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前言
✅作者简介：大家好，我是橘橙黄又青，一个想要与大家共同进步的男人😉😉
🍎个人主页：橘橙黄又青_C语言,函数,指针-CSDN博客
主要掌握时间复杂度和空间复杂度的计算，在刷题中完成刷题要求。
概念做了一定的简化慢慢了解，经过C语言的动态内存管理我们已经可以开始学习数据结构了，那我们开始吧？
**1.**什么是时间复杂度和空间复杂度？
1.1 算法效率
算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。 时间效率被称为时间复杂度， 而空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主 要衡量一个算法所需要的额外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间 复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。
所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
1.2 时间复杂度的概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运 行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机 器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比
例， 算法中的基本操作的 执行次数 ，为算法的时间复杂度 。
1.3 空间复杂度的概念
空间复杂度是对一个算法在运行过程中 临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用 了多少bytes 的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计 算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大 O 渐进表示法 。
基本概念我们已经讲完了，来看题。
**2 .**如何计算常见算法的时间复杂度？
2.2 大 O 的渐进表示法
cpp
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)//每次执行下面for循环N次，N则N次循环就执行N^2次
{
for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)//2*N次
{
++count;
}
int M = 10;//10次
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}那么真实的执行次数是N^2+2N+10,但是实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O****的渐进表示法。
运算规则：
1 、用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。
2 、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3 、如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大 O 阶。
通过上面我们会发现大 O 的渐进表示法 去掉了那些对结果影响不大的项 ，简洁明了的表示出了执
行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数 ( 上界 )
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数 ( 下界 )
例如：在一个长度为 N 数组中搜索一个数据 x
最好情况： 1 次找到
最坏情况： N 次找到
平均情况： N/2 次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)。
做最坏的打算是不是。
**3 .**常见时间复杂度计算举例
案例1：
cpp
// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)//2*N
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)//10
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}准确的是2*N + 10，但是大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，则这个代码的时间复杂度为O(N)
案例2：
cpp
// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)//M
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)//N
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}时间复杂度的表示就是可以多个未知数的，所以Func2函数的时间复杂度是O（M+N）但是如果题目有说：
比如：
M远远大于Nze为O（M）
如果是说M和N差不多大就相当于2M，时间复杂度就为O（M）或O（N）。
案例3：
cpp
// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)//100
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}O（100）但是没有这种表示，还记得这个吗？
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
所以O（100）=》》O（1）
案例4：
cpp
// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, char character )
{
while(*str != '\0')
{
if(*str == character){
return str;
}
++str;
}
return NULL;
}在这里就要分析一下了，首先，str字符串不知道多长，假设为N就有3种情况：
最好情况： 1 次找到
最坏情况： N 次找到
平均情况： N/2 次找到
做好最坏的打算，所以时间复杂度为O（N）。
案例5：
cpp
// 计算BubbleSort的时间复杂度？//冒泡排序
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
案例6：
cpp
// 计算BinarySearch的时间复杂度？//2分查找
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n;
while (begin < end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);//这里可以学习一下取平均值
if (a[mid] < x){
begin = mid+1;
}
else if (a[mid] > x){
end = mid;
}
else{
return mid;
}
}
return -1;
}分析：
案例7：
cpp
// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}分析：
每次调用函数，执行一次，递归调用函数N次，每次递归运算3次，整体准确是O（3N），大O（渐进法）就是O（N）。
实例答案及分析：
- 实例 1 基本操作执行了 2N+10 次，通过推导大 O 阶方法知道，时间复杂度为 O(N)
- 实例 2 基本操作执行了 M+N 次，有两个未知数 M 和 N ，时间复杂度为 O(N+M)
- 实例 3 基本操作执行了 10 次，通过推导大 O 阶方法，时间复杂度为 O(1)
- 实例 4 基本操作执行最好 1 次，最坏 N 次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)
- 实例 5 基本操作执行最好 N 次，最坏执行了 (N*(N+1)/2 次，通过推导大 O 阶方法 + 时间复杂度
一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2) - 实例 6 基本操作执行最好 1 次，最坏 O(logN) 次，时间复杂度为 O(logN) ps ： logN 在算法分析
中表示是底数为 2 ，对数为 N 。有些地方会写成 lgN 。（建议通过折纸查找的方式讲解 logN 是怎么计算出来的） - 实例 7 通过计算分析发现基本操作递归了 N 次，时间复杂度为 O(N) 。
复杂度对比：
4. 常见空间复杂度的计算
空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度不是程序占用 了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计 算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
案例1：
cpp
// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}分析：
案例2：
cpp
// 计算Fibonacci的空间复杂度？
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if(n==0)
return NULL;
long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; ++i)
{
fibArray[i ] = fibArray[ i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray ;
}分析：
案例3：
cpp
// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}分析：
实例答案及分析：
- 实例 1 使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)
- 实例 2 动态开辟了 N 个空间，空间复杂度为 O(N)
- 实例 3 递归调用了 N 次，开辟了 N 个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为 O(N)
**5.**有复杂度要求的算法题练习
感兴趣的小伙伴可以写一下
5.1 消失的数字 OJ 链接： https://leetcode-cn.com/problems/missing-number-lcci/
5.2 旋转数组 OJ 链接： https://leetcode-cn.com/problems/rotate-array/
5.1答案1：
cpp
int missingNumber(int* nums, int numsSize) {
int i = 0;
int a = 0;
for (i = 0; i < numsSize + 1; i++) {
a += i;
}
for (i = 0; i < numsSize; i++) {
a -= nums[i];
}
return a;
}时间不够,最优解:
cpp
int missingNumber(int* nums, int numsSize){
int i = 0;
int a = 0;
for(i = 0; i < numsSize; i++){
a ^= nums[i];
}
for(i = 0; i < numsSize + 1; i++){
a ^= i;
}
return a;
}5.2答案1：
cpp
void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
int i = 0;
while (k--) {
int tmp = nums[numsSize - 1];
for (i = 0; i < numsSize - 1; i++) {
nums[numsSize - 1 - i] = nums[numsSize - 2 - i];
}
nums[0] = tmp;
}
}但是时间不够
答案2：
cpp
void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
int i = 0;
while(k--){
int tmp = nums[numsSize - 1];
for(i = 0; i < numsSize - 1; i++){
nums[numsSize - 1 - i] = nums [numsSize - 2 -i];
}
nums[0] = tmp;
}
}最优解：
cpp
void Rev(int* left, int* right, int k) {
int tmep = 0;
while (left < right) {
tmep = *left;
*left = *right;
*right = tmep;
left++;
right--;
}
} //[-1] //1 //2
void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
if (k >= numsSize) {
k %= numsSize;
}
Rev(nums + numsSize - k, nums + numsSize - 1, k);
Rev(nums, nums + numsSize - k - 1, numsSize - k);
Rev(nums, nums + numsSize - 1, numsSize);
}