1. 行列式公式推导
二阶行列式推导
a b c d \] = \[ a 0 c d \] + \[ 0 b c d \] = \[ a 0 0 d \] + \[ a 0 c 0 \] + \[ 0 b c 0 \] + \[ 0 b 0 d \] = \[ a 0 0 d \] − \[ b 0 0 c \] = a d − b c \\begin{align} \\begin{bmatrix} a \& b \\\\ c \& d \\end{bmatrix}\&= \\begin{bmatrix} a \& 0 \\\\ c \& d \\end{bmatrix}+ \\begin{bmatrix} 0 \& b \\\\ c \& d \\end{bmatrix}\\nonumber \\\\ \&= \\begin{bmatrix} a \& 0 \\\\ 0 \& d \\end{bmatrix}+ \\begin{bmatrix} a \& 0 \\\\ c \& 0 \\end{bmatrix}+ \\begin{bmatrix} 0 \& b \\\\ c \& 0 \\end{bmatrix}+ \\begin{bmatrix} 0 \& b \\\\ 0 \& d \\end{bmatrix} \\nonumber\\\\ \&=\\begin{bmatrix} a \& 0 \\\\ 0 \& d \\end{bmatrix}- \\begin{bmatrix} b \& 0 \\\\ 0 \& c \\end{bmatrix} \\nonumber\\\\ \&= ad -bc\\nonumber \\end{align} \[acbd\]=\[ac0d\]+\[0cbd\]=\[a00d\]+\[ac00\]+\[0cb0\]+\[00bd\]=\[a00d\]−\[b00c\]=ad−bc 三阶行列式推导 \[ a b c d e f g h i \] = \[ a 0 0 d e f g h i \] + \[ 0 b 0 d e f g h i \] + \[ 0 0 c d e f g h i \] = \[ a 0 0 0 e 0 g h i \] + \[ a 0 0 0 0 f g h i \] + \[ 0 b 0 d 0 0 g h i \] + \[ 0 b 0 0 0 f g h i \] + \[ 0 0 c d 0 0 g h i \] + \[ 0 0 c 0 e 0 g h i \] = \[ a 0 0 0 e 0 0 0 i \] + \[ a 0 0 0 0 f 0 h 0 \] + \[ 0 b 0 d 0 0 0 0 i \] + \[ 0 b 0 0 0 f g 0 0 \] + \[ 0 0 c d 0 0 0 h 0 \] + \[ 0 0 c 0 e 0 g 0 0 \] = a e i + b f g + c d h − a h f − b d i − c e g \\begin{bmatrix} a \& b \& c\\\\ d \& e \& f\\\\ g \& h \& i\\\\ \\end{bmatrix} =\\begin{bmatrix} a \& 0 \& 0\\\\ d \& e \& f\\\\ g \& h \& i\\\\ \\end{bmatrix}+ \\begin{bmatrix} 0 \& b \& 0\\\\ d \& e \& f\\\\ g \& h \& i\\\\ \\end{bmatrix} +\\begin{bmatrix} 0 \& 0 \& c\\\\ d \& e \& f\\\\ g \& h \& i\\\\ \\end{bmatrix}\\\\ =\\begin{bmatrix} a \& 0 \& 0\\\\ 0 \& e \& 0\\\\ g \& h \& i\\\\ \\end{bmatrix} +\\begin{bmatrix} a \& 0 \& 0\\\\ 0 \& 0 \& f\\\\ g \& h \& i\\\\ \\end{bmatrix}+ \\begin{bmatrix} 0 \& b \& 0\\\\ d \& 0 \& 0\\\\ g \& h \& i\\\\ \\end{bmatrix}+ \\begin{bmatrix} 0 \& b \& 0\\\\ 0 \& 0 \& f\\\\ g \& h \& i\\\\ \\end{bmatrix}+ \\begin{bmatrix} 0 \& 0 \& c\\\\ d \& 0 \& 0\\\\ g \& h \& i\\\\ \\end{bmatrix}+ \\begin{bmatrix} 0 \& 0 \& c\\\\ 0 \& e \& 0\\\\ g \& h \& i\\\\ \\end{bmatrix}\\\\= \\begin{bmatrix} a \& 0 \& 0\\\\ 0 \& e \& 0\\\\ 0 \& 0 \& i\\\\ \\end{bmatrix}+ \\begin{bmatrix} a \& 0 \& 0\\\\ 0 \& 0 \& f\\\\ 0 \& h \& 0\\\\ \\end{bmatrix} +\\begin{bmatrix} 0 \& b \& 0\\\\ d \& 0 \& 0\\\\ 0 \& 0 \& i\\\\ \\end{bmatrix}+ \\begin{bmatrix} 0 \& b \& 0\\\\ 0 \& 0 \& f\\\\ g \& 0 \& 0\\\\ \\end{bmatrix}+ \\begin{bmatrix} 0 \& 0 \& c\\\\ d \& 0 \& 0\\\\ 0 \& h \& 0\\\\ \\end{bmatrix} +\\begin{bmatrix} 0 \& 0 \& c\\\\ 0 \& e \& 0\\\\ g \& 0 \& 0\\\\ \\end{bmatrix} \\\\= aei+bfg+cdh-ahf-bdi-ceg adgbehcfi = adg0eh0fi + 0dgbeh0fi + 0dg0ehcfi = a0g0eh00i + a0g00h0fi + 0dgb0h00i + 00gb0h0fi + 0dg00hc0i + 00g0ehc0i = a000e000i + a0000h0f0 + 0d0b0000i + 00gb000f0 + 0d000hc00 + 00g0e0c00 =aei+bfg+cdh−ahf−bdi−ceg 行列式公式 d e t A = ∑ j 1 , j 2 , j 3 i s p e r m u t a i o n ± a 1 j 1 a 2 j 2 . . . a n j n ∀ j t 1 , j t 2 ∧ t 1 ≠ t 2 ⇒ j t 1 ≠ j t 2 det\\ A=\\sum_{j_1,j_2,j_3\\quad is\\ permutaion}\\pm a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}\\\\ \\forall j_{t_1},j_{t_2} \\wedge t_1 \\ne t_2 \\Rightarrow j_{t_1} \\ne j_{t_2} det A=j1,j2,j3is permutaion∑±a1j1a2j2...anjn∀jt1,jt2∧t1=t2⇒jt1=jt2 即选取的列坐标不重复，构成了一个排列。 所以非`0`项共有 n ! n! n!项。 余子式 M i j : 方阵去掉 i 行 j 列后的方阵的行列式 M_{ij}:方阵去掉i行j列后的方阵的行列式 Mij:方阵去掉i行j列后的方阵的行列式 代数余子式 A i j : ( − 1 ) i + j M i j A_{ij}:(-1)\^{i+j}M_{ij} Aij:(−1)i+jMij 方阵行列式： d e t A = ∑ 1 n A i k , 1 ≤ i ≤ n det\\ A=\\sum_{1}\^{n}A_{ik}, 1 \\le i \\le n det A=1∑nAik,1≤i≤n #### 2. 三对角线矩阵 \[ 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 \] \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \& 0 \& 0\\\\ 1 \& 1 \& 1 \& 0\\\\ 0 \& 1 \& 1 \& 1\\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 1\\\\ \\end{bmatrix} 1100111001110011 ∣ A 1 ∣ = 1 \|A_1\|=1 ∣A1∣=1 ∣ A 2 ∣ = 0 \|A_2\|=0 ∣A2∣=0 ∣ A 3 ∣ = − − 1 \|A_3\|=--1 ∣A3∣=−−1 ∣ A 4 ∣ = − 1 \|A_4\|=-1 ∣A4∣=−1 ∣ A 5 ∣ = − 0 \|A_5\|=-0 ∣A5∣=−0 ∣ A 6 ∣ = 1 \|A_6\|=1 ∣A6∣=1 周期为6 A n A_n An的意思是以 1 , 1 1,1 1,1为起始点的向右向下扩展 k k k个单位的矩阵。 如 A 3 = \[ 1 1 0 1 1 1 0 1 1 \] A_3= \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \& 0\\\\1 \& 1 \& 1 \\\\0 \& 1 \& 1 \\end{bmatrix} A3= 110111011