多路归并算法加二分查找（技能升级）

今天给大家写一篇关于蓝桥杯2023年的一道题：

归并排序是一种二分排序，这里介绍的是一种更为高级的归并，多路归并是从多个有序序列中逐个抽取序列首元素最大值，全部抽取完成后得到一条有序序列应用到该题上就是每个首项为ai公差为−bi的等差序列都为有序序列，而共有n条有序序列，其中利用多路归并抽取m个最大值即能组成最终序列前m个元素，显然该m个元素和最大

小蓝最近正在玩一款 RPG 游戏。他的角色一共有 N 个可以加攻击力的技能。其中第 i 个技能首次升级可以提升 Ai 点攻击力，以后每次升级增加的点数都会减少 Bi。（上取整）次之后，再升级该技能将不会改变攻击力。现在小蓝可以总计升级 M次技能，他可以任意选择升级的技能和次数。请你计算小蓝最多可以提高多少点攻击力？

输入格式

输入第一行包含两个整数 N 和 M。

以下 N 行每行包含两个整数 Ai 和 Bi。

输出格式

输出一行包含一个整数表示答案。

数据范围

输入样例：

输出样例：

优化思路：

纯暴力思路：

做等差数列的每一个值，然后排序去查找每一个数，直到第m个数字，判断前m个数字最大值是多少，这是简单粗暴的想法，比赛的时候可以直接去使用。这个的话，它的m最多有10yi个，首选项最大是10万，等差数列的项最小是1，这最坏情况下得几百个亿的次数，肯定不是现实。

优化

看到这种题首先得考虑二分查找，在这个题的话，就利用二分查找，在0到1e6的范围内去查找第m个数字x，这个x的话它一定满足在等差数列的里面，（不一定是所有的等差数列，首项大于等于x，这样的才满足）然后去计算等差数列首项到x它减少的次数，这个满足向下取整在加1，记住这个就可以，论证（

）完了之后，去做计算所有的等差数列的减少次数和总和，这里需要注意的是它可能会有多个相同的x，这个需要单独减去一下，也就是代码的最后一步。

#多路归并加二分复制代码

n,m = map(int,input().split())
a,b = [],[]
for i in range(n):
    i,j = map(int,input().split())
    a.append(i);b.append(j)
def check(mid):
    cnt = 0
    for i in range(len(a)):
        if a[i]>=mid:
            d = (a[i]-mid)//b[i] + 1
            cnt += d
    return cnt>=m
l,r = 0,int(1e6)
while l<r:
    mid = l+r+1 >> 1
    if check(mid):l = mid
    else:r = mid -1
res = 0
k = 0
for i in range(n):
    if a[i]>=l:
        d = (a[i]-l)//b[i] + 1
        k += d
        end = a[i]-(d-1)*b[i]
        res += (a[i]+end)*d//2
print(res-(k-m)*l)

总结

这种优化思路一般可能，直接想不到，所有先暴力跑一遍，然后在想办法去优化，多路归并一般想不到这个东西，但是完全可以从等差数列的数学角度来想到这个优化方案。