【算法与数据结构】583、72、LeetCode两个字符串的删除操作+编辑距离

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• 一、583、两个字符串的删除操作
• 二、72、编辑距离
• 三、完整代码

所有的LeetCode题解索引，可以看这篇文章------【算法和数据结构】LeetCode题解。

一、583、两个字符串的删除操作

  思路分析：本题的思路和115、不同的子序列差不多，只是变成了两个字符串都能删除字符。

1. 第一步，动态数组的含义。 d p i j dpij dpij代表使得 w o r d 1 0 , i − 1 word10, i-1 word10,i−1和 w r o d 2 0 , j − 1 wrod20, j-1 wrod20,j−1相等所需删除的最小步数。
2. 第二步，递推公式。 d p i j dpij dpij可以由两种情况推导出来：

• w o r d 1 i − 1 word1i - 1 word1i−1与 w o r d 2 j − 1 word2j - 1 word2j−1相同：那么最小步数和使得 w o r d 1 0 , i − 2 word10, i-2 word10,i−2和 w r o d 2 0 , j − 2 wrod20, j-2 wrod20,j−2相等所需删除的最小步数相同。 d p i j = d p i − 1 j − 1 dpij = dpi-1j-1 dpij=dpi−1j−1。
• w o r d 1 i − 1 word1i - 1 word1i−1与 w o r d 2 j − 1 word2j - 1 word2j−1不相同：这种情况的 d p i j dpij dpij可以由三部分构成：若 w o r d 1 0 , i − 2 word10, i - 2 word10,i−2和 w o r d 2 0 , j − 1 word20, j - 1 word20,j−1做了 d p i − 1 j dpi - 1j dpi−1j次删除操作以后会相等，那么再删除 w o r d 1 i − 1 word1i - 1 word1i−1以后又可以相等，即 d p i j = d p i − 1 j + 1 dpij = dpi - 1j + 1 dpij=dpi−1j+1；若 w o r d 1 0 , i − 1 word10, i - 1 word10,i−1和 w o r d 2 0 , j − 2 word20, j - 2 word20,j−2做了 d p i j − 1 dpij - 1 dpij−1次删除操作以后会相等，那么再删除 w o r d 2 j − 1 word2j - 1 word2j−1以后又可以相等，即 d p i j = d p i j − 1 + 1 dpij = dpij - 1 + 1 dpij=dpij−1+1。因为要求最小步数，那么我们对两项取最小： d p i j = m i n ( d p i − 1 j + 1 , d p i j − 1 + 1 ) dpij = min(dpi - 1j + 1, dpij - 1 + 1) dpij=min(dpi−1j+1,dpij−1+1)。

	if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
	else dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;

3. 第三步，元素初始化。 d p i 0 dpi0 dpi0（第一列）表示字符串 w o r d 1 0 , i − 1 word10, i-1 word10,i−1变成空字符串需要删除的最小字符个数。 d p 0 j dp0j dp0j（第一行）表示 w o r d 2 0 , j − 1 word20, j-1 word20,j−1变成空字符串需要删除的最小字符个数。其中，空字符串word1变成空字符串word2的个数为0。那么 d p 0 0 = 0 , d p i 0 = i , d p 0 j = j dp00=0, dpi0 = i, dp0j = j dp00=0,dpi0=i,dp0j=j。

		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为i
		for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为i

4. 第四步，递归顺序。一共有两层循环，从前往后进行遍历。
5. 第五步，打印结果。

  程序如下：

// 583、两个字符串的删除操作-动态规划
class Solution {
public:
	int minDistance(string word1, string word2) {
		vector<vector<uint64_t>> dp(word1.size() + 1, vector<uint64_t>(word2.size() + 1, 0));	// dp[0][0]为0
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为i
		for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为i
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
			for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
				if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
				else dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
			}
		}
		return dp[word1.size()][word2.size()];
	}
};

复杂度分析：

• 时间复杂度： O ( n ∗ m ) O(n*m) O(n∗m)， n n n和 m m m分别是两个字符串的长度。
• 空间复杂度： O ( n ∗ m ) O(n*m) O(n∗m)。

二、72、编辑距离

  思路分析：本题在583题的基础之上加入了插入和替换操作。我们同样用动态规划的方法分析。

1. 第一步，动态数组的含义。 d p i j dpij dpij代表使得 w o r d 1 0 , i − 1 word10, i-1 word10,i−1和 w r o d 2 0 , j − 1 wrod20, j-1 wrod20,j−1相等所需的最小操作数。
2. 第二步，递推公式。 d p i j dpij dpij可以由两种情况推导出来：

