【C++】手撕AVL树

> 作者简介：დ旧言~，目前大二，现在学习Java，c，c++，Python等

> 座右铭：松树千年终是朽，槿花一日自为荣。

> 目标：能直接手撕AVL树。

> 毒鸡汤：放弃自己，相信别人，这就是失败的原因。

> 望小伙伴们点赞👍收藏✨加关注哟💕💕

🌟前言

相信大家肯定听过在C++大名鼎鼎的两颗树，这两颗树分别是AVL树和红黑树，学过的小伙伴听到都是瑟瑟发抖，像一些大厂中可能会考手撕AVL树或红黑树。学习这两棵树确实难度很大，正所谓难度越大动力就越大，那本篇我们学习这两棵树的一颗树--AVL树。

⭐主体

学习AVL树咱们按照下面的图解：

🌙AVL树的概念

在计算机科学中，AVL树 是最早被发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中，任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1，因此它也被称为高度平衡树 。查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是O(logn)。

AVL树的定义

一棵空的树是AVL树

如果T是一棵非空的二叉树，T(L)和T(R)分别是其左子树高和右子树高，那么当T满足以下条件时，T是一棵AVL树，|h(L)-h(R)|<=1，其中h(L)和h(R)分别是T(L)和T(R)的高（简称平衡因子）

AVL树的状态：

AVL树的特性：

一棵n个元素的AVL树，其高度是O(logn)

对于每一个n，n>=0，都存在一棵AVL树

对一棵n元素的AVL搜索树，在O(高度)=O(logn)的时间内可以完成查找

将一个新元素插入一棵n元素的AVL搜索树中，可以得到一棵n+1个元素的AVL树，而且插入用时为O(logn)

一个元素从一棵n元素的AVL搜索树中删除，可以得到一棵n-1个元素的AVL树，而且删除用时为O(logn)

🌙AVL树的结点

按照 KV 模型来构造 AVL 树，需要把结点定义为 三叉链结构（左、右、父）。

构造函数，由于新构造结点的左右子树均为空树，所以将新构造结点的平衡因子初始设置为 0 。

代码示例：

cpp 复制代码

// 创建AVL树的结点
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;  // 左子树
	AVLTreeNode<K, V>* _right; // 右子树
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;// 父亲结点

	pair<K, V> _kv; // 存储的键值对
	int _bf;       // 平衡因子（右子树高度 - 左子树高度）

	// 构造函数
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{}
};

🌙AVL树的插入

其实AVL树插入操作，本质上比二叉搜索树的插入操作多了一个平衡操作：

按照二叉搜索树的方式，找到待插入的位置，然后将新结点插入到该位置。
调整节点的平衡因子，如果出现不平衡，则需要进行旋转。

当 AVL 树插入一个新结点以后，需要更新插入结点的祖先的平衡因子，因为新结点（也就是叶子结点）的平衡因子为 0，但是它影响的是它的父亲，它父亲的父亲...，所以要更新到祖先结点。

上面的图就需要改变父亲爷爷的平衡因子，我们知道，树的状态有很多，无法穷举，但是我们也有规律可寻，这个规律就在于我们的平衡因子，所以我总结如下：

如果新增结点插入在 parent 的右边，只需要给 parent 的平衡因子 +1 即可
如果新增结点插入在 parent 的左边，只需要给 parent 的平衡因子 -1 即可

当 parent 的平衡因子更新完以后，可能出现三种情况：0，正负 1，正负 2。

（1）parent 的平衡因子为 0

如果parent的平衡因子是0：说明之前parent的平衡因子是1或-1，说明之前parent一边高、一边低；这次插入之后填入矮的那边，parent所在的子树高度不变，不需要继续往上更新。如图：

