探索数据结构：解锁计算世界的密码

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所属专栏：数据结构与算法贝蒂的主页：Betty's blog

前言

随着应用程序变得越来越复杂和数据越来越丰富，几百万、几十亿甚至几百亿的数据就会出现，而对这么大对数据进行搜索、插入或者排序等的操作就越来越慢，人们为了解决这些问题，提高对数据的管理效率，提出了一门学科即：数据结构与算法

1. 什么是数据结构

**数据结构(Data Structure)**是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

下标是常见的数据结构:

名称	定义
数组（Array）	数组是一种聚合数据类型，它是将具有相同类型的若干变量有序地组织在一起的集合。
链表（Linked List）	链表是一种数据元素按照链式存储结构进行存储的数据结构，这种存储结构具有在物理上存在非连续的特点。
栈（Stack）	栈是一种特殊的线性表，它只能在一个表的一个固定端进行数据结点的插入和删除操作
队列（Queue）	队列和栈类似，也是一种特殊的线性表。和栈不同的是，队列只允许在表的一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作。
树（Tree）	树是典型的非线性结构，它是包括，2 个结点的有穷集合 K
堆（Heap）	堆是一种特殊的树形数据结构，一般讨论的堆都是二叉堆。
图（Graph）	图是另一种非线性数据结构。在图结构中，数据结点一般称为顶点，而边是顶点的有序偶对

2. 什么是算法

**算法(Algorithm):**就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

算法一般分为：排序，递归与分治，回溯，DP，贪心，搜索算法

算法往往数学密切相关，就如数学题一样，每道数学题都有不同的解法，算法也是同理。

3. 复杂度分析

3.1 算法评估

我们在进行算法分析时，常常需要完成两个目标**。一个是找出问题的解决方法，另一个就是找到问题的最优解**。而为了找出最优解，我们就需要从两个维度分析：

时间效率：算法运行的快慢
空间效率：算法所占空间的大小

3.2 评估方法

评估时间的方法主要分为两种，一种是实验分析法 ，一种是理论分析法。

(1) 实验分析法

实验分析法简单来说就是将不同种算法输入同一台电脑，统计时间的快慢。但是这种方法有两大缺陷：

无法排查实验自身条件与环境的条件的影响：比如同一种算法在不同配置的电脑上的运算速度可能完全不同，甚至结果完全相反。我们很难排查所有情况。
成本太高：同一种算法可能在数据少时表现不明显，在数据多时速率较快

(2) 理论分析法

由于实验分析法的局限性，就有人提出了一种理论测评的方法，就是渐近复杂度分析(asymptotic complexity analysis) ，简称复杂度分析。

这种方法体现算法运行所需的时间（空间）资源与输入数据大小之间的关系，能有效的反应算法的优劣。

4. 时间复杂度与空间复杂度

4.1 时间复杂度

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

为了准确的表述一段代表所需时间，我们先假设赋值(=)与加号(+)所需时间为1ns，乘号(×)所需时间为2ns，打印所需为3ns。

让我们计算如下代码所需总时间：

c 复制代码

int main()
{
	int i = 1;//1ns
	int n = 0;//1ns
	scanf("%d", &n);
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		printf("%d ", i);//3ns
	}
	return 0;
}

计算时间如下：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> T ( n ) = 1 + 1 + 3 × n = 3 n + 2 T(n)=1+1+3×n=3n+2 </math>T(n)=1+1+3×n=3n+2

但是实际上统计每一项所需时间是不现实的，并且由于是理论分析，当n--->∞时，其余项皆可忽略，T(n)的数量级由最高阶决定。所以我们计算时间复杂度时，可以简化为两个步骤：

忽略除最高阶以外的所有项。
忽略所有系数。

而上述代码时间可以记为O(n) ，这种方法被称为大O的渐进表示法。如果计算机结果全是常数，则记为O(1)。

并且计算复杂度时，有时候会出现不同情况的结果，这是应该以最坏的结果考虑。

4.2 空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小 的量度。空间复杂度的表示也遵循大O的渐进表示法

让我们计算一下冒泡排序的空间复杂度

c 复制代码

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

通过观察我们可以看出，冒泡排序并没有开辟多余的空间，所以空间复杂度为O(1).

