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一、线性方程组
设有 n 个未知数 m n个未知数m n个未知数m个方程的线性方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 , ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m , \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m,\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm,
其中 a i j 是第 i 个方程的第 j a_{ij}是第i个方程的第j aij是第i个方程的第j个未知数的系数， b i 是第 i b_i是第i bi是第i个方程的常数项， i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n i=1,2,\cdots,m;\quad j=1,2,\cdots,n i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n。
当常数项 b 1 , b 2 , ⋯ , b n b_1,b_2,\cdots,b_n b1,b2,⋯,bn不全为零时，线性方程组（1）叫做 n n n元非齐次线性方程组，当 b 1 , b 2 , ⋯ , b n b_1,b_2,\cdots,b_n b1,b2,⋯,bn全为零时，（1）式称为 n n n元其次线性方程组。
对于线性方程组需要讨论以下问题：
- 它是否有解？
- 在有解时，它是否唯一？
- 如果有多个解，如何求出它的所有解？
对于线性方程组（1）上述问题的答案取决于它的 m × n 个系数 a i j ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n ) m\times n个系数a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n) m×n个系数aij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)和右端的常数项 b 1 , b 2 , ⋯ , b n b_1,b_2,\cdots,b_n b1,b2,⋯,bn所构成的 m 行 n + 1 m行n+1 m行n+1列矩形数表：
a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b m \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m\\ \end{matrix} a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amnb1b2⋮bm
这里横排称为行，竖排称为列；对于齐次线性方程相应问题的答案完全取决于他的 m × n 个系数 a i j ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n ) m\times n个系数a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n) m×n个系数aij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)所构成的 m 行 n 列 m行n列 m行n列矩形数表：
a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{matrix} a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn
二、矩阵的定义
定义1 由 m × n m\times n m×n个数 a i j ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ; j = 1 , 2 , ⋯ , n ) a_{ij}(i=1,2,\cdots,n;j=1,2,\cdots,n) aij(i=1,2,⋯,n;j=1,2,⋯,n)排成的 m m m行 n n n列的数表
a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{matrix} a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn称为 m 行 n 列 m行n列 m行n列矩阵，简称 m × n m\times n m×n矩阵，记作
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\cr a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\cr \vdots&\vdots&&\vdots\cr a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\cr \end{pmatrix} A= a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn这 m × n m\times n m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数 a i j a_{ij} aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的 ( i , j ) (i,j) (i,j)元，以数 a i j 为 ( i , j ) a_{ij}为(i,j) aij为(i,j)元的矩阵简记作 a i j 或者 ( a i j ) m × n a_{ij}或者(a_{ij}){m\times n} aij或者(aij)m×n, m × n m\times n m×n阶矩阵也记作 A m × n A{m\times n} Am×n
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
**tips:**如无特殊说明，都为实矩阵。
行数和列数都等于 n n n的矩阵称为 n n n阶矩阵或 n n n阶方阵。 n 阶矩阵也记作 A n n阶矩阵也记作A_n n阶矩阵也记作An
只有一行的矩阵 A = ( a 1 a 2 ⋯ a n ) A=(a_1\quad a_2\quad \cdots\quad a_n) A=(a1a2⋯an)称为行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵
B = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) B=\begin{pmatrix} b_1\cr b_2\cr \vdots\cr b_m \end{pmatrix} B= b1b2⋮bm称为列矩阵，又称列向量。
两个矩阵行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。如果 A = ( a i j ) 与 B = ( b i j ) A=(a_{ij})与B=(b_{ij}) A=(aij)与B=(bij)是同行矩阵，并且它们的元素相等，即a i j = b i j ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ n ) a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots n) aij=bij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯n)
那么就称矩阵A和矩阵B相等，记作
A = B A=B A=B
元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作O.