（2）如果 parent 的平衡因子为正负 1

如果parent的平衡因子是1或者-1：说明之前parent的平衡因子是0，两边一样高，插入之后一边更高，parent所在的子树高度发生变化，继续往上更新。

①parent为1

②parent为 -1

（3）如果 parent 的平衡因子为正负 2

平衡因子是2或-2，说明之前parent的平衡因子是1或-1，现在插入严重不平衡，违反规则，需要进行旋转处理

如果parent的平衡因子是2，cur的平衡因子是1时，说明右边的右边比较高，我们需要进行左单旋

如果parent的平衡因子是-2，cur的平衡因子是-1时，说明左边的左边比较高，我们需要进行右单旋

如果parent的平衡因子是-2，cur的平衡因子是1时，我们需要进行左右双旋

如果parent的平衡因子是2，cur的平衡因子是-1时，我们需要进行右左双旋

这里我们就举一个栗子：

代码实现：

cpp 复制代码

public:
	// 插入函数
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		// 如果AVL树是空树，把插入节点直接作为根节点
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_bf = 0;
			return true;
		}

		// 1.按照二叉搜索树的规则插入
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first) // 待插入节点的key值大于当前节点的key值
			{
				// 往右子树走
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first) // 待插入节点的key值小于当前节点的key值
			{
				// 往左子树走
				parent = cur; 
				cur = cur->_left;
			}
			else // 待插入节点的key值等于当前节点的key值
			{
				return false; // 插入失败，返回false
			}
		}

		// 2.当循环结束，说明cur找到了空的位置，那么就插入
		cur = new Node(kv); // 构造一个新节点
		if (parent->_kv.first < kv.first) // 如果新节点的key值大于当前parent节点的key值
		{
			// 就把新节点链接到parent的右边
			parent->_right = cur;
		}
		else // 如果新节点的key值小于当前parent节点的key值
		{
			// 就把新节点链接到parent的左边
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent; // 别忘了把新节点里面的_parent指向parent(因为我们定义的是一个三叉链)

		// 3.更新平衡因子,如果出现不平衡,则需要进行旋转
		while (parent) // 最远要更新到根节点去
		{
			if (cur == parent->_right) // 如果cur插在parent的右边，说明parent的右子树增高
			{
				parent->_bf++; // 那么parent的平衡因子要++
			}
			else // 如果cur插在parent的左边，说明parent的左子树增高
			{
				parent->_bf--; // 那么parent的平衡因子要--
			}

			// 判断是否更新结束，或者是否需要进行旋转
			if (parent->_bf == 0) // 如果parent的bf等于0，说明左右子树高度一致，就更新结束(原因是新插入的节点把parent左右子树中矮的那一边给填补了）
			{
				// 高度不变,更新结束
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) // 继续往上更新平衡因子(插入节点导致某一边变高了，说明parent所在的子树高度改变了)
			{
				// 子树的高度变了，就要继续往上更新祖先
				cur = cur->_parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) // 说明插入节点导致本来高的一边又变高了，子树不平衡了，那么此时需要做旋转处理
			{
				// 旋转的四种处理方式
				// 1.左单旋
				// 2.右单旋
				// 3.左右双旋
				// 4.右左双旋
				
				// 旋转完成，跳出
				break;
			}
			else
			{
				// 如果程序走到了这里，说明在插入节点之前AVL树就存在不平衡的子树，也就是存在平衡因子 >= 2的节点
				// 所以这里加一个断言进行处理
				assert(false);
			}
		}
		// 插入成功，返回true
		return true;
	}

🌙AVL树的旋转

在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，采用不同的旋转方法。

AVL树的旋转分为四种：

左单旋（LL）

右单旋（RR）

左右双旋（LR）

右左双旋（RL）

旋转规则：

让这颗子树左右高度差不超过1

旋转过程中继续保持它是搜索树

更新调整孩子节点的平衡因子

让这颗子树的高度根插入前保持一致

💫左单旋

左单旋的步骤如下：

先让 subR 的左子树（subRL）作为 parent 的右子树。
然后让 parent 作为 subR 的左子树。
接下来让 subR 作为整个子树的根。
最后更新平衡因子

我们就以下面的抽象图来看看左单旋如何实现：

代码示例：

cpp 复制代码

	// 左单旋（右边高需要左单旋）
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* ppNode = parent->_parent; // 先保存parent的parent

