【 每日一题】05 三角形最小路径和（DP4）

问题描述

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = \[2,3,4,6,5,7,4,1,8,3]

输出：11

解释：如下面简图所示：

2

3 4

6 5 7

4 1 8 3

自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

解答

首先，既然是从上到下的路径，那么最后一个点必然是落在最后一行。

对于最后一行的某个位置的值，根据题意只能从上一行的某一个位置或者某两个位置之一转移而来。

同时，我们只关注前一位的累加值是多少，而不关心这个累加值结果是由什么路径而来的。

fij 代表到达某个点的最小路径和。

通过观察可以发现以下性质：

1. 只要不是第一列（j!=0）位置上的数，都能通过「左上方」转移过来
2. 只要不是每行最后一列（j!=i）位置上的数，都能通过「上方」转移而来

同时，这样的分析/转移过程，是可以推广并覆盖所有位置的。

至此，整个过程都没有问题，状态转移方程也能不重不漏的枚举到每一条路径。因此这个 DP 状态定义可用。

int minimumTotal(int** triangle, int triangleSize, int* triangleColSize) {

    int ** f = (int **)malloc(sizeof(int *)* triangleSize);
    for(int i =0; i<triangleSize; i++){
        f[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * triangleColSize[i]);
    }
    f[0][0] = triangle[0][0];
    

    int i, j;
    for(i=1; i<triangleSize; i++){
        for(j=0; j< triangleColSize[i]; j++){
            f[i][j] = 10000;
            //若不是j==0的位置，可以通过左上方转移
            if(j!=0){
                f[i][j] = fmin(f[i-1][j-1]+ triangle[i][j],  f[i][j]);
            }
            if(j!=(triangleColSize[i]-1)){
                f[i][j] = fmin(f[i-1][j]+ triangle[i][j],  f[i][j]);
            }
        }
    }
    
    int ans = 1e9;

    for(j =0 ;j<triangleColSize[triangleSize-1]; j++){
        ans = fmin(ans, f[triangleSize-1][j]);

    }

    return ans;
    
}