二维的旋转平移矩阵

在二维空间中,旋转和平移变换可以通过2x2的旋转矩阵和2x3的变换矩阵来表示。

二维旋转矩阵用于表示一个点或向量在二维平面上的旋转。对于绕原点逆时针旋转θ角的变换,其旋转矩阵为:

复制代码

复制代码

|---|-----------------------|
| | R = | cosθ -sinθ | |
| | | sinθ cosθ | |

如果有一个二维点P(x, y),则旋转后的点P'(x', y')可以通过矩阵乘法得到:

复制代码

复制代码

|---|--------------------------------|
| | | x' | | cosθ -sinθ | | x | |
| | | y' | = | sinθ cosθ | | y | |

计算后得到:

复制代码

复制代码

|---|-----------------------------|
| | x' = x * cosθ - y * sinθ |
| | y' = x * sinθ + y * cosθ |

二维平移矩阵则用于表示一个点或向量在二维平面上的平移。平移矩阵是一个3x3的矩阵,它可以在旋转矩阵的基础上增加平移向量。平移矩阵的形式如下:

复制代码

复制代码

|---|-------------------|
| | T = | 1 0 tx | |
| | | 0 1 ty | |
| | | 0 0 1 | |

其中,tx和ty分别表示在x轴和y轴上的平移距离。为了使用平移矩阵,我们通常将二维点P(x, y)扩展为齐次坐标形式P_h(x, y, 1)。然后,通过矩阵乘法应用平移矩阵:

复制代码

复制代码

|---|------------------------------|
| | | x' | | 1 0 tx | | x | |
| | | y' | = | 0 1 ty | | y | |
| | | 1 | | 0 0 1 | | 1 | |

计算后得到:

复制代码

复制代码

|---|----------------|
| | x' = x + tx |
| | y' = y + ty |

复合变换(即先进行旋转再进行平移)则需要将旋转矩阵和平移矩阵结合起来。这通常通过将旋转矩阵与平移矩阵相乘来实现,形成一个总的变换矩阵。注意,矩阵乘法不满足交换律,因此变换的顺序很重要。先旋转后平移的复合变换矩阵形式如下:

复制代码

复制代码

|---|----------------------------------|
| | M = T * R = | cosθ -sinθ tx | |
| | | sinθ cosθ ty | |
| | | 0 0 1 | |

然后,对于二维点P(x, y),其经过旋转和平移后的新位置P'(x', y')可以通过以下方式计算:

复制代码

复制代码

|---|------------------------------------|
| | | x' | | cosθ -sinθ tx | | x | |
| | | y' | = | sinθ cosθ ty | | y | |
| | | 1 | | 0 0 1 | | 1 | |

计算后得到变换后的坐标(x', y')。

相关推荐
白榆!1 天前
string类的实现
开发语言·c++·算法
CHANG_THE_WORLD1 天前
线程特定存储
算法·线程
ai产品老杨1 天前
打破技术壁垒,推动餐饮食安标准化进程的明厨亮灶开源了
前端·javascript·算法·开源·音视频
睡不醒的kun1 天前
leetcode算法刷题的第二十六天
数据结构·c++·算法·leetcode·职场和发展·贪心算法
fangzelin51 天前
基础排序--冒泡--选择--插入
数据结构·c++·算法
THMAIL1 天前
机器学习从入门到精通 - 卷积神经网络(CNN)实战:图像识别模型搭建指南
linux·人工智能·python·算法·机器学习·cnn·逻辑回归
shellvon1 天前
用NCC识别验证码:一个简单但有效的Python实战思路
算法
金古圣人1 天前
hot100 子串
数据结构·c++·算法·leetcode
LQ深蹲不写BUG1 天前
深挖三色标记算法的底层原理
java·算法
BlackPercy1 天前
【图论】Graphs.jl 最小生成树算法文档
算法·图论