		// 1.建立parent和subRL之间的关系
		parent->_right = subRL;
		if (subRL) // 如果subRL节点不为空，那么要更新它的parent
		{
			subRL->_parent = parent;
		}

		// 2.建立subR和parent之间的关系
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		// 3.建立ppNode和subR之间的关系（分情况讨论parent是整颗树的根，还是局部子树）
		if (parent == _root) // 当parent是根节点时
		{
			_root = subR; // subR就变成了新的根节点
			_root->_parent = nullptr; // 根节点的的parent为空
		}
		else // 当parent是整个树的局部子树时
		{
			if (parent == ppNode->_left) // 如果parent在ppNode的左边
			{
				ppNode->_left = subR; // 那么subR就是parent的左子树
			}
			else // 如果parent在ppNode的右边
			{
				ppNode->_right = subR; // 那么subR就是parent的右子树
			}
			subR->_parent = ppNode; // subR的parent还要指向ppNode
		}

		// 更新平衡因子
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
	}

💫右单旋

右单旋的步骤如下：

先让 subL 的右子树（subLR）作为 parent 的左子树。
然后让 parent 作为 subL 的右子树。
接下来让 subL 作为整个子树的根。
最后更新平衡因子。

我们就以下面的抽象图来看看右单旋如何实现：

代码示例：

cpp 复制代码

	// 右单旋（左边高就右单旋）
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left; 
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* ppNode = parent->_parent;

		// 1.建立parent和subLR之间的关系
		parent->_left = subLR;
		if (subLR) // 如果subLR节点不为空，那么要更新它的parent
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		 
		// 2.建立subL和parent之间的关系
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		// 3.建立ppNode和subL之间的关系（分情况讨论parent是整颗树的根，还是局部子树）
		if (parent == _root) // 当parent是根节点时
		{
			_root = subL; // subL就变成了新的根节点
			_root->_parent = nullptr; // 根节点的的parent为空
		}
		else // 当parent是整个树的局部子树时
		{
			if (parent == ppNode->_left) // 如果parent在ppNode的左边
			{
				ppNode->_left = subL; // 那么subL就是parent的左子树
			}
			else // 如果parent在ppNode的右边
			{
				ppNode->_right = subL; // 那么subL就是parent的右子树
			}
			subL->_parent = ppNode; // subR的parent还要指向ppNode
		}
		// 更新平衡因子
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
	}

💫左右单旋

左右单旋的步骤如下：

先以 subL 为旋转点进行左单旋。
然后以 parent 为旋转点进行右单旋。
最后再更新平衡因子。

我们就以下面的抽象图来看看左右单旋如何实现：

再次分类讨论：

（1）当 subLR 原始平衡因子是 -1 时，左右双旋后 parent、subL、subLR 的平衡因子分别更新为 1、0、0

（2）当 subLR 原始平衡因子是 1 时，左右双旋后 parent、subL、subLR 的平衡因子分别更新为 0、-1、0

（3）当 subLR 原始平衡因子是 0 时（说明 subLR 为新增结点），左右双旋后 parent、subL、subLR 的平衡因子分别更新为0、0、0

代码示例：

cpp 复制代码

// 左右双旋（先左单旋，再右单旋）
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		// 1.先以subL为旋转点进行左单旋
		RotateL(parent->_left);

		// 2.再以parent为旋转点进行右单旋
		RotateR(parent);

		// 3.更新平衡因子
		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			// 如果走到了这里，说明subLR的平衡因子在旋转前就有问题
			assert(false);
		}
	}

