邻接矩阵法和邻接表法（图的存储）

1.邻接矩阵法

（1）邻接矩阵法定义

通过一个二维矩阵来表示图中各个顶点之间的连接关系。邻接矩阵中的行和列分别代表图中的顶点，而矩阵中的元素则表示对应顶点之间是否存在边。表示方式唯一

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typedef struct{
	ElementType vertex[maxVertexNum];// 顶点表
	ElementType edge[maxVertexNum][maxVertexNum];// 邻接矩阵（边表）
	int vertexNum,edgeNum;// 顶点数，边数
}adjacencyMatrix;

邻接矩阵法的空间复杂度为 O ( ∣ v ∣ 2 ) O(|v|^2) O(∣v∣2) ，适合用于稠密图。无向图的邻接矩阵是对称矩阵，可压缩存储

（2）计算顶点的度、入度、出度

类型	计算方式
度（无向图）	顶点在邻接矩阵中对应行/列中表示边存在的元素个数
入度（有向图）	顶点在邻接矩阵中对应列中表示边存在的元素个数
出度（有向图）	顶点在邻接矩阵中对应行中表示边存在的元素个数

注：邻接举证法求顶点的度/入度/出度的时间复杂度为 O ( ∣ v ∣ ) O(|v|) O(∣v∣)

（3）对称矩阵的压缩存储

策略：用一维数组存储主对角线和上（下）三角区元素

公式：i代表矩阵的行（ i > = 1 i>=1 i>=1），j代表矩阵的列（ j > = 1 j>=1 j>=1），k代表数组下标（ k > = 0 k>=0 k>=0）

k = { i ( i − 1 ) 2 + j − 1 , i > = j j ( j − 1 ) 2 + i − 1 , j > = i k = \begin{cases} \frac{i(i-1)}{2}+j-1, & \text{ $i\>=j$ } \\ \frac{j(j-1)}{2}+i-1, & \text{ $j\>=i$ } \\ \end{cases} k={2i(i−1)+j−1,2j(j−1)+i−1,i>=jj>=i

（4）邻接矩阵法的性质

设图G的邻接矩阵为A（矩阵元素为0或1），则 A n A^n An的元素 A n [ i ] [ j ] A^n[i][j] An[i][j]等于由顶点i到顶点j的长度为n的路径数目

2.邻接表法

（1）邻接表法定义

通过链表的方式存储每个顶点所连接的边和相应的顶点。对于图中的每个顶点，邻接表都为其创建一个链表，链表中存储了与该顶点相邻的其他顶点。表示方式不唯一

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// 边
typedef struct EdgeNode{
	int vertexIndex;// 指向邻接表中哪个结点
	struct EdgeNode *next;// 指向下一条边的指针
}EdgeNode;
// 顶点
typedef struct vertexNode{
	VertexType data;// 顶点信息
	EdgeNode* first;// 指向第一条边的指针
}AdjacencyList[maxVertexNum];
// 邻接表存储的图
typedef struct{
	AdjacencyList vertexs;
	int vertexNum,edgeNum;
}AdjacencyGraph;

无向图中邻接表法的空间复杂度为 O ( ∣ V ∣ + 2 ∣ E ∣ ) O(|V|+2|E|) O(∣V∣+2∣E∣)，有向图中邻接表法的空间复杂度为 O ( ∣ V ∣ + ∣ E ∣ ) O(|V|+|E|) O(∣V∣+∣E∣)

（2）计算顶点的度、入度、出度

类型	计算方式
度（无向图）	顶点的边链表的结点数目
入度（有向图）	遍历每个顶点的边链表，计算出指向该结点的边结点之和
出度（有向图）	顶点的边链表的结点数目