1. 行列式公式推导
二阶行列式推导
a b c d = a 0 c d + 0 b c d = a 0 0 d + a 0 c 0 + 0 b c 0 + 0 b 0 d = a 0 0 d − b 0 0 c = a d − b c \begin{align} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} a & 0 \\ c & d \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & b \\ c & d \end{bmatrix}\nonumber \\ &= \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & b \\ 0 & d \end{bmatrix} \nonumber\\ &=\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} b & 0 \\ 0 & c \end{bmatrix} \nonumber\\ &= ad -bc\nonumber \end{align} acbd=ac0d+0cbd=a00d+ac00+0cb0+00bd=a00d−b00c=ad−bc
三阶行列式推导
a b c d e f g h i = a 0 0 d e f g h i + 0 b 0 d e f g h i + 0 0 c d e f g h i = a 0 0 0 e 0 g h i + a 0 0 0 0 f g h i + 0 b 0 d 0 0 g h i + 0 b 0 0 0 f g h i + 0 0 c d 0 0 g h i + 0 0 c 0 e 0 g h i = a 0 0 0 e 0 0 0 i + a 0 0 0 0 f 0 h 0 + 0 b 0 d 0 0 0 0 i + 0 b 0 0 0 f g 0 0 + 0 0 c d 0 0 0 h 0 + 0 0 c 0 e 0 g 0 0 = a e i + b f g + c d h − a h f − b d i − c e g \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ d & e & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & b & 0\\ d & e & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & 0 & c\\ d & e & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & e & 0\\ g & h & i\\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & 0 & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & b & 0\\ d & 0 & 0\\ g & h & i\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & b & 0\\ 0 & 0 & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & 0 & c\\ d & 0 & 0\\ g & h & i\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & 0 & c\\ 0 & e & 0\\ g & h & i\\ \end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & e & 0\\ 0 & 0 & i\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & 0 & f\\ 0 & h & 0\\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & b & 0\\ d & 0 & 0\\ 0 & 0 & i\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & b & 0\\ 0 & 0 & f\\ g & 0 & 0\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & 0 & c\\ d & 0 & 0\\ 0 & h & 0\\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & 0 & c\\ 0 & e & 0\\ g & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \\= aei+bfg+cdh-ahf-bdi-ceg adgbehcfi = adg0eh0fi + 0dgbeh0fi + 0dg0ehcfi = a0g0eh00i + a0g00h0fi + 0dgb0h00i + 00gb0h0fi + 0dg00hc0i + 00g0ehc0i = a000e000i + a0000h0f0 + 0d0b0000i + 00gb000f0 + 0d000hc00 + 00g0e0c00 =aei+bfg+cdh−ahf−bdi−ceg
行列式公式
d e t A = ∑ j 1 , j 2 , j 3 i s p e r m u t a i o n ± a 1 j 1 a 2 j 2 . . . a n j n ∀ j t 1 , j t 2 ∧ t 1 ≠ t 2 ⇒ j t 1 ≠ j t 2 det\ A=\sum_{j_1,j_2,j_3\quad is\ permutaion}\pm a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}\\ \forall j_{t_1},j_{t_2} \wedge t_1 \ne t_2 \Rightarrow j_{t_1} \ne j_{t_2} det A=j1,j2,j3is permutaion∑±a1j1a2j2...anjn∀jt1,jt2∧t1=t2⇒jt1=jt2
即选取的列坐标不重复，构成了一个排列。
所以非0项共有 n ! n! n!项。
余子式
M i j : 方阵去掉 i 行 j 列后的方阵的行列式 M_{ij}:方阵去掉i行j列后的方阵的行列式 Mij:方阵去掉i行j列后的方阵的行列式
代数余子式
A i j : ( − 1 ) i + j M i j A_{ij}:(-1)^{i+j}M_{ij} Aij:(−1)i+jMij
方阵行列式：
d e t A = ∑ 1 n A i k , 1 ≤ i ≤ n det\ A=\sum_{1}^{n}A_{ik}, 1 \le i \le n det A=1∑nAik,1≤i≤n
2. 三对角线矩阵
1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} 1100111001110011
∣ A 1 ∣ = 1 |A_1|=1 ∣A1∣=1
∣ A 2 ∣ = 0 |A_2|=0 ∣A2∣=0
∣ A 3 ∣ = − − 1 |A_3|=--1 ∣A3∣=−−1
∣ A 4 ∣ = − 1 |A_4|=-1 ∣A4∣=−1
∣ A 5 ∣ = − 0 |A_5|=-0 ∣A5∣=−0
∣ A 6 ∣ = 1 |A_6|=1 ∣A6∣=1
周期为6
A n A_n An的意思是以 1 , 1 1,1 1,1为起始点的向右向下扩展 k k k个单位的矩阵。
如
A 3 = 1 1 0 1 1 1 0 1 1 A_3= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 1 \end{bmatrix} A3= 110111011