5. 复杂度分类

算法的复杂度有几个量级，表示如下：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> O ( 1 ) < O ( l o g N ) < O ( N ) < O ( N l o g N ) < O ( N 2 ) < O ( 2 𝑛 ) < 𝑂 ( O ! ) O(1) < O( log N) < O(N) < O(Nlog N) < O(N 2 ) < O(2^𝑛 ) < 𝑂(O!) </math>O(1)<O(logN)<O(N)<O(NlogN)<O(N2)<O(2n)<O(O!)

从左到右复杂度依次递增，算法的缺点也就越明显

图示如下：

5.1 常数O(1)阶

常数阶是一种非常快速的算法，但是在实际应用中非常难实现

以下是一种时间复杂度与空间复杂度皆为O(1)的算法：

c 复制代码

int main()
{
	int a = 0;
	int b = 1;
	int c = a + b;
	printf("两数之和为%d\n", c);
	return 9;
}

5.2 对数阶O(logN)

对数阶是一种比较快的算法，它一般每次减少一半的数据。我们常用的二分查找算法的时间复杂度就为O(logN)

二分查找如下：

c 复制代码

int binary_search(int nums[], int size, int target) //nums是数组，size是数组的大小，target是需要查找的值
{
    int left = 0;
    int right = size - 1;	// 定义了target在左闭右闭的区间内，[left, right]
    while (left <= right) {	//当left == right时，区间[left, right]仍然有效
        int middle = left + ((right - left) / 2);//等同于 (left + right) / 2，防止溢出
        if (nums[middle] > target) {
            right = middle - 1;	//target在左区间，所以[left, middle - 1]
        } else if (nums[middle] < target) {
            left = middle + 1;	//target在右区间，所以[middle + 1, right]
        } else {	//既不在左边，也不在右边，那就是找到答案了
            return middle;
        }
    }
    //没有找到目标值
    return -1;
}

空间复杂度为O(logN)的算法，一般为分治算法

比如用递归实现二分算法：

c 复制代码

int binary_search(int ar[], int low, int high, int key)
{
    if(low > high)//查找不到
        return -1;
    int mid = (low+high)/2;
    if(key == ar[mid])//查找到
        return mid;
    else if(key < ar[mid])
        return Search(ar,low,mid-1,key);
    else
        return Search(ar,mid+1,high,key);
}

每一次执行递归都会对应开辟一个空间，也被称为栈帧。

5.3 线性阶O(N)

线性阶算法，时间复杂度与空间复杂度随着数量均匀变化。

遍历数组或者链表是常见的线性阶算法，以下为时间复杂度为O(N)的算法：

c 复制代码

int main()
{
	int n = 0;
	int count = 0;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		count += i;//计算0~9的和
	}
	return 0;
}

以下为空间复杂度为O(N)的算法

c 复制代码

int main()
{
	int n = 0;
	int count = 0;
	scanf("%d", &n);
	int* p = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
	//开辟大小为n的空间
	if (p == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return -1;
          }
       free(p);
       p=NULL;
	return 0;
}

5.4 线性对数阶O(NlogN)

无论是时间复杂度还是空间复杂度，线性对数阶一般出现在嵌套循环中，即一层的复杂度为O(N)，另一层为O(logN)

比如说循环使用二分查找打印：

c 复制代码

int binary_search(int nums[], int size, int target) //nums是数组，size是数组的大小，target是需要查找的值
{
    int left = 0;
    int right = size - 1;	// 定义了target在左闭右闭的区间内，[left, right]
    while (left <= right) {	//当left == right时，区间[left, right]仍然有效
        int middle = left + ((right - left) / 2);//等同于 (left + right) / 2，防止溢出
        if (nums[middle] > target) {
            right = middle - 1;	//target在左区间，所以[left, middle - 1]
        }
        else if (nums[middle] < target) {
            left = middle + 1;	//target在右区间，所以[middle + 1, right]
        }
        else {	//既不在左边，也不在右边，那就是找到答案了
            printf("%d ", nums[middle]);
        }
    }
    //没有找到目标值
    return -1;
}
void func(int nums[], int size, int target)
{
	for (int i = 0; i < size; i++)
	{
		binary_search(nums, size, target);
	}
}

