = 1 ∣ x ) = e x p ( w ⋅ x ) 1 + e x p ( w ⋅ x ) P(Y=1|x)=\frac{exp(w \cdot x)}{1+exp(w \cdot x)} P(Y=1∣x)=1+exp(w⋅x)exp(w⋅x)
这时，
- 线性函数的值越接近正无穷，概率值就越接近1；
- 线性函数的值越接近负无穷，概率值就越接近0（如图6.1所示）。
这样的模型就是逻辑斯谛回归模型。
6.1.3 模型参数估计
逻辑斯谛回归模型学习时，对于给定的训练数据集 T ＝ ( x 1 ， y 1 ) , ( x 2 ， y 2 ) , ... , ( x N , y N ) T＝{(x_1，y_1),(x_2，y_2),...,(x_N,y_N)} T＝(x1，y1),(x2，y2),...,(xN,yN)，其中， x i ∊ R n x_i∊R^n xi∊Rn， y i ∊ 0 , 1 y_i∊{0,1} yi∊0,1，可以应用极大似然估计法估计模型参数，从而得到逻辑斯谛回归模型。
设：
P （ Y = 1 ∣ x ） = π ( x ) P（Y=1|x）=\pi(x) P（Y=1∣x）=π(x)
P （ Y = 0 ∣ x ） = 1 − π ( x ) P（Y=0|x）=1-\pi(x) P（Y=0∣x）=1−π(x)
似然函数为:
∏ i = 0 N [ π ( x i ) ] y i [ 1 − π ( x i ) ] 1 − y i ] \prod \limits_{i=0}^N[\pi(x_i)]^{y_i}[1-\pi(x_i)]^{1-y_i}] i=0∏N[π(xi)]yi[1−π(xi)]1−yi]
对数似然函数为:
对 L ( w ) L(w) L(w)求极大值，得到 w w w的估计值。
这样，问题就变成了以对数似然函数 为目标函数的最优化问题 。逻辑斯谛回归学习中通常采用的方法是梯度下降法 及拟牛顿法。
假设 w w w的极大似然估计值是 ，那么学到的逻辑斯谛回归模型为
P ( Y = 1 ∣ x ) = e x p ( w ^ ⋅ x ) 1 + e x p ( w ^ ⋅ x ) P(Y=1|x)=\frac{exp(\hat{w} \cdot x)}{1+exp(\hat{w} \cdot x)} P(Y=1∣x)=1+exp(w^⋅x)exp(w^⋅x)
P ( Y = 0 ∣ x ) = 1 1 + e x p ( w ^ ⋅ x ) P(Y=0|x)=\frac{1}{1+exp(\hat{w} \cdot x)} P(Y=0∣x)=1+exp(w^⋅x)1
6.1.4 多项逻辑斯谛回归
上面介绍的逻辑斯谛回归模型是二项分类模型，用于二类分类。
可以将其推广为多项逻辑斯谛回归模型（multi-nominal logistic regression model），用于多类分类。
假设离散型随机变量Y的取值集合是 1 , 2 , ... , K {1,2,...,K} 1,2,...,K，那么多项逻辑斯谛回归模型是
二项逻辑斯谛回归的参数估计法也可以推广到多项逻辑斯谛回归。