💫右左单旋

右左单旋的步骤如下：

先以 subR 为旋转点进行右单旋。
然后以 parent 为旋转点进行左单旋。
最后再更新平衡因子。

我们就以下面的抽象图来看看右左单旋如何实现：

再次分类讨论：

（1）当 subRL 原始平衡因子是 1 时，左右双旋后 parent、subR、subRL 的平衡因子分别更新为 -1、0、0

（2）当 subRL 原始平衡因子是 -1 时，左右双旋后 parent、subR、subRL 的平衡因子分别更新为 0、1、0

（3）当 subRL 原始平衡因子是 0 时（说明 subRL为新增结点），左右双旋后 parent、subR、subRL 的平衡因子分别更新为0、0、0

代码示例：

cpp 复制代码

	// 右左双旋（先右单旋，再左单旋）
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		// 1.先以subR为旋转点进行右单旋
		RotateR(parent->_right);

		// 2.再以parent为旋转点进行左单旋
		RotateL(parent);

		// 3.更新平衡因子
		if (bf == 0)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else
		{
			// 如果走到了这里，说明subRL的平衡因子在旋转前就有问题
			assert(false);
		}
	}

🌙AVL树的删除

这里的删除过于复杂，我这里就直接上代码了，如果对这里感兴趣的小伙伴们可以查阅资料。

cpp 复制代码

// 删除函数
	bool Erase(const K& key)
	{
		//用于遍历二叉树
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		//用于标记实际的删除结点及其父结点
		Node* delParentPos = nullptr;
		Node* delPos = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (key < cur->_kv.first) //所给key值小于当前结点的key值
			{
				//往该结点的左子树走
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (key > cur->_kv.first) //所给key值大于当前结点的key值
			{
				//往该结点的右子树走
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else //找到了待删除结点
			{
				if (cur->_left == nullptr) //待删除结点的左子树为空
				{
					if (cur == _root) //待删除结点是根结点
					{
						_root = _root->_right; //让根结点的右子树作为新的根结点
						if (_root)
							_root->_parent = nullptr;
						delete cur; //删除原根结点
						return true; //根结点无祖先结点，无需进行平衡因子的更新操作
					}
					else
					{
						delParentPos = parent; //标记实际删除结点的父结点
						delPos = cur; //标记实际删除的结点
					}
					break; //删除结点有祖先结点，需更新平衡因子
				}
				else if (cur->_right == nullptr) //待删除结点的右子树为空
				{
					if (cur == _root) //待删除结点是根结点
					{
						_root = _root->_left; //让根结点的左子树作为新的根结点
						if (_root)
							_root->_parent = nullptr;
						delete cur; //删除原根结点
						return true; //根结点无祖先结点，无需进行平衡因子的更新操作
					}
					else
					{
						delParentPos = parent; //标记实际删除结点的父结点
						delPos = cur; //标记实际删除的结点
					}
					break; //删除结点有祖先结点，需更新平衡因子
				}
				else //待删除结点的左右子树均不为空
				{
					//替换法删除
					//寻找待删除结点右子树当中key值最小的结点作为实际删除结点
					Node* minParent = cur;
					Node* minRight = cur->_right;
					while (minRight->_left)
					{
						minParent = minRight;
						minRight = minRight->_left;
					}
					cur->_kv.first = minRight->_kv.first; //将待删除结点的key改为minRight的key
					cur->_kv.second = minRight->_kv.second; //将待删除结点的value改为minRight的value
					delParentPos = minParent; //标记实际删除结点的父结点
					delPos = minRight; //标记实际删除的结点
					break; //删除结点有祖先结点，需更新平衡因子
				}
			}
		}
		if (delParentPos == nullptr) //delParentPos没有被修改过，说明没有找到待删除结点
		{
			return false;
		}

		//记录待删除结点及其父结点（用于后续实际删除）
		Node* del = delPos;
		Node* delP = delParentPos;

