力扣hot100 | 矩阵 | 73. 矩阵置零、54. 螺旋矩阵、48. 旋转图像、240. 搜索二维矩阵 II

73. 矩阵置零

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给定一个 m x n 的矩阵，如果一个元素为 0 ，则将其所在行和列的所有元素都设为 0 。请使用 原地 算法。

示例 1：

输入：matrix = \[1,1,1,1,0,1,1,1,1]

输出：\[1,0,1,0,0,0,1,0,1]
示例 2：

输入：matrix = \[0,1,2,0,3,4,5,2,1,3,1,5]

输出：\[0,0,0,0,0,4,5,0,0,3,1,0]

一、用额外空间（不符题意）

• 遍历矩阵，记录哪些行和列包含0
• 再次遍历，将对应行列置零

def setZeroes_v1(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
    if not matrix or not matrix[0]:  # []和[[]]情况（题目说m,n>=1，可以不写，但要没说就一定要写这里）
        return
    
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    zero_rows = set()
    zero_cols = set()
    
    # 第一次遍历，记录包含0的行和列
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 0:
                zero_rows.add(i)
                zero_cols.add(j)
    
    # 第二次遍历，将对应行列置零
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if i in zero_rows or j in zero_cols:
                matrix[i][j] = 0

• 时间复杂度 O(m * n)
• 空间复杂度 O(m + n)

二、原地方法【推荐】

• 【思路】用第一行记录列、用第一列记录行
  • 利用矩阵的第一行和第一列来记录哪些行列需要置零
  • 需要特殊处理第一行和第一列本身是否包含0的情况
• 【步骤】
  1. 检查第一行和第一列是否本身包含0，用两个标志位记录
  2. 遍历矩阵其余部分，如果发现0，则在对应的第一行（记列 信息）和第一列（记行信息）位置标记
  3. 根据第一行和第一列的标记，将对应行列置零
  4. 最后根据标志位处理第一行和第一列

def setZeroes_v1(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
    if not matrix or not matrix[0]: # []和[[]]（虽然题目说m,n>=1，可以不写，但要没说就一定要写这里）
        return
    
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])  # m行，n列
    
    # 检查第一行和第一列是否包含0
    first_row_zero = any(matrix[0][j] == 0 for j in range(n)) # 【注意】检查行要遍历列
    first_col_zero = any(matrix[i][0] == 0 for i in range(m)) # 【注意】检查列要遍历行
    
    # 遍历矩阵其余部分，使用第一行和第一列作为标记
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            if matrix[i][j] == 0:
                matrix[i][0] = 0  # 标记该行需要置零
                matrix[0][j] = 0  # 标记该列需要置零
    
    # 根据标记将对应行列置零
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            if matrix[i][0] == 0 or matrix[0][j] == 0:
                matrix[i][j] = 0
    
    # 处理第一行
    if first_row_zero:
        for j in range(n):
            matrix[0][j] = 0
    
    # 处理第一列
    if first_col_zero:
        for i in range(m):
            matrix[i][0] = 0

54. 螺旋矩阵

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给你一个 m 行 n 列的矩阵 matrix ，请按照 顺时针螺旋顺序 ，返回矩阵中的所有元素。

示例 1：

输入：matrix = \[1,2,3,4,5,6,7,8,9]

输出：1,2,3,6,9,8,7,4,5
示例 2：

输入：matrix = \[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]

输出：1,2,3,4,8,12,11,10,9,5,6,7

一、四个边界指针【最推荐】

• 【思路】
  • 维护四个边界：top, bottom, left, right
  • 每遍历完一条边，对应边界向内收缩
  • 注意处理单行或单列的情况
• 【步骤】
  1. 初始化四个边界指针
  2. 按照右→下→左→上的顺序遍历上/右/下/左边界
  3. 每遍历完一条边，先 收缩对应边界，再开始下一条边的遍历
  4. 当边界重叠时结束遍历 while top <= bottom and left <= right:（注意top小哦）

def spiralOrder_v1(matrix):
    if not matrix or not matrix[0]:
        return []
    
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    res = []
    
    # 四个边界指针
    top, bottom = 0, m - 1
    left, right = 0, n - 1
    
    while top <= bottom and left <= right:  # 一定记得要加=号啊！不然最中心的遍历不到！！
        # 1. 向右遍历上边界
        for j in range(left, right + 1):
            res.append(matrix[top][j])
        top += 1
        
        # 2. 向下遍历右边界
        for i in range(top, bottom + 1):
            res.append(matrix[i][right])
        right -= 1
        
        # 3. 向左遍历下边界（需要检查是否还有行）
        if top <= bottom: # 就算在本轮迭代中，上面已经top++过，所以要再检查!!!
            for j in range(right, left - 1, -1):
                res.append(matrix[bottom][j])
            bottom -= 1
        
        # 4. 向上遍历左边界（需要检查是否还有列）
        if left <= right: # 就算在本轮迭代中，上面已经right--过，所以要再检查!!!
            for i in range(bottom, top - 1, -1):
                res.append(matrix[i][left])
            left += 1
    
    return res

• 时间复杂度 O(m*n)
• 空间复杂度 O(1)：不算结果数组的话
• 【注意】因为循环条件while top <= bottom and left <= right:中有等于号，所以循环中遍历bottom和left前一定要检查if top <= bottom:和if left <= right:！！不然最后一轮循环中（开头就重叠，上面两条边再+/-）还会额外添加一个值进去！！！
• ------>记忆: "遍历bottom前检查top，遍历left前检查right"!!!