空间复杂度为O(NlogN)的算法，最常见的莫非归并排序

c 复制代码

void Merge(int sourceArr[],int tempArr[], int startIndex, int midIndex, int endIndex){
    int i = startIndex, j=midIndex+1, k = startIndex;
    while(i!=midIndex+1 && j!=endIndex+1) {
        if(sourceArr[i] > sourceArr[j])
            tempArr[k++] = sourceArr[j++];
        else
            tempArr[k++] = sourceArr[i++];
    }
    while(i != midIndex+1)
        tempArr[k++] = sourceArr[i++];
    while(j != endIndex+1)
        tempArr[k++] = sourceArr[j++];
    for(i=startIndex; i<=endIndex; i++)
        sourceArr[i] = tempArr[i];
}
 
//内部使用递归
void MergeSort(int sourceArr[], int tempArr[], int startIndex, int endIndex) {
    int midIndex;
    if(startIndex < endIndex) {
        midIndex = startIndex + (endIndex-startIndex) / 2;//避免溢出int
        MergeSort(sourceArr, tempArr, startIndex, midIndex);
        MergeSort(sourceArr, tempArr, midIndex+1, endIndex);
        Merge(sourceArr, tempArr, startIndex, midIndex, endIndex);
    }
}

5.5 平方阶O(N^2^)

平方阶与线性对数阶相似，常见于嵌套循环中，每层循环的复杂度为O(N)

时间复杂度为O(N^2^)，最常见的就是冒泡排序

c 复制代码

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

计算过程如下;
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> T ( N ) = 1 + 2 + 3 + . . . . . . + n − 1 = ( n 2 − n ) / 2 = O ( n 2 ) T(N)=1+2+3+......+n-1=(n^2-n)/2=O(n^2) </math>T(N)=1+2+3+......+n−1=(n2−n)/2=O(n2)

空间复杂度为O(N^2^)，最简单的就是动态开辟。

c 复制代码

{
	int n = 0;
	int count = 0;
	scanf("%d", &n);
	int* p = (int*)malloc(sizeof(int) * n*n);
	//开辟大小为n的空间
	if (p == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return -1;
          }
       free(p);
       p=NULL;
	return 0;
}

5.6 指数阶O(2^N^)

指数阶的算法效率低，并不常用。

常见的时间复杂度为O(2^N^)的算法就是递归实现斐波拉契数列：

c 复制代码

int Fib1(int n)
{
	if (n == 1 || n == 2)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		return Fib1(n - 1) + Fib1(n - 2);
	}
}

粗略估计
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> T ( n ) = 2 0 + 2 1 + 2 2 + . . . . . + 2 ( n − 1 ) = 2 n − 1 = O ( 2 N ) T(n)=2^0+2^1+2^2+.....+2^(n-1)=2^n-1=O(2^N) </math>T(n)=20+21+22+.....+2(n−1)=2n−1=O(2N)

值得一提的是斐波拉契的空间复杂度为O(N)，因为在递归至最深处后往回归的过程中，后续空间都在销毁的空间上建立的，这样能大大提高空间的利用率。

空间复杂度为O(2^N^)的算法一般与树有关，比如建立满二叉树

c 复制代码

TreeNode* buildTree(int n) {
	if (n == 0)
		return NULL;
	TreeNode* root = newTreeNode(0);
	root->left = buildTree(n - 1);
	root->right = buildTree(n - 1);
	return root;
}

5.7 阶乘阶O(N!)

阶乘阶的算法复杂度最高，几乎不会采用该类型的算法。

这是一个时间复杂度为阶乘阶O(N!)的算法

c 复制代码

int func(int n)
{
	if (n == 0)
		return 1;
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) 
	{
		count += func(n - 1);
	}
	return count;
}

示意图：

空间复杂度为阶乘阶O(N!)的算法并不常见，这里就不在一一列举。