		//更新平衡因子
		while (delPos != _root) //最坏一路更新到根结点
		{
			if (delPos == delParentPos->_left) //delParentPos的左子树高度降低
			{
				delParentPos->_bf++; //delParentPos的平衡因子++
			}
			else if (delPos == delParentPos->_right) //delParentPos的右子树高度降低
			{
				delParentPos->_bf--; //delParentPos的平衡因子--
			}
			//判断是否更新结束或需要进行旋转
			if (delParentPos->_bf == 0)//需要继续往上更新平衡因子
			{
				//delParentPos树的高度变化，会影响其父结点的平衡因子，需要继续往上更新平衡因子
				delPos = delParentPos;
				delParentPos = delParentPos->_parent;
			}
			else if (delParentPos->_bf == -1 || delParentPos->_bf == 1) //更新结束
			{
				break; //delParent树的高度没有发生变化，不会影响其父结点及以上结点的平衡因子
			}
			else if (delParentPos->_bf == -2 || delParentPos->_bf == 2) //需要进行旋转（此时delParentPos树已经不平衡了）
			{
				if (delParentPos->_bf == -2)
				{
					if (delParentPos->_left->_bf == -1)
					{
						Node* tmp = delParentPos->_left; //记录delParentPos右旋转后新的根结点
						RotateR(delParentPos); //右单旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
					}
					else if (delParentPos->_left->_bf == 1)
					{
						Node* tmp = delParentPos->_left->_right; //记录delParentPos左右旋转后新的根结点
						RotateLR(delParentPos); //左右双旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
					}
					else //delParentPos->_left->_bf == 0
					{
						Node* tmp = delParentPos->_left; //记录delParentPos右旋转后新的根结点
						RotateR(delParentPos); //右单旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
						//平衡因子调整
						delParentPos->_bf = 1;
						delParentPos->_right->_bf = -1;
						break; //更正
					}
				}
				else //delParentPos->_bf == 2
				{
					if (delParentPos->_right->_bf == -1)
					{
						Node* tmp = delParentPos->_right->_left; //记录delParentPos右左旋转后新的根结点
						RotateRL(delParentPos); //右左双旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
					}
					else if (delParentPos->_right->_bf == 1)
					{
						Node* tmp = delParentPos->_right; //记录delParentPos左旋转后新的根结点
						RotateL(delParentPos); //左单旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
					}
					else //delParentPos->_right->_bf == 0
					{
						Node* tmp = delParentPos->_right; //记录delParentPos左旋转后新的根结点
						RotateL(delParentPos); //左单旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
						//平衡因子调整
						delParentPos->_bf = -1;
						delParentPos->_left->_bf = 1;
						break; //更正
					}
				}
				//delParentPos树的高度变化，会影响其父结点的平衡因子，需要继续往上更新平衡因子
				delPos = delParentPos;
				delParentPos = delParentPos->_parent;
				//break; //error
			}
			else
			{
				assert(false); //在删除前树的平衡因子就有问题
			}
		}
		//进行实际删除
		if (del->_left == nullptr) //实际删除结点的左子树为空
		{
			if (del == delP->_left) //实际删除结点是其父结点的左孩子
			{
				delP->_left = del->_right;
				if (del->_right)
					del->_right->_parent = parent;
			}
			else //实际删除结点是其父结点的右孩子
			{
				delP->_right = del->_right;
				if (del->_right)
					del->_right->_parent = parent;
			}
		}
		else //实际删除结点的右子树为空
		{
			if (del == delP->_left) //实际删除结点是其父结点的左孩子
			{
				delP->_left = del->_left;
				if (del->_left)
					del->_left->_parent = parent;
			}
			else //实际删除结点是其父结点的右孩子
			{
				delP->_right = del->_left;
				if (del->_left)
					del->_left->_parent = parent;
			}
		}
		delete del; //实际删除结点
		return true;
	}

🌙AVL树的遍历

中序是递归遍历（左根右），由于涉及到传参，所以需要写一个子函数。

代码实现：

cpp 复制代码

	// 中序遍历
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->_left); // 走左
		cout << root->_kv.first << "[" << root->_bf << "]" << endl; // 遍历根
		_InOrder(root->_right); // 走右
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}

🌙AVL树的查找

查找步骤：

若 key 值小于当前结点的值，则应该在该结点的左子树当中进行查找。
若 key 值大于当前结点的值，则应该在该结点的右子树当中进行查找。
若 key 值等于当前结点的值，则查找成功，返回对应结点。

代码实现：

cpp 复制代码

	// 查找元素
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return NULL;
	}

🌙AVL树的高度

由于涉及到传参，所以需要写一个子函数。

代码实现：

cpp 复制代码

	// 计算树的高度
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}
	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

🌙AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分为下面两步：

（1）验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

cpp 复制代码


	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

（2）验证其为平衡树

每个节点子树高度差的绝对值不超过 1（注意节点中如果没有平衡因子）
节点的平衡因子是否计算正确

🌙AVL树的高度

cpp 复制代码

//求高度
int Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int lh = Height(root->_left);
		int rh = Height(root->_right);

		return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
	}
//判断平衡
bool IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);

		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
			&& IsBalance(root->_left)
			&& IsBalance(root->_right);
	}

🌙AVL树优缺点

优点：

平衡二叉树的优点不言而喻，相对于二叉排序树（BST）而言，平衡二叉树避免了二叉排序树可能出现的最极端情况（斜树）问题，其平均查找的时间复杂度为 O ( l o g N ) O(logN)O(logN)

缺点：

平衡二叉树为了保持平衡，动态进行插入和删除操作的代价也会增加。因此出现了后来的红黑树

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过 1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O ( l o g N ) O(logN)O(logN)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（即不会改变），可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

🌙整体代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <assert.h>
#include<vector>
#include <time.h>
using namespace std;


// 创建AVL树的结点
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;  // 左子树
	AVLTreeNode<K, V>* _right; // 右子树
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;// 父亲结点

	pair<K, V> _kv; // 存储的键值对
	int _bf;       // 平衡因子（右子树高度 - 左子树高度）

	// 构造函数
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{}
};

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	
	// 插入元素
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr) // 如果没有结点
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur) // 采用循环查找要插入的结点
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first) // 插入的元素大于cur就走右子树
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first) // 插入的元素小于cur就走左子树
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
				return false;
		}

		cur = new Node(kv);// 创建一个结点
		
		// 链接
		if (parent->_kv.first < kv.first)
			parent->_right = cur;
		else
			parent->_left = cur;
		
		cur->_parent = parent;

		// 循环判断插入结点的平衡因子和AVL树是否正确
		while (parent)
		{
			// 判断插入的节点在父亲的右边还是左边
			if (cur == parent->_left) // 在左边就父亲平衡因子减一
				parent->_bf--;
			else                     // 在右边就父亲平衡因子加一
				parent->_bf++;

			if (parent->_bf == 0) // 如果父亲的平衡因子为 0 该树就是健康的不用改变
				break;
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) // 这时需要向上调整每个节点的平衡因子
			{
				cur = cur->_parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) // 需要旋转处理
			{
				// 旋转处理
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) // 左单旋
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) // 右单旋
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) // 左右双旋
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else  // 右左双旋 
				{
					RotateRL(parent);
				}
				break;
			}
			else
			{
				// 插入之前AVL树就有问题
				assert(false);
			}
		}
	}
	
	// 左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		subR->_left = parent;
		Node* ppnode = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppnode;
		}

		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
	}

	// 右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		subL->_right = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppnode;
		}

		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}

	// 左右双旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	// 右左双旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(subR);
		RotateL(parent);

		subRL->_bf = 0;
		if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
	}

	// 中序遍历
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->_left); // 走左
		cout << root->_kv.first << "[" << root->_bf << "]" << endl; // 遍历根
		_InOrder(root->_right); // 走右
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}

	// 计算树的高度
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}
	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	// 判断是否平衡
	bool _IsBalance(Node* root, int& height)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			height = 0;
			return true;
		}

		int leftHeight = 0, rightHeight = 0;
		if (!_IsBalance(root->_left, leftHeight)
			|| !_IsBalance(root->_right, rightHeight))
		{
			return false;
		}

		if (abs(rightHeight - leftHeight) >= 2)
		{
			cout << root->_kv.first << "不平衡" << endl;
			return false;
		}

