参考视频:https://www.bilibili.com/video/BV1Vg41197ew/?vd_source=7a1a0bc74158c6993c7355c5490fc600
参考资料(半正定矩阵的定义):https://baike.baidu.com/item/半正定矩阵/2152711?fr=ge_ala
看看半正定矩阵的定义:
正定矩阵是 > 0,半正定矩阵是 >= 0
根据定义来看,半正定矩阵也有 "实对称矩阵" 的前提条件
或许我们可以考虑 半正定矩阵性质 和 "特征值特性" 之间的关系,证明方法可以参考之前 "正定矩阵的特征值特性" 的证明方法
首先大胆假设:半正定矩阵 <=> 特征值都 >= 0
那么,设 半正定矩阵 A
先试着证明 半正定矩阵 => 特征值都 >= 0:
- 对于非零任意特征向量 x, x' A x = x' (lamda) x = (lamda) x'x >= 0
- 由于特征向量 x 是非零向量,所以 (lamda) >= 0 (可以为 0)
- 这个方向证明完毕
再试着证明 特征值都 >= 0 ===> 半正定矩阵
- 对于任意一个非零向量 x,x' A x = x' Q' (hat) Q x (这是正交相似对角化) (其中 (hat) 是对角矩阵,由于 A 的特征值组成)
- x' A x = x' Q' (hat) Q x = (Qx)' (hat) (Qx) (其中 (hat) 是对角矩阵,由 A 的特征值组成)
- 由于 x 是非零向量,Q是正交矩阵,所以 (Qx) 是非零向量
- 其中 (hat) 是对角矩阵,对角线上元素由 A 的特征值 (lamda) 组成,(lamda) >= 0,因此 (hat) 也是半正定矩阵
- 于是, (Qx)' (hat) (Qx) >= 0
- 所以 x' A x >= 0
- 因此,矩阵 A 是半正定矩阵
- 证明完毕
up主给的笔记有误,勘误如下:
如下图是判断正定负定、半正定半负定的方法
不对!不对! up 主错了!!!
对角线上的元素有 0 元素,依然可以是半正定矩阵
我们在后面看个例子
栗子在这里: