复变函数导数求解（包含矢量、矩阵形式）

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前言

一、复变函数导数

[1.1 导数定义](#1.1 导数定义)

[1.2 求导法则](#1.2 求导法则)

[1.3 存在条件](#1.3 存在条件)

二、常用求导结论

[2.1 标量函数对标量的导数](#2.1 标量函数对标量的导数)

[2.2 标量函数对矢量的导数](#2.2 标量函数对矢量的导数)

[2.3 标量函数对矩阵的导数](#2.3 标量函数对矩阵的导数)

总结

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前言

本文将从信号处理的角度简单阐明复变函数理论的重要性，并重点介绍能够用于信号处理领域的复变函数求导原理。

能够发射到空间中的信号只能是实信号。然而我们在处理接收信号时，往往是复信号形式的，这两者并不冲突。实信号频谱是左右对称的，也就是实信号有至少一半频谱携带的信息是冗余的，为了提高频谱利用率，IQ调制与解调技术被用于信号的发射与接收，接收的信号分为IQ两路信号。为了更好更高效的描述IQ信号，人们提出利用复变函数来描述IQ两路信号（复信号实际是不存在的，它只是描述IQ两路信号的最佳手段）。因此，基于实变函数的理论在复数中不再适用，包括估计理论中克拉美罗界的推导、匹配滤波理论的推导等需要从复变函数的角度重新开展，而其中一个重要的基础理论就是复变函数的求导理论。

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一、复变函数导数

1.1 导数定义

设在点的某邻域内有定义，且，其中。若下面极限存在

则称在点可导，其极限值称为在点的导数，记为或。

1.2 求导法则

复变函数和在复变量区域D内处处可导，则下列运算规则得到的复变函数的导数为

1）和差法则

2. 积法则

3. 商法则

4. 链式法则

若函数和分别在区域G和D内可导，且将D映射为使得，则复合函数在D内可导，且

5. 反函数法则

若函数在区域D内可导且将D一一映射到区域E。若在区域D内且反函数在E连续，则在E内可导，且

1.3 存在条件

复变函数在点可导的充要条件是函数，在点可微（四个一阶偏导数在该点存在且连续），其满足方程(Cauchy-Riemann方程)

当在点可导时，在该点有

• 证明

假设在可导，则有

进一步有

上式等价于

上式分别表示，的微分形式，因此在可导等价于

• 扩展1

利用，导数可以表示为

• 扩展2

，则存在的等效条件为

对应导数为：

• 推论

导数如果存在且不等于0，则导数必然不存在。（该结论是博主根据上述结论得到的新结论，没有细致调研，因此无法判断该结论是否有人证明过，感兴趣的可以去调研，也希望在评论区给出调研结果以及结论的证明过程）

二、常用求导结论

2.1 标量函数对标量的导数

标量是复变量的复变函数，下面为常见复变函数的导数：

注：该式的导数是不存在的（不满足C-R方程），为了方便分析，一般认为和是相互独立的两个变量

表示实变量，下面为常见实变函数的导数：

2.2 标量函数对矢量的导数

为复矢量，为复矢量的标量函数，和都为复矢量的矢量函数，并作出如下导数定义

,

则

为实矢量，为实矢量的实函数，和都为实矢量的矢量函数，则

2.3 标量函数对矩阵的导数

和分别是和的矩阵，则

,,,

表示方阵对角线上元素之和，称为迹。表示行列式。

祝同江等. 工程数学复变函数（第三版）.北京：电子工业出版社，2012.6.

复数矩阵求导辨识 - 知乎 (zhihu.com)

标量函数对矢量的求导 - 百度文库 (baidu.com)

复数矩阵求导的转置和共轭转置问题？（MMSE预编码器推导） - 知乎 (zhihu.com)

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总结

本文简单介绍了复变函数的求导，用于信号处理领域的研究。有问题也欢迎评论区留言。转载请附链接【杨（> <)】-CSDN博客。