		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		height = leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;

		return true;
	}
	bool IsBalance()
	{
		int height = 0;
		return _IsBalance(_root, height);
	}

	// 计算树的结点个数
	size_t _Size(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
			return 0;

		return _Size(root->_left)
			+ _Size(root->_right) + 1;
	}
	size_t Size()
	{
		return _Size(_root);
	}

	// 查找元素
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return NULL;
	}

	// 删除函数
	bool Erase(const K& key)
	{
		//用于遍历二叉树
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		//用于标记实际的删除结点及其父结点
		Node* delParentPos = nullptr;
		Node* delPos = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (key < cur->_kv.first) //所给key值小于当前结点的key值
			{
				//往该结点的左子树走
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (key > cur->_kv.first) //所给key值大于当前结点的key值
			{
				//往该结点的右子树走
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else //找到了待删除结点
			{
				if (cur->_left == nullptr) //待删除结点的左子树为空
				{
					if (cur == _root) //待删除结点是根结点
					{
						_root = _root->_right; //让根结点的右子树作为新的根结点
						if (_root)
							_root->_parent = nullptr;
						delete cur; //删除原根结点
						return true; //根结点无祖先结点，无需进行平衡因子的更新操作
					}
					else
					{
						delParentPos = parent; //标记实际删除结点的父结点
						delPos = cur; //标记实际删除的结点
					}
					break; //删除结点有祖先结点，需更新平衡因子
				}
				else if (cur->_right == nullptr) //待删除结点的右子树为空
				{
					if (cur == _root) //待删除结点是根结点
					{
						_root = _root->_left; //让根结点的左子树作为新的根结点
						if (_root)
							_root->_parent = nullptr;
						delete cur; //删除原根结点
						return true; //根结点无祖先结点，无需进行平衡因子的更新操作
					}
					else
					{
						delParentPos = parent; //标记实际删除结点的父结点
						delPos = cur; //标记实际删除的结点
					}
					break; //删除结点有祖先结点，需更新平衡因子
				}
				else //待删除结点的左右子树均不为空
				{
					//替换法删除
					//寻找待删除结点右子树当中key值最小的结点作为实际删除结点
					Node* minParent = cur;
					Node* minRight = cur->_right;
					while (minRight->_left)
					{
						minParent = minRight;
						minRight = minRight->_left;
					}
					cur->_kv.first = minRight->_kv.first; //将待删除结点的key改为minRight的key
					cur->_kv.second = minRight->_kv.second; //将待删除结点的value改为minRight的value
					delParentPos = minParent; //标记实际删除结点的父结点
					delPos = minRight; //标记实际删除的结点
					break; //删除结点有祖先结点，需更新平衡因子
				}
			}
		}
		if (delParentPos == nullptr) //delParentPos没有被修改过，说明没有找到待删除结点
		{
			return false;
		}

		//记录待删除结点及其父结点（用于后续实际删除）
		Node* del = delPos;
		Node* delP = delParentPos;