二、方向数组

• 使用方向数组表示四个方向的移动
• 遇到边界或已访问元素时改变方向
• 使用visited数组标记已访问元素

def spiralOrder_v2(matrix):
    if not matrix or not matrix[0]:
        return []
    
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    result = []
    visited = [[False] * n for _ in range(m)]
    
    # 方向数组：右、下、左、上
    directions = [(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)]
    direction_idx = 0
    
    row, col = 0, 0
    
    for _ in range(m * n):
        result.append(matrix[row][col])
        visited[row][col] = True
        
        # 计算下一个位置
        next_row = row + directions[direction_idx][0]
        next_col = col + directions[direction_idx][1]
        
        # 检查是否需要转向
        if (next_row < 0 or next_row >= m or 
            next_col < 0 or next_col >= n or 
            visited[next_row][next_col]):
            # 转向
            direction_idx = (direction_idx + 1) % 4
            next_row = row + directions[direction_idx][0]
            next_col = col + directions[direction_idx][1]
        
        row, col = next_row, next_col
    
    return result

• 时间复杂度 O(m*n)
• 空间复杂度 O(m*n)

三、递归分治

• 递归处理外圈和内圈
• 每次递归处理当前矩形的一圈

def spiralOrder_v3(matrix):
    if not matrix or not matrix[0]:
        return []
    
    def spiral_helper(matrix, start_row, end_row, start_col, end_col):
        if start_row > end_row or start_col > end_col:
            return []
        
        result = []
        
        # 只有一行
        if start_row == end_row:
            for j in range(start_col, end_col + 1):
                result.append(matrix[start_row][j])
            return result
        
        # 只有一列
        if start_col == end_col:
            for i in range(start_row, end_row + 1):
                result.append(matrix[i][start_col])
            return result
        
        # 遍历外圈
        # 上边界
        for j in range(start_col, end_col):
            result.append(matrix[start_row][j])
        
        # 右边界
        for i in range(start_row, end_row):
            result.append(matrix[i][end_col])
        
        # 下边界
        for j in range(end_col, start_col, -1):
            result.append(matrix[end_row][j])
        
        # 左边界
        for i in range(end_row, start_row, -1):
            result.append(matrix[i][start_col])
        
        # 递归处理内圈
        result.extend(spiral_helper(matrix, start_row + 1, end_row - 1, 
                                  start_col + 1, end_col - 1))
        
        return result
    
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    return spiral_helper(matrix, 0, m - 1, 0, n - 1)

• 时间复杂度 O(m*n)
• 空间复杂度 O(min(m,n))：递归栈深度

48. 旋转图像

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给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像。请你将图像顺时针旋转 90 度。

你必须在原地 旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要使用另一个矩阵来旋转图像。

示例 1：

输入：matrix = \[1,2,3,4,5,6,7,8,9]

输出：\[7,4,1,8,5,2,9,6,3]
示例 2：

输入：matrix = \[5,1,9,11,2,4,8,10,13,3,6,7,15,14,12,16]

输出：\[15,13,2,5,14,3,4,1,12,6,8,9,16,7,10,11]

一、转置 + 水平翻转 = 顺时针90°旋转 【推荐】

• 【原理】旋转90°的数学本质：(i,j) → (j, n-1-i)

• 【思路】先转置，再沿中轴线水平翻转 matrix[i][j] → matrix[j][i] → matrix[j][n-1-i]

    原矩阵    转置后    水平翻转后
    [1,2,3]   [1,4,7]   [7,4,1]
    [4,5,6] → [2,5,8] → [8,5,2]
    [7,8,9]   [3,6,9]   [9,6,3]

• 【算法步骤】

  1. 转置矩阵：matrix[i][j] 与 matrix[j][i] 交换
  2. 水平翻转：每行沿中轴线左右对称交换（是镜像，也是reverse()）

def rotate(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
    n = len(matrix)
    
    # 第一步：转置矩阵（沿主对角线翻折）
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):  # 只处理上三角，避免重复交换
            matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]
    
    # 第二步：水平翻转（每行左右对称交换）
    for i in range(n):
        for j in range(n // 2):
            matrix[i][j], matrix[i][n - 1 - j] = matrix[i][n - 1 - j], matrix[i][j]
        # 或者直接reverse每一行：
        '''
        for i in range(n):
        	matrix[i].reverse()  
        '''

