2013年认证杯SPSSPRO杯数学建模
A题 护岸框架
原题再现：
在江河中，堤岸、江心洲的迎水区域被水流长期冲刷侵蚀。在河道整治工程中，需要在受侵蚀严重的部位设置一些人工设施，以减弱水流的冲刷，促进该处泥沙的淤积，以保护河岸形态的稳定。
现在常用的设施包括四面六边透水框架1等。这是一种由钢筋混凝土框杆相互焊接而成的正四面体结构，常见的尺寸为边长约 1 m，框杆截面约0.1×0.1 m。将一定数量的框架投入水中，在水中形成框架群，可以使水流消能减速，达到减弱冲击，防冲促淤的效果。
对四面六边透水框架群，框架尺寸、架空率和长度2都直接或间接地影响着其消能减速的效果。当前人们通过水槽实验等方法，已经积累了一些实验数据，也见诸各类文献当中。但由于数据量和数据精度仍有各种不足之处，还没有形成足够完善的经验公式。请你建立合理的数学模型，给出这三个参数与其减速效果之间的关系。
整体求解过程概述(摘要)
混凝土四面六边透水框架是一种新型江河透水护岸工程技术.本文研究四面六边透水框架的三个参数：框架尺寸、架空率和长度与其减速效果之间的关系。
首先，我们通过查阅资料，收集了四面六边透水框架的各个参数与其减速率之间的数据资料，利用MATLAB绘制了各个参数与其减速率之间关系曲线，通过绘制的曲线分析了各个参数对减速率的影响程度。
其次，由于实验数据数量有限且精度不高，我们采用三次样条插值的方法对收集的实验数据进行了处理，根据插值处理后的数据，利用MATLAB绘制了各个参数与其减速率之间关系曲线，得到了更为精确的分析结果。
利用三次样条插值处理后的数据，我们分别建立了架空率对减速效果模型，框架尺寸与减速率模型和框架群长度与减速率模型，利用MATLAB软件求解得到了架空率、框架尺寸、和长度与其减速效果之间的表达式。利用MATLAB对模型的精度进行了检验，结果表明，在置信水平为0.05时，我们建立的三个回归模型的决定系数的取值分别为0.9224、0.9986、0.9672；F 统计量的值分别为77.2712、1672.3、353.5393； p 值趋近于0，表明三个 模型都具有较高的模拟精度，得到的三个回归方程很好的反映了架空率、 框架尺寸、和长度与其减速效果之间的数量关系。
最后，我们对模型的优缺点进行了分析，根据四面六边透水框架的各个参数与其减速率之间的数据资料，指出了利用微分方程模型建立各个参数与减速率之间的相互影响的复杂的关系的可行性。
问题分析：
本文我们研究的问题的特点在于我们需要搜集大量的数据，要对数据进行整理分析，提取对解决问题有帮助的核心要素。整个问题主要分为三个部分来讨论：
问题一是观测杆件尺寸对透水框架群减速促淤效果的影响, 固定框架群的架空率, 进行不同杆件长宽比的减速促淤效果比较试验. 试验中保持杆边长不变,按不同的长宽比确定四面体的截面宽度, 探究尺寸的变化与水流速度的关系。
问题二是通过比较尺寸对水流速度的影响后，我们取最佳尺寸比的四面六边透水框架群,进行不同架空率的减速促淤效果比较试验, 得到的架空率与减速率关系曲线。
问题三是对框架群取不同的长度值，探讨长度对水流速度的影响， 单个框架群的长度直接决定护岸工程中框架体的数量。试验表明并非框架群越长, 框架群的减速效果就越好。
整个问题的难点在于要找出大量的数据，并对相关的数据进行处理，同时要找到适合解决问题的分析方法。
模型假设：
1．假设我们找出的数据均是正确可靠的，少量错误数据可以剔除。
2．假设框架群的制作工艺是一定的，不考虑框架群制作工艺带来的影响。
3．不考虑风速对水流速度的影响。
4．不考虑框架群制作材料对水流速度的影响。
论文缩略图：
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部分程序代码：(代码和文档not free)
bash
%架空率与减速率关系曲线
clc
e = [3.0,4.0,4.8,5.5,6.0];
yn = [0.60,0.68,0.72,0.71,0.63];
y = [0.63,0.70,0.73,0.72,0.65];
ym = [0.64,0.72,0.74,0.74,0.67];
plot(e,yn,'ro-')
hold on
plot(e,y,'*-')
plot(e,ym,'gP-')
plot(e,yn,'r')
plot(e,y)
plot(e,ym,'g')
title('架空率与减速率关系曲线')
xlabel('\epsilon')
ylabel('\eta')
legend('\eta_{min}','\eta_{eav}','\eta_{max}')
xlim([3,7])
ylim([0.6,0.8])
bash
%杆件长宽比与减速率关系三次样条差值
clc
x = [8,10,12,16,20];
y1 = [0.67,0.70,0.75,0.75,0.70];
y2 = [0.69,0.73,0.76,0.77,0.73];
y3 = [0.71,0.74,0.77,0.78,0.76];
plot(x,y1,'g*-')
hold on
plot(x,y2,'rs-')
plot(x,y3,'p-')
title('杆件长宽比与减速率关系')
xlabel('\lambda')
ylabel('\eta')
legend('\eta_{min}','\eta_{eav}','\eta_{max}')
xlim([5,22])
ylim([0.64,0.8])
bash
clc
x=[4.1,6.1,10.2,20.3,30.5,40.6]
y=[0.63,0.78,0.97,1.0,1.02,1.05]
plot(x,y,'ro-')
title('减速率与框架体长度关系曲线')
xlabel('L/m')
ylabel('\eta/\eta_{10}')
xlim([0,60])
ylim([0,1.2])
bash
%不同杆件长宽比时架空率与平均减速率关系曲线
clc
x = [3,4,4.8,6];
y1 = [0.6,0.65,0.69,0.62];
y2 = [0.63,0.70,0.73,0.63];
y3 = [0.66,0.73,0.76,0.68];
y4 = [0.69,0.74,0.77,0.72];
y5 = [0.67,0.71,0.73,0.68];
plot(x,y1,'r')
hold on
plot(x,y2)
plot(x,y3,'g')
plot(x,y4,'c')
plot(x,y5,'y')
plot(x,y1,'ro')
plot(x,y2,'*')
plot(x,y3,'gP')
plot(x,y4,'c+')
plot(x,y5,'yv')
title('不同杆件长宽比时架空率与平均减速率关系曲线')
xlabel('\epsilon')
ylabel('\eta_{eav}')
legend('\eta1=8','\eta2=10','\eta3=12','\eta4=16','\eta5=20')
xlim([3,7])
ylim([0.6,0.8])