• w o r d 1 i − 1 word1i - 1 word1i−1与 w o r d 2 j − 1 word2j - 1 word2j−1相同：那么最小操作数和使得 w o r d 1 0 , i − 2 word10, i-2 word10,i−2和 w r o d 2 0 , j − 2 wrod20, j-2 wrod20,j−2相等所需的最小操作数相同。 d p i j = d p i − 1 j − 1 dpij = dpi-1j-1 dpij=dpi−1j−1。
• w o r d 1 i − 1 word1i - 1 word1i−1与 w o r d 2 j − 1 word2j - 1 word2j−1不相同：这种情况的 d p i j dpij dpij可以由三部分构成：增加、删除和替换。删除部分和583题一致： d p i j = m i n ( d p i − 1 j + 1 , d p i j − 1 + 1 ) dpij = min(dpi - 1j + 1, dpij - 1 + 1) dpij=min(dpi−1j+1,dpij−1+1)。而增加字符和删除的操作数没有区别。若 w o r d 1 0 , i − 2 word10, i - 2 word10,i−2和 w o r d 2 0 , j − 2 word20, j - 2 word20,j−2做了 d p i − 1 j − 1 dpi - 1j - 1 dpi−1j−1次删除操作以后会相等，那么再替换 w o r d 1 i − 1 word1i - 1 word1i−1或者 w o r d 2 j − 1 word2j - 1 word2j−1之间任意一个元素以后又可以相等，即 d p i j = d p i − 1 j − 1 + 1 dpij = dpi - 1j - 1 + 1 dpij=dpi−1j−1+1。因为要求最小操作数，那么我们对两项取最小： d p i j = m i n ( d p i − 1 j + 1 , d p i j − 1 + 1 , d p i − 1 j − 1 + 1 ) = m i n ( d p i − 1 j , d p i j − 1 , d p i − 1 j − 1 ) + 1 dpij = min(dpi - 1j + 1, dpij - 1 + 1, dpi - 1j - 1 + 1) = min(dpi - 1j, dpij - 1, dpi - 1j - 1) + 1 dpij=min(dpi−1j+1,dpij−1+1,dpi−1j−1+1)=min(dpi−1j,dpij−1,dpi−1j−1)+1。

	if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
	//else dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;	// min()函数只接受两个参数，或者数组
	else dp[i][j] = min({ dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1] }) + 1;

3. 第三步，元素初始化。 d p i 0 dpi0 dpi0（第一列）表示字符串 w o r d 1 0 , i − 1 word10, i-1 word10,i−1变成空字符串需要的最少操作数。 d p 0 j dp0j dp0j（第一行）表示 w o r d 2 0 , j − 1 word20, j-1 word20,j−1变成空字符串需要的最少操作数。其中，空字符串word1变成空字符串word2的个数为0。那么 d p 0 0 = 0 , d p i 0 = i , d p 0 j = j dp00=0, dpi0 = i, dp0j = j dp00=0,dpi0=i,dp0j=j。

	for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为i
	for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为i

4. 第四步，递归顺序。一共有两层循环，从前往后进行遍历。
5. 第五步，打印结果。

  程序如下：

// 72、编辑距离-动态规划
class Solution2 {
public:
	int minDistance(string word1, string word2) {
		vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));	// dp[0][0]为0
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为i
		for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为i
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
			for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
				if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
				//else dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;	// min()函数只接受两个参数，或者数组
				else dp[i][j] = min({ dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1] }) + 1;
			}
		}
		return dp[word1.size()][word2.size()];
	}
};

复杂度分析：

• 时间复杂度： O ( n ∗ m ) O(n*m) O(n∗m)， n n n和 m m m分别是两个字符串的长度。
• 空间复杂度： O ( n ∗ m ) O(n*m) O(n∗m)。

三、完整代码

# include <iostream>
# include <vector>
# include <string>
using namespace std;

// 583、两个字符串的删除操作-动态规划
class Solution {
public:
	int minDistance(string word1, string word2) {
		vector<vector<uint64_t>> dp(word1.size() + 1, vector<uint64_t>(word2.size() + 1, 0));	// dp[0][0]为0
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为i
		for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为i
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
			for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
				if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
				else dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
			}
		}
		return dp[word1.size()][word2.size()];
	}
};

// 72、编辑距离-动态规划
class Solution2 {
public:
	int minDistance(string word1, string word2) {
		vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));	// dp[0][0]为0
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;		// 第一列初始化为i
		for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;		// 第一行初始化为i
		for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
			for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
				if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
				//else dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;	// min()函数只接受两个参数，或者数组
				else dp[i][j] = min({ dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1] }) + 1;
			}
		}
		return dp[word1.size()][word2.size()];
	}
};

int main() {
	//string word1 = "sea", word2 = "eat";	// 测试案例
	//Solution s1;
	//int result = s1.minDistance(word1, word2);

	string word1 = "horse", word2 = "ros";	// 测试案例
	Solution2 s1;
	int result = s1.minDistance(word1, word2);

	cout << result << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

end