经典算法 (A/B) mod C

wuqingshun3141592025-05-19 12:49

(A/B) mod C

问题描述

求(A/B)%C，但由于A和B实在太大了，我们只给出A % C，B % C。

(我们保证给定的A必能被B整除，且gcd(B,C) = 1)。

输入描述

输入一行三个整数，分别是A % C，B % C，C。

输出描述

输出(A/B)%C的值。

输入示例1

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22 11 49

输出示例1

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样例解释

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(6000 / 60) % 49 = 2
60与49最大公约数为1，
6000%49 = 22，60 % 49 = 11
输入22 11 49
输出2

输入示例2

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1000 53 9973

输出示例2

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输入示例3

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87 1022 9973

输出示例3

out 复制代码

c++代码(拓展欧几里得算法通用法,也就是C可以为任意实数)

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll A, B, C;

ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {//返回d = gcd(a, b),并且找到ax + by = d的一个特解x,y。
    if (b == 0) { x = 1, y = 0; return a; }
    ll d = extend_gcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}


ll mod_inverse(ll B, ll C) {//返回B mod C的逆
    ll x, y;
    extend_gcd(B, C, x, y);//x可能是负数
    return (x % C + C) % C;
}

int main() {
    cin >> A >> B >> C;
    cout << (A * mod_inverse(B, C)) % C;
    return 0;
}//by wqs

c++代码(特别地，当C为质数的时候，可以使用费马小定理，不是通用法)

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll A, B, C;

ll fastPow(ll a, ll b, ll mod) {
    if (b == 0) return 1 % mod;
    if (b == 1) return a % mod;
    ll k = fastPow(a, b / 2, mod);
    if (b % 2 == 0) return (k * k) % mod;
    else return (((k * k) % mod) * a) % mod;
}

ll mod_inverse(ll B, ll C) { return fastPow(B, C - 2, C); }

int main() {
    cin >> A >> B >> C;//前提C为质数
    cout << (A * mod_inverse(B, C)) % C;
    return 0;
}//by wqs

题目解析

之所以要求gcd(B,C) = 1，是因为gcd(B,C) != 1的时候会有多个答案，这是硬性要求，否则题目无解。

然后我们要对C分类讨论。

如果C是质数，一般使用费马小定理。

如果C不是质数，一般使用通用法拓展欧几里得算法。

一般涉及到除法取模，模值都是质数，费马小定理用的更多。