图解快速排序核心原理，了解快速排序为什么快？

在排序的算法中，1945 年由冯诺依曼发明的归并排序（Merge Sort），是一种典型利用分治策略高效解决问题的算法。

然而，归并排序的缺陷在于其需要额外存储空间。这引发了一个问题：能不能有一种算法，既不依赖额外空间，又能利用分治思想进行原地排序？

快速排序正是这样一种算法。不同于归并排序，快速排序将重心放在"分"上，让"治"自然发生。

快速排序的核心原理

快速排序分为两个核心过程组成：

划分（Partition）： 选择数组中的一个元素为支点（pivot），通过一次遍历，将小于等于支点的元素移到左侧，大于支点的元素移动到右侧。

递归（recursion）： 对左右两侧的子数组，重复执行上述操作，直到整个数组完全有序。

选择合适的支点（pivot）

我们首先来选择支点（pivot），支点的选择对快速排序的效率影响显著。

理想情况下，支点选择数组中位数，这样能确保划分后的子数组尽量平衡，从而最大限度地发挥分治的效果。

但在实际操作中，每次都去找中位数从性能上看，似乎划不来。因此，对于随机排列的数组而言，直接选择最后一个元素作为支点，不失为一种好方法。

划分（Partition）过程

选择好支点后，我们可以对数组进行划分操作。这也是快速排序算法中最重要的部分。

在这一过程中，通过一次数组扫描并设置两个指针 i 和 j，形成所谓的"双指针遍历"，同时确保在扫描过程中满足以下条件：

$lo, i\] 之间的元素都 `<=pivot`。$
$j, hi-1\] 之间的元素未被扫描。$

我们来详细描述一下"双指针遍历"过程中的各个阶段：

1. 扫描初始化：

在扫描开始前，我们设置 i=lo-1 和 j=lo 以保持上述三个条件成立。

在初始状态下 [j, hi-1] 之间是所有未扫描的元素，[lo, i] (<=pivot) 和 [i+1, j-1] (>pivot) 的区间都不存在。

2. 扫描过程：

当 A[j] > pivot 时，j 的值加 1。保证 [i+1, j-1] 之间的元素满足 >piovt。

当 A[j] <= pivot 时，i 加 1，交换 A[i] 和 A[j] 的值之后，j 再加 1。

这样同时保证了 [lo, i] 之间的元素满足 <=pivot，并且 [i+1, j-1] 之间的元素满足 >piovt。

3. 扫描结束：

扫描完成时 j = hi，此时我们需要将支点 A[hi] 置于正确位置。通过交换 A[hi] 与 A[i+1]，支点就位，返回其索引。

将上述的扫描过程转化为代码是一个有趣的挑战，你可以先思考一下如何实现。这里提供一个我编写的函数，以供参考：

python 复制代码

def partition(A, lo, hi):
    pivot = A[hi]
    i = lo - 1
    for j in range(lo, hi):
        if A[j] <= pivot :
            i = i + 1
            A[i], A[j] = A[j], A[i]
    A[i + 1], A[hi] = A[hi], A[i + 1]
    return i + 1

下面的动图更好地展示了双指针遍历扫描代码的执行过程：

注意：你可以在我的 github 仓库中查看源代码 quicksort01

递归：实现快速排序

我们来完成最后一步，通过递归不断地对子数组进行划分，直到每个子数组只有一个元素，此时整个数组就被排序完成。

python 复制代码

def quicksort(A, lo, hi):
    if lo < hi:
        pivot_index = partition(A, lo, hi)
        quicksort(A, lo, pivot_index - 1)
        quicksort(A, pivot_index + 1, hi)

整个递归过程如下面动图所示：

详细递归执行过程的静态示意图如下：

注意：你可以在我的 github 仓库中查看源代码 quicksort01

双指针遍历

在划分过程中，我们采用了双指针技术，这是一种常见的算法策略。该技巧有以下常见步骤和策略：

确定指针的移动策略：确定如何移动两个指针以达到目的。
计算和更新结构：使用两个指针计算结果，并根据需要更新结果。
处理边界和特殊情况：考虑两个指针到达数组边界时的情况。

双指针技术不仅用于快速排序，还广泛应用于其他算法和问题，例如：在有序数组中查找特定和的两个数；计算数组的最大/最小子数组和；检测链表中是否存在环。

我们可以思考一下：是否还有其它双指针移动策略来实现快速排序中的划分过程？

双向的双指针遍历策略

在上面的内容中，我们详细介绍了快速排序算法，并通过双指针遍历技术成功实现了算法的核心部分------划分（partition）。

这种算法不仅简单易懂，其代码量也相对较少。

但如果我们考虑到一种特殊情况：数组完全由相同的元素组成，根据先前的算法进行划分，性能就会非常糟糕。

此时，每次支点都不变动，导致划分会将长度为 n 的数组分为长度为 n-1 和 0 的两个子数组。这使得递归深度达到了 n 层，而每一层都需要 O(n) 的时间复杂度来去除一个元素，因此总的运行时间达到了 O(n^2)。

