线性代数笔记21--对角化、A的幂

1.对角化

对于矩阵 A A A,我们假设有 n n n个向量。

将他们放置在一起组成矩阵 S S S。

A S = A $X 1 X 2 . . . X n$ = $λ 1 X 1 λ 2 X 2 . . . λ n X n$ = $X 1 X 2 . . . X n$ $λ 1 λ 2 λ 3 ⋱ λ n$ AS=A $X_1X_2...X_n$ = $\\lambda_1X_1\\ \\lambda_2X_2...\\lambda_nX_n$ = $X_1X_2...X_n$ \begin{bmatrix} \lambda_1& &&&\\ &\lambda_2&&&\\ &&\lambda_3&&\\ &&&\ddots&\\ &&&&\lambda_n \end{bmatrix} AS=A $X1X2...Xn$ = $λ1X1 λ2X2...λnXn$ = $X1X2...Xn$ λ1λ2λ3⋱λn

我们把 n n n个特征值的方程称为
Λ \Lambda\\ Λ

则
A S = S Λ AS=S\Lambda AS=SΛ

若 S S S可逆，即使 A A A存在 n n n个独立特征根。
A = S Λ S − 1 A=S\Lambda S^{-1} A=SΛS−1

这种形式叫做施密特格拉姆正交化。

有什么用呢？可以来简化幂次的运算罢了。

假设 A A A有特征值 λ \lambda λ
A X = λ X A 2 X = A A X = A λ X = λ A X = λ λ X = λ 2 X AX=\lambda X \\ A^{2} X=AAX= A\lambda X=\lambda AX=\lambda \lambda X=\lambda^{2}X AX=λXA2X=AAX=AλX=λAX=λλX=λ2X

所以 A k A^{k} Ak的 n n n个特征值对应 A A A的 n n n个特征值的 k k k次方。

对于 A 2 A^2 A2
A 2 = S Λ S − 1 S Λ S − 1 = S Λ 2 S − 1 A^2=S\Lambda S^{-1}S\Lambda S^{-1}=S\Lambda^{2}S^{-1} A2=SΛS−1SΛS−1=SΛ2S−1

再推广可得
A k = S Λ k S − 1 A^{k}=S\Lambda^{k}S^{-1} Ak=SΛkS−1

2. A的幂

A k → 0 a s k → ∞ A^{k} \to 0\ as\ k\to \infin Ak→0 as k→∞

这样的矩阵我们称为稳定的矩阵。

矩阵稳定条件，若有 n n n个独立特征向量；

即可以施密特格拉姆正交化
A = S Λ S − 1 A=S\Lambda S^{-1} A=SΛS−1

需要满足
∀ ∣ λ i ∣ < 1 , 1 ≤ i ≤ n \forall \lvert \lambda_i\rvert \lt1, 1 \le i \le n ∀∣λi∣<1,1≤i≤n

特征值与矩阵可正交化关系

如果矩阵 A A A存在 n n n个互不相同的特征值则， A A A必然有 n n n个独立的特征向量
如果矩阵 A A A存在重复的特征根，则 A A A可能但不一定存在 n n n个线性无关特征向量
2.1举例子单位矩阵
2.2 A = $2 1 0 2$ , λ = 2 , X = $1 0$ A=\begin{bmatrix} 2 & 1\\0 & 2\end{bmatrix},\lambda=2,X=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} A= $2012$ ,λ=2,X= $10$

3. A k A^{k} Ak的应用

引入

求解
u k + 1 = A u k u_{k+1}=Au_{k} uk+1=Auk

如果已知 u 0 u_0 u0，我们可以推导
u 1 = A u 0 u 2 = A u 1 = A 2 u 0 ⋯ u k = A k u 0 u_1=Au_0\\ u_2=Au_1=A^2u_0\\ \cdots\\ u_k=A^{k}u_0 u1=Au0u2=Au1=A2u0⋯uk=Aku0

我们把 u 0 u_0 u0分解到 S S S的列空间上
u 0 = c 1 X 1 + c 2 X 2 + ⋯ + c n X n S c = u 0 u_0=c_1X_1+c_2X_2+\cdots+c_nX_{n}\\ Sc=u_0 u0=c1X1+c2X2+⋯+cnXnSc=u0

乘上 A A A
A u 0 = c 1 A X 1 + c A X 2 + ⋯ + c n X n Au_0=c_1AX_1+cAX_2+\cdots+c_nX_n Au0=c1AX1+cAX2+⋯+cnXn

化为 λ \lambda λ形式
A X k = λ k X k A u 0 = c 1 λ 1 X 1 + c 2 λ 2 X 2 + ⋯ + c n λ n X n AX_k=\lambda_kX_k\\ Au_0=c_1\lambda_1X_1+c_2\lambda_2X_2+\cdots+c_n\lambda_nX_n AXk=λkXkAu0=c1λ1X1+c2λ2X2+⋯+cnλnXn

重复上面两步 k k k次得到
A k + 1 u 0 = c 1 λ 1 k X 1 + c 2 λ 2 k X 2 + ⋯ + c n λ n k X n A k + 1 u 0 = Λ k S c = Λ k u 0 A^{k+1}u_0=c_1\lambda_1^{k}X_1+c_2\lambda_2^{k}X_2+\cdots+c_n\lambda_n^{k}X_n\\ A^{k+1}u_0=\Lambda^{k} Sc=\Lambda^{k}u_0 Ak+1u0=c1λ1kX1+c2λ2kX2+⋯+cnλnkXnAk+1u0=ΛkSc=Λku0

3.1 求解斐波拉契通项公式

F i b o n a c c i Fibonacci Fibonacci数列： 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , ⋯ 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\cdots 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,⋯，求第 F 100 ? F_{100}? F100?

