波动数列（蓝桥杯）

XuMian112024-03-04 8:52

问题描述：

观察如下数列：

1 3 0 2 -1 1 -2 ...

这个数列中后一项总是比前一项增加 2 或者减少 3。

栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n nn 和为 s ss 而且后一项总是比前一项增加 a aa 或者减少 b bb 的整数数列可能有多少种呢？

输入格式

输入的第一行包含四个整数 n s a b n\ s\ a\ bn s a b，含义如前面说述。

输出格式

输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以 100000007 的余数。

样例输入

4 10 2 3

样例输出

样例说明

这两个数列分别是 {2 4 1 3} 和 {7 4 1 -2}。

暴力解法（超时）：

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<string>
#include<cmath>
using namespace std;
#define base 100000007
int n,s,a,b;
long long sum=0;
void check(int k)
{
    double change=s-k;
    double first=change/n;
    if(fmod(first,1)==0)
    {//计算出的第一个数为整数
        sum++;
        sum%=base;
    }
}
void calculate(int,int);

int main()
{
    cin>>n>>s>>a>>b;
    calculate(n-1,0);
    cout<<sum;
    return 0;
}
void calculate(int layer,int u)
{//递归出口
    if(layer==0)
    {
        check(u);
        return;
    }
    int addition=layer*a;
    calculate(layer-1,u+addition);
    addition=(-b)*layer;
    calculate(layer-1,u+addition);
}

动态规划：

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<string>
#include<cmath>
using namespace std;
#define base 100000007
long long a,b,n,s;
const int N=1000010;
int f[N]={0};
//f[i][j]表示从（1~n-1）中前i个数中选择使得和为j的种类数
//f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-i];    f[i][0]=1;
void create()
{//参考01背包问题
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        int num=i*(i+1)/2;
        for(int j=num;j>=i;j--)
        {//需要倒序使得f[j-1]为f[i-1][j-1];
            f[j]=(f[j]+f[j-i])%base;
        }
    }
}

void calculate();

int main()
{
    cin>>n>>s>>a>>b;
    create();
    calculate();
    return 0;
}
void calculate()
{
    int num=n*(n-1)/2;
    long long sum=0;
    for(int i=0;i<=num;i++)
    {
        long long u=i*a-(num-i)*b;
        long long temp=s-u;
        if(temp%n==0)
        {//n-1个位置取i个位置
            sum=(sum+f[i])%base;
        }
    }
    cout<<sum;
}