		//更新平衡因子
		while (delPos != _root) //最坏一路更新到根结点
		{
			if (delPos == delParentPos->_left) //delParentPos的左子树高度降低
			{
				delParentPos->_bf++; //delParentPos的平衡因子++
			}
			else if (delPos == delParentPos->_right) //delParentPos的右子树高度降低
			{
				delParentPos->_bf--; //delParentPos的平衡因子--
			}
			//判断是否更新结束或需要进行旋转
			if (delParentPos->_bf == 0)//需要继续往上更新平衡因子
			{
				//delParentPos树的高度变化，会影响其父结点的平衡因子，需要继续往上更新平衡因子
				delPos = delParentPos;
				delParentPos = delParentPos->_parent;
			}
			else if (delParentPos->_bf == -1 || delParentPos->_bf == 1) //更新结束
			{
				break; //delParent树的高度没有发生变化，不会影响其父结点及以上结点的平衡因子
			}
			else if (delParentPos->_bf == -2 || delParentPos->_bf == 2) //需要进行旋转（此时delParentPos树已经不平衡了）
			{
				if (delParentPos->_bf == -2)
				{
					if (delParentPos->_left->_bf == -1)
					{
						Node* tmp = delParentPos->_left; //记录delParentPos右旋转后新的根结点
						RotateR(delParentPos); //右单旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
					}
					else if (delParentPos->_left->_bf == 1)
					{
						Node* tmp = delParentPos->_left->_right; //记录delParentPos左右旋转后新的根结点
						RotateLR(delParentPos); //左右双旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
					}
					else //delParentPos->_left->_bf == 0
					{
						Node* tmp = delParentPos->_left; //记录delParentPos右旋转后新的根结点
						RotateR(delParentPos); //右单旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
						//平衡因子调整
						delParentPos->_bf = 1;
						delParentPos->_right->_bf = -1;
						break; //更正
					}
				}
				else //delParentPos->_bf == 2
				{
					if (delParentPos->_right->_bf == -1)
					{
						Node* tmp = delParentPos->_right->_left; //记录delParentPos右左旋转后新的根结点
						RotateRL(delParentPos); //右左双旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
					}
					else if (delParentPos->_right->_bf == 1)
					{
						Node* tmp = delParentPos->_right; //记录delParentPos左旋转后新的根结点
						RotateL(delParentPos); //左单旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
					}
					else //delParentPos->_right->_bf == 0
					{
						Node* tmp = delParentPos->_right; //记录delParentPos左旋转后新的根结点
						RotateL(delParentPos); //左单旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
						//平衡因子调整
						delParentPos->_bf = -1;
						delParentPos->_left->_bf = 1;
						break; //更正
					}
				}
				//delParentPos树的高度变化，会影响其父结点的平衡因子，需要继续往上更新平衡因子
				delPos = delParentPos;
				delParentPos = delParentPos->_parent;
				//break; //error
			}
			else
			{
				assert(false); //在删除前树的平衡因子就有问题
			}
		}
		//进行实际删除
		if (del->_left == nullptr) //实际删除结点的左子树为空
		{
			if (del == delP->_left) //实际删除结点是其父结点的左孩子
			{
				delP->_left = del->_right;
				if (del->_right)
					del->_right->_parent = parent;
			}
			else //实际删除结点是其父结点的右孩子
			{
				delP->_right = del->_right;
				if (del->_right)
					del->_right->_parent = parent;
			}
		}
		else //实际删除结点的右子树为空
		{
			if (del == delP->_left) //实际删除结点是其父结点的左孩子
			{
				delP->_left = del->_left;
				if (del->_left)
					del->_left->_parent = parent;
			}
			else //实际删除结点是其父结点的右孩子
			{
				delP->_right = del->_left;
				if (del->_left)
					del->_left->_parent = parent;
			}
		}
		delete del; //实际删除结点
		return true;
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

void TestAVLTree1()
{
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : a)
	{
		if (e == 14)
		{
			int x = 0;
		}

		t.Insert(make_pair(e, e));
		cout << e << "->" << t.IsBalance() << endl;
	}

	t.InOrder();
	cout << t.IsBalance() << endl;
}

void TestAVLTree2()
{
	const int N = 1000000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));

	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand() + i);
		//cout << v.back() << endl;
	}

	size_t begin2 = clock();
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
		//cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalance() << endl;
	}
	size_t end2 = clock();

	cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;

	cout << t.IsBalance() << endl;

	cout << "Height:" << t.Height() << endl;
	cout << "Size:" << t.Size() << endl;

	size_t begin1 = clock();
	// 确定在的值
	for (auto e : v)
	{
		t.Find(e);
	}

	// 随机值
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		t.Find((rand() + i));
	}

	size_t end1 = clock();

	cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}

🌟结束语

今天内容就到这里啦，时间过得很快，大家沉下心来好好学习，会有一定的收获的，大家多多坚持，嘻嘻，成功路上注定孤独，因为坚持的人不多。那请大家举起自己的小手给博主一键三连，有你们的支持是我最大的动力💞💞💞，回见。