• 时间复杂度 O(n^2)
• 空间复杂度 O(1)

二、四元素循环法

• 【思路】每次处理四个位置的元素循环移动：
  (i,j) → (j,n-1-i) → (n-1-i,n-1-j) → (n-1-j,i) → (i,j)

def rotate(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
    n = len(matrix)
    
    # 处理每一层（环）
    for layer in range(n // 2):
        first = layer
        last = n - 1 - layer
        
        # 处理当前层的每个元素
        for i in range(first, last):
            offset = i - first
            
            # 保存top元素
            top = matrix[first][i]
            
            # left → top
            matrix[first][i] = matrix[last - offset][first]
            
            # bottom → left
            matrix[last - offset][first] = matrix[last][last - offset]
            
            # right → bottom
            matrix[last][last - offset] = matrix[i][last]
            
            # top → right
            matrix[i][last] = top
            
######---------------- 优化写法 ----------------######
def rotate(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
    n = len(matrix)
    
    for i in range(n // 2):
        for j in range(n - n // 2):
            # 四个位置同时交换，使用Python的多重赋值
            (matrix[i][j], 
             matrix[~j][i], 
             matrix[~i][~j], 
             matrix[j][~i]) = (matrix[~j][i], 
                               matrix[~i][~j], 
                               matrix[j][~i], 
                               matrix[i][j])
            # 注意：~i 等价于 n-1-i

• 时间复杂度 O(n^2)
• 空间复杂度 O(1)

关键技巧：

1. 转置时只处理上三角：避免重复交换导致还原
2. 边界处理：注意n//2的使用，确保正确的循环边界
3. Python多重赋值：可以优雅地实现多元素交换

拓展

逆时针90° = 垂直翻转 + 转置
旋转180° = 水平翻转 + 垂直翻转
旋转270° = 旋转90°三次，或者逆时针90°

240. 搜索二维矩阵 II

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编写一个高效的算法来搜索 m x n 矩阵 matrix 中的一个目标值 target 。该矩阵具有以下特性：

• 每行的元素从左到右升序排列。
• 每列的元素从上到下升序排列。

示例 1：

输入：matrix = \[1,4,7,11,15,2,5,8,12,19,3,6,9,16,22,10,13,14,17,24,18,21,23,26,30], target = 5

输出：true
示例 2：

输入：matrix = \[1,4,7,11,15,2,5,8,12,19,3,6,9,16,22,10,13,14,17,24,18,21,23,26,30], target = 20

输出：false

一、暴力解法

def searchMatrix(self, matrix: List[List[int]], target: int) -> bool:
    if not matrix or not matrix[0]:
        return False
    
    for row in matrix:
        for val in row:
            if val == target:
                return True
    
    return False

• 时间复杂度 O(m * n)
• 空间复杂度 O(1)

二、角落搜索法【推荐】

此方法参考：灵茶山艾府

• 【思路】 右上角元素的特性：
  • 是当前行的最大值
  • 是当前列的最小值
  • 这个性质使得我们可以明确移动方向
• 【步骤】
  1. 从右上角(0, n-1)开始
  2. 如果当前值等于target，返回True
  3. 如果当前值大于target，左移（排除当前列）
  4. 如果当前值小于target，下移（排除当前行）
  5. 重复直到找到目标或越界
• 【举例】：
  

class Solution:
    def searchMatrix(self, matrix: List[List[int]], target: int) -> bool:
        m, n = len(matrix), len(matrix[0])
        i, j = 0, n - 1               # 从右上角开始

        while i <= m - 1 and j >= 0:  # 或者i < m and j >= 0都可以，只是确保还有剩余元素
            if matrix[i][j] == target:
                return True
            if matrix[i][j] < target: # 该行max都小于target, 整行排除，i下移
                i += 1
            else:                     # 该列min都大于target, 整列排除，j上移
                j -= 1

        return False

• 时间复杂度 O(m + n) ：每次循环排除掉一行或者一列，一共 m+n 行列，最坏情况下需要排除 m+n−1 行列才能找到答案。
• 空间复杂度 O(1)
• 【另外】还可以用左下角搜索（是该行的最小值，也是该列的最大值），思路类似。

三、逐行二分查找

• 【思路】对每一行进行二分查找

def searchMatrix(self, matrix: List[List[int]], target: int) -> bool:
	def binary_search_row(row):
        """在指定行进行二分查找"""
        left, right = 0, len(row) - 1
        
        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            if row[mid] == target:
                return True
            elif row[mid] < target:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1
        
        return False
    
    for row in matrix:
        # 优化：如果target小于行首或大于行尾，跳过该行
        if target < row[0] or target > row[-1]:
            continue
        
        if binary_search_row(row):
            return True
    
    return False

• 时间复杂度 O(m * log n)
• 空间复杂度 O(1)