为了解决这个问题，我们对双指针的遍历方向进行了调整，采用了双向划分策略。

双向划分（partition）过程

首先，我们选择数组的第一个元素作为支点。在划分过程中，两个指针 i 和 j 分别初始化在数组的两端。

i 从左侧开始向右扫描，直到找到一个大于等于支点的元素为止；而 j 从右侧开始向左扫描，直至遇到小于等于支点的元素。在这个过程中，我们需要确保满足以下三个条件：

$lo, i-1\] 之间的元素都 `<=pivot`。$
$j+1, hi\] 之间的元素都 `>=pivot`。$

同样，我们也来详细描述一下这种"双指针遍历"过程中的各个阶段：

1. 扫描初始化：

扫描开始之前，设置 i=lo 和 j=hi+1，确保上述条件得以满足。

2. 扫描过程：

从数组左端开始，i 向右扫描，直到遇到大于或等于支点的元素。
从数组右端开始，j 向左扫描，直到遇到小于或等于支点的元素。
交换这两个元素，然后继续上述的扫描过程。

3. 扫描结束：

当 i 和 j 两指针相遇时，扫描结束。此时，为了将支点 A[lo] 放置在其正确的位置，我们需要交换 A[lo] 与 A[j]。完成这一操作后，返回支点的索引值。

将上述的扫描过程转化为代码是一个有趣的挑战，你可以先思考一下如何实现。这里提供一个我编写的函数，以供参考：

python 复制代码

def partition(arr, low, high):
    pivot = arr[low]
    i = low
    j = high + 1

    while True:
        i += 1
        while i <= high and arr[i] < pivot:
            i += 1

        j -= 1
        while arr[j] > pivot:
            j -= 1

        if i > j:
            break

        arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]

    arr[low], arr[j] = arr[j], arr[low]

    return j

值得注意的是，在 j 向左扫描时，我们并未设置 j>=low 的条件，因为支点正是 arr[low]，它不可能小于自己。

注意：你可以在我的 github 仓库中查看源代码 quicksort02

重复元素数组

现在，我们再次考虑之前所提到的那种特殊情况：数组完全由相同的元素组成。

使用新的划分策略，当遇到相同元素时，扫描会停止，并交换 i 和 j 指针的值。这样的操作虽然增加了元素交换的次数，但是得到的支点使左右子数组更加均衡，从而充分利用了分治策略，使得算法的运行时间仍为 O(nlogn)。

快速排序的优化

我们已经深入探讨了快速排序算法及其两种主要的划分策略。

这两种策略都使用了固定元素作为支点（pivot）。对于随机输入的数据，这样的方法通常都能取得良好的效果。

但是，对于特定的输入模式，例如完全升序的数组，选择第一个元素作为支点会导致划分后的子数组极其不平衡，从而影响排序效率。

优化策略1：选择更优的支点

为了确保划分后的子数组尽可能平衡，我们需要优化支点的选择策略。

计算数组的中位数可能代价昂贵。因此，一种简单而有效的方法是选择数组中的三个元素------首、尾和中点，并将其中的中值作为支点。

这样，我们能够大幅提高支点的选择质量。当然，为了进一步增强算法的鲁棒性，我们可以考虑从更多元素中选择支点。

python 复制代码

def media_three(arr, lo, mid, hi):
    a, b, c = arr[lo], arr[mid], arr[hi]
    if (a <= b <= c) or (c <= b <= a):
        return mid
    elif (b <= a <= c) or (c <= a <= b):
        return lo
    else:
        return hi

注意：你可以在我的 github 仓库中查看源代码 quicksort03

优化策略2：混合使用插入排序

对于较小的数组，插入排序往往比快速排序更为高效。因此，结合快速排序和插入排序，采用混合排序策略，可以进一步提高排序效率。

具体而言，当待排序的数组大小达到某一阈值时，我们切换到插入排序。

至于何时切换，即数组的大小阈值是多少，这与具体系统有关。

《算法》中提到，5-15 之间的值在大多数情况下都表现良好。《编程珠玑》中，建议选用 30-70 之间的值，其中 50 被认为是一个较为理想的选择。

当然，具体的阈值最好根据实际应用场景进行调整。

在以下的代码示例中，我们使用变量 M 作为这个阈值。

python 复制代码

def quicksort(A, lo, hi):
    M = 5
    if hi <= lo + M:
        insertionsort(A, lo, hi)
        return

    pivot_index = partition(A, lo, hi)
    quicksort(A, lo, pivot_index - 1)
    quicksort(A, pivot_index + 1, hi)

注意：你可以在我的 github 仓库中查看源代码 quicksort04

总结

快速排序的"快速"特性源自其独特的算法设计：精心挑选的支点和高效的双指针遍历。

在快速排序中，支点的选择扮演着关键角色。理想情况下，支点能够将数组平均分割，现分治策略的最大效率。尽管在实践中难以始终选出最佳支点，但通过合理的方法（如三数取中法），我们可以逼近理想情况，有效降低排序时间。

双指针遍历策略进一步提高了排序效率。通过在数组中移动两个指针，并在合适时刻交换元素，这种方法实现了原地排序，即无需额外空间。这是快速排序相较于其他算法（例如归并排序）的显著优势。

结合这两种策略，快速排序不仅能够在平均情况下达到接近最优的时间复杂度（O(nlogn)），而且在内存使用上也极为高效，这使得它在多种场景下仍是一种广受欢迎的排序算法。

然而，快速排序也存在局限性。在特定数据排列下（如已排序或重复元素众多的数组），其性能可能不理想，甚至可能退化至 O(n^2)。此外，极端情况下的不稳定性也值得注意。

因此，理解快速排序的局限性对于选择和应用合适的排序算法至关重要。尽管快速排序在多数情况下表现出色，但在特定应用场景中，其他排序算法可能更适合。

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