我们令
u k = $F k + 1 F k$ u k + 1 = $1 1 1 0$ u k u k + 1 = A k u 0 u_k=\begin{bmatrix} F_{k+1}\\ F_{k} \end{bmatrix}\\ u_{k+1}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} u_k\\ u_{k+1}=A^{k}u_0 uk= $Fk+1Fk$ uk+1= $1110$ ukuk+1=Aku0

根据数列我们可以知道
u 0 = $1 0$ u_0=\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} u0= $10$

将它化成分散到 A A A的列空间上
u 0 = c 1 X 1 + c 2 X 2 + c 3 X 3 + ⋯ + c n X n u 0 = S c u_0=c_1X_1+c_2X_2+c_3X_3+\cdots+c_nX_n\\ u_0=Sc u0=c1X1+c2X2+c3X3+⋯+cnXnu0=Sc

将上式带入 u k + 1 = A k u 0 u_{k+1}=A^{k}u_0 uk+1=Aku0
u k + 1 = A k S c u_{k+1}=A^{k}Sc\\ uk+1=AkSc

由 A S = S Λ AS=S\Lambda AS=SΛ得到
u k + 1 = S Λ k c u_{k+1}=S\Lambda^{k}c uk+1=SΛkc

只需要求得特征向量和特征矩阵和将 u 0 u_0 u0放入 S S S列空间中即可求出值

特征值计算
d e t $1 - λ 1 1 - λ$ = 0 λ 2 − λ − 1 = 0 det\ \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 1\\ 1 & -\lambda \end{bmatrix}=0\\ \lambda^2-\lambda-1=0 det $1-λ11-λ$ =0λ2−λ−1=0

特征向量为
X = $λ 1$ X=\begin{bmatrix}\lambda \\ 1 \end{bmatrix} X= $λ1$

求得两个特征值为
λ 1 = 1 + 5 2 λ 2 = 1 − 5 2 \lambda_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \lambda_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2} λ1=21+5 λ2=21−5

所以对应特征向量矩阵 S S S
S = $1 + 5 2 1 - 5 2 1 1$ S=\begin{bmatrix} \frac{1+\sqrt{5}}{2} & \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ 1 & 1 \end{bmatrix} S= $21+5 121-5 1$

再根据克拉默法则可求得 S c = u 0 Sc=u_0 Sc=u0中 c c c
c = $1 5 - 1 5$ c=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}}\\ -\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \end{bmatrix} c= $5 1-5 1$

特征值矩阵 Λ \Lambda Λ为
Λ = $1 + 5 2 0 0 1 - 5 2$ \Lambda=\begin{bmatrix} \frac{1+\sqrt{5}}{2} & 0\\ 0 &\frac{1-\sqrt{5}}{2} \\ \end{bmatrix} Λ= $21+5 0021-5$

对于我们构造的矩阵 u k + 1 u_{k+1} uk+1
u k + 1 = A k u 0 = S Λ k c = $1 + 5 2 1 - 5 2 1 1$ $( 1 + 5 2 ) k 0 0 ( 1 - 5 2 ) k$ $1 5 - 1 5$ = $( 1 + 5 2 ) k + 1 ( 1 - 5 2 ) k + 1 ( 1 + 5 2 ) k ( 1 - 5 2 ) k$ $1 5 - 1 5$ = $F k + 1 F k$ \begin{align} u_{k+1}=A^{k}u_0=S\Lambda^{k}c &= \begin{bmatrix} \frac{1+\sqrt{5}}{2} & \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{k} & 0\\ 0 &\big(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\big)^{k} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}}\\ -\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \end{bmatrix} \nonumber\\ &= \begin{bmatrix} \big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{k+1} & \big(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\big)^{k+1} \\ \big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{k} &\big(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\big)^{k} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}}\\ -\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \end{bmatrix} \nonumber \\ &= \begin{bmatrix} F_{k+1} \\F_k \end{bmatrix}\nonumber \end{align} uk+1=Aku0=SΛkc= $21+5 121-5 1$ $(21+5 )k00(21-5 )k$ $5 1-5 1$ = $(21+5 )k+1(21+5 )k(21-5 )k+1(21-5 )k$ $5 1-5 1$ = $Fk+1Fk$

由此可以得到 f i b o n a c c i fibonacci fibonacci的通项公式
F k = 1 5 $( 1 + 5 2 ) k - ( 1 - 5 2 ) k$ F_{k}=\frac{1}{\sqrt{5}} \big $\\big( \\frac{1+\\sqrt{5}}{2}\\big)\^{k} -\\big(\\frac{1-\\sqrt{5}}{2}\\big)\^{k} \\big$ Fk=5 1 $(21+5 )k-(21-5 )k$

4. 勘误

Lec22视频32:34推导的公式
应为 S Λ k c 而非 Λ k S c u k + 1 = A k u 0 A S = S Λ u k + 1 = S Λ k c Λ S ≠ S Λ , Λ ≠ I ∧ Λ ≠ S − 1 应为S\Lambda^kc而非\Lambda^{k}Sc\\ u_{k+1}=A^{k}u_0\\ AS=S\Lambda\\ u_{k+1}= S\Lambda^{k}c\\ \Lambda S \ne S \Lambda, \Lambda \ne I \wedge \Lambda \ne S^{-1} 应为SΛkc而非ΛkScuk+1=Aku0AS=SΛuk+1=SΛkcΛS=SΛ,Λ=I∧Λ=S−1