复变函数导数求解(包含矢量、矩阵形式)

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前言

一、复变函数导数

[1.1 导数定义](#1.1 导数定义)

[1.2 求导法则](#1.2 求导法则)

[1.3 存在条件](#1.3 存在条件)

二、常用求导结论

[2.1 标量函数对标量的导数](#2.1 标量函数对标量的导数)

[2.2 标量函数对矢量的导数](#2.2 标量函数对矢量的导数)

[2.3 标量函数对矩阵的导数](#2.3 标量函数对矩阵的导数)

总结


前言

本文将从信号处理的角度简单阐明复变函数理论的重要性,并重点介绍能够用于信号处理领域的复变函数求导原理。

能够发射到空间中的信号只能是实信号。然而我们在处理接收信号时,往往是复信号形式的,这两者并不冲突。实信号频谱是左右对称的,也就是实信号有至少一半频谱携带的信息是冗余的,为了提高频谱利用率,IQ调制与解调技术被用于信号的发射与接收,接收的信号分为IQ两路信号。为了更好更高效的描述IQ信号,人们提出利用复变函数来描述IQ两路信号(复信号实际是不存在的,它只是描述IQ两路信号的最佳手段)。因此,基于实变函数的理论在复数中不再适用,包括估计理论中克拉美罗界的推导、匹配滤波理论的推导等需要从复变函数的角度重新开展,而其中一个重要的基础理论就是复变函数的求导理论。


一、复变函数导数

1.1 导数定义

在点的某邻域内有定义,且,其中。若下面极限存在

则称在点可导,其极限值称为在点的导数,记为

1.2 求导法则

复变函数在复变量区域D内处处可导,则下列运算规则得到的复变函数的导数为

1)和差法则

  1. 积法则
  1. 商法则
  1. 链式法则

若函数分别在区域G和D内可导,且将D映射为使得,则复合函数在D内可导,且

  1. 反函数法则

若函数在区域D内可导且将D一一映射到区域E。若在区域D内且反函数在E连续,则在E内可导,且

1.3 存在条件

复变函数在点可导的充要条件是函数在点可微(四个一阶偏导数在该点存在且连续),其满足方程(Cauchy-Riemann方程)

在点可导时,在该点有

  • 证明

假设可导,则有

进一步有

上式等价于

上式分别表示的微分形式,因此可导等价于

  • 扩展1

利用,导数可以表示为

  • 扩展2

,则存在的等效条件为

对应导数为:

  • 推论

导数如果存在且不等于0,则导数必然不存在。(该结论是博主根据上述结论得到的新结论,没有细致调研,因此无法判断该结论是否有人证明过,感兴趣的可以去调研,也希望在评论区给出调研结果以及结论的证明过程)

二、常用求导结论

2.1 标量函数对标量的导数

标量是复变量的复变函数,下面为常见复变函数的导数:

注:该式的导数是不存在的(不满足C-R方程),为了方便分析,一般认为是相互独立的两个变量

表示实变量,下面为常见实变函数的导数:

2.2 标量函数对矢量的导数

为复矢量,为复矢量的标量函数,都为复矢量的矢量函数,并作出如下导数定义

,

为实矢量,为实矢量的实函数,都为实矢量的矢量函数,则

2.3 标量函数对矩阵的导数

分别是的矩阵,则

,,,

表示方阵对角线上元素之和,称为迹。表示行列式。

祝同江等. 工程数学复变函数(第三版).北京:电子工业出版社,2012.6.

复数矩阵求导辨识 - 知乎 (zhihu.com)

标量函数对矢量的求导 - 百度文库 (baidu.com)

复数矩阵求导的转置和共轭转置问题?(MMSE预编码器推导) - 知乎 (zhihu.com)


总结

本文简单介绍了复变函数的求导,用于信号处理领域的研究。有问题也欢迎评论区留言。转载请附链接【杨(> <)】-CSDN博客

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