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[1.1 导数定义](#1.1 导数定义)
[1.2 求导法则](#1.2 求导法则)
[1.3 存在条件](#1.3 存在条件)
[2.1 标量函数对标量的导数](#2.1 标量函数对标量的导数)
[2.2 标量函数对矢量的导数](#2.2 标量函数对矢量的导数)
[2.3 标量函数对矩阵的导数](#2.3 标量函数对矩阵的导数)
前言
本文将从信号处理的角度简单阐明复变函数理论的重要性,并重点介绍能够用于信号处理领域的复变函数求导原理。
能够发射到空间中的信号只能是实信号。然而我们在处理接收信号时,往往是复信号形式的,这两者并不冲突。实信号频谱是左右对称的,也就是实信号有至少一半频谱携带的信息是冗余的,为了提高频谱利用率,IQ调制与解调技术被用于信号的发射与接收,接收的信号分为IQ两路信号。为了更好更高效的描述IQ信号,人们提出利用复变函数来描述IQ两路信号(复信号实际是不存在的,它只是描述IQ两路信号的最佳手段)。因此,基于实变函数的理论在复数中不再适用,包括估计理论中克拉美罗界的推导、匹配滤波理论的推导等需要从复变函数的角度重新开展,而其中一个重要的基础理论就是复变函数的求导理论。
一、复变函数导数
1.1 导数定义
设在点
的某邻域
内有定义,且
,其中
。若下面极限存在

则称在点
可导,其极限值称为
在点
的导数,记为
或
。
1.2 求导法则
复变函数和
在复变量
区域D内处处可导,则下列运算规则得到的复变函数的导数为
1)和差法则

- 积法则

- 商法则

- 链式法则
若函数和
分别在区域G和D内可导,且
将D映射为
使得
,则复合函数
在D内可导,且

- 反函数法则
若函数在区域D内可导且将D一一映射到区域E。若在区域D内
且反函数
在E连续,则
在E内可导,且

1.3 存在条件
复变函数在点
可导的充要条件是函数
,
在点
可微(四个一阶偏导数在该点存在且连续),其满足方程(Cauchy-Riemann方程)

当在点
可导时,在该点有

- 证明
假设在
可导,则有

进一步有

上式等价于


上式分别表示,
的微分形式,因此
在
可导等价于

- 扩展1
利用,导数可以表示为

- 扩展2
,则
存在的等效条件为

对应导数为:

- 推论
导数如果存在且不等于0,则导数
必然不存在。(该结论是博主根据上述结论得到的新结论,没有细致调研,因此无法判断该结论是否有人证明过,感兴趣的可以去调研,也希望在评论区给出调研结果以及结论的证明过程)
二、常用求导结论
2.1 标量函数对标量的导数
标量是复变量
的复变函数,下面为常见复变函数的导数:









注:该式的导数是不存在的(不满足C-R方程),为了方便分析,一般认为和
是相互独立的两个变量
表示实变量,下面为常见实变函数的导数:







2.2 标量函数对矢量的导数
为复矢量,
为复矢量
的标量函数,
和
都为复矢量
的矢量函数,并作出如下导数定义
,


则








为实矢量,
为实矢量
的实函数,
和
都为实矢量
的矢量函数,则




2.3 标量函数对矩阵的导数
和
分别是
和
的矩阵,则
,
,
,
表示方阵对角线上元素之和,称为迹。
表示行列式。

祝同江等. 工程数学复变函数(第三版).北京:电子工业出版社,2012.6.
复数矩阵求导的转置和共轭转置问题?(MMSE预编码器推导) - 知乎 (zhihu.com)
总结
本文简单介绍了复变函数的求导,用于信号处理领域的研究。有问题也欢迎评论区留言。转载请附链接【杨(> <)】-CSDN博客。