tips：不同型的零矩阵是不同的。
对于非齐次线性方程组：
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 , ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m , \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m,\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm,
有如下几个矩阵：
A = ( a i j ) x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) b = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) B = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b m ) A=(a_{ij})\\ x=\begin{pmatrix} x_1\cr x_2\cr \vdots\\ x_n\\ \end{pmatrix}\\ b=\begin{pmatrix} b_1\cr b_2\cr \vdots\\ b_m\\ \end{pmatrix}\\ B=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m\\ \end{pmatrix} A=(aij)x= x1x2⋮xn b= b1b2⋮bm B= a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amnb1b2⋮bm
其中A成为系数矩阵，x成为未知数矩阵，b成为常数项矩阵，B成为增广矩阵。
例2 某长向三个商店（编号1,2,3）发送四种产品（编号一、二、三、四）的数量可列成矩阵
行为商店编号，列为产品编号 A = ( a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 34 a 31 a 32 a 33 a 34 ) 行为商店编号，列为产品编号\\ A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{34}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ \end{pmatrix} 行为商店编号，列为产品编号A= a11a21a31a12a22a32a13a23a33a14a34a34
其中 a i j a_{ij} aij为工厂向第 i i i家商店发送的第 j j j种商品。
这四种商品的单价即单件质量也可列成矩阵
行表示产品编号，列表示（单价、单件质量） A = ( b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32 b 41 b 42 ) 行表示产品编号，列表示（单价、单件质量）\\ A=\begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\\ b_{31}&b_{32}\\ b_{41}&b_{42}\\ \end{pmatrix} 行表示产品编号，列表示（单价、单件质量）A= b11b21b31b41b12b22b32b42
其中 b i 1 b_{i1} bi1为第 i i i种商品的单价， b i 2 b_{i2} bi2表示第 i i i种商品的单件质量。
例3 四个城市间的单向航线如图2.1所示，若令
a i j = { 1 , 从市到 j 市有 1 条单向航线， 0 , 从市到 j 市没有单向航线， a_{ij}=\begin{cases} 1,从市到j市有1条单向航线，\\ 0,从市到j市没有单向航线，\\ \end{cases} aij={1,从市到j市有1条单向航线，0,从市到j市没有单向航线，
则图2.1可用矩阵表示为
则图 2.1 可用矩阵表示为 ( 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 ) 则图2.1可用矩阵表示为\\ \begin{pmatrix} 0&1&1&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 1&0&1&0\\ \end{pmatrix} 则图2.1可用矩阵表示为 0101101010011000
一般地，若干个点之间的单向通道都可用这样的矩阵表示。
例4 n n n个变量 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn与 m m m个变量 y 1 , y 2 , ⋯ , y m y_1,y_2,\cdots,y_m y1,y2,⋯,ym之间的关系式
{ y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n , y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n , ⋯ ⋯ ⋯ y m = a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n \begin{cases} y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n,\\ y_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n,\\ \cdots\cdots\cdots\\ y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧y1=a11x1+a12x2+⋯+a1nxn,y2=a21x1+a22x2+⋯+a2nxn,⋯⋯⋯ym=am1x1+am2x2+⋯+amnxn
表示一个从变量 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn到变量 y 1 , y 2 , ⋯ , y m y_1,y_2,\cdots,y_m y1,y2,⋯,ym的线性变换 ，其中 a i j a_{ij} aij为常数。线性变换的系数 a i j a_{ij} aij构成矩阵 A = ( a i j ) m × n A=(a_{ij})_{m\times n} A=(aij)m×n.
tips:线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系。
例如线性变换
{ y 1 = λ x 1 , y 2 = λ x 2 , ⋯ y n = λ x n \begin{cases} y_1=\lambda x_1,\\ y_2=\lambda x_2,\\ \cdots\\ y_n=\lambda x_n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧y1=λx1,y2=λx2,⋯yn=λxn
对应n阶方阵：
A = ( λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 0 ⋯ λ n ) A=\begin{pmatrix} \lambda_1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&0\\ 0&0&\cdots&\lambda_n\\ \end{pmatrix} A= λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋱⋯000λn
这个方阵特点：从左上角到右下角的直线（叫做对角线）以外的元素都是0.这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，记作
A = d i a g ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) A=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) A=diag(λ1,λ2,⋯,λn)
特别当 λ 1 = λ 2 = ⋯ = λ n = 1 \lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1 λ1=λ2=⋯=λn=1时的线性变换叫做恒等变换，它对应的n阶方阵
A = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 0 ⋯ 1 ) A=\begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&0\\ 0&0&\cdots&1\\ \end{pmatrix} A= 10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯0001叫做n阶单位矩阵，简称单位阵。矩阵特点：对角线上的元素都是1，其他元素都是0，即单位阵 E 的 ( i , j ) 元 e i j E的(i,j)元e_{ij} E的(i,j)元eij为
e i j = { 1 , 当 i = j , 0 , 当 i ≠ j ( i , j = 1 , 2 , ⋯ , n ) e_{ij}=\begin{cases} 1,当i=j,\\ 0,当i\not=j \end{cases} (i,j=1,2,\cdots,n) eij={1,当i=j,0,当i=j(i,j=1,2,⋯,n)
结语
❓QQ:806797785
⭐️文档笔记地址 https://github.com/gaogzhen/math
参考：
1\]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 \[M\].北京:高等教育出版社,2014.6.p24-29. \[2\][同济六版《线性代数》全程教学视频](https://www.bilibili.com/video/BV1864y1T7Ks)\[CP/OL\].2020-02-07.p6.