文章目录
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[1.1 导数定义](#1.1 导数定义)
[1.2 求导法则](#1.2 求导法则)
[1.3 存在条件](#1.3 存在条件)
[2.1 标量函数对标量的导数](#2.1 标量函数对标量的导数)
[2.2 标量函数对矢量的导数](#2.2 标量函数对矢量的导数)
[2.3 标量函数对矩阵的导数](#2.3 标量函数对矩阵的导数)
前言
本文将从信号处理的角度简单阐明复变函数理论的重要性，并重点介绍能够用于信号处理领域的复变函数求导原理。
能够发射到空间中的信号只能是实信号。然而我们在处理接收信号时，往往是复信号形式的，这两者并不冲突。实信号频谱是左右对称的，也就是实信号有至少一半频谱携带的信息是冗余的，为了提高频谱利用率，IQ调制与解调技术被用于信号的发射与接收，接收的信号分为IQ两路信号。为了更好更高效的描述IQ信号，人们提出利用复变函数来描述IQ两路信号（复信号实际是不存在的，它只是描述IQ两路信号的最佳手段）。因此，基于实变函数的理论在复数中不再适用，包括估计理论中克拉美罗界的推导、匹配滤波理论的推导等需要从复变函数的角度重新开展，而其中一个重要的基础理论就是复变函数的求导理论。
一、复变函数导数
1.1 导数定义
设
在点
的某邻域
内有定义，且
，其中
。若下面极限存在
则称
在点可导，其极限值称为在点的导数，记为
或
。
1.2 求导法则
复变函数和
在复变量
区域D内处处可导，则下列运算规则得到的复变函数的导数为
1）和差法则
- 积法则
- 商法则
- 链式法则
若函数
和
分别在区域G和D内可导，且将D映射为
使得
，则复合函数
在D内可导，且
- 反函数法则
若函数在区域D内可导且将D一一映射到区域E。若在区域D内
且反函数
在E连续，则
在E内可导，且
1.3 存在条件
复变函数
在点
可导的充要条件是函数
，
在点
可微（四个一阶偏导数在该点存在且连续），其满足方程(Cauchy-Riemann方程)
当在点
可导时，在该点有
- 证明
假设在可导，则有
进一步有
上式等价于
上式分别表示，的微分形式，因此在可导等价于
- 扩展1
利用，导数可以表示为
- 扩展2
，则
存在的等效条件为
对应导数为：
- 推论
导数
如果存在且不等于0，则导数
必然不存在。（该结论是博主根据上述结论得到的新结论，没有细致调研，因此无法判断该结论是否有人证明过，感兴趣的可以去调研，也希望在评论区给出调研结果以及结论的证明过程）
二、常用求导结论
2.1 标量函数对标量的导数
标量是复变量的复变函数，下面为常见复变函数的导数：
注：该式的导数是不存在的（不满足C-R方程），为了方便分析，一般认为和
是相互独立的两个变量
表示实变量，下面为常见实变函数的导数：
2.2 标量函数对矢量的导数
为复矢量，
为复矢量
的标量函数，
和
都为复矢量的矢量函数，并作出如下导数定义
,
则
为实矢量，为实矢量的实函数，和都为实矢量的矢量函数，则
2.3 标量函数对矩阵的导数
和
分别是
和
的矩阵，则
,
,
,
表示方阵对角线上元素之和，称为迹。
表示行列式。
祝同江等. 工程数学复变函数（第三版）.北京：电子工业出版社，2012.6.
复数矩阵求导的转置和共轭转置问题？（MMSE预编码器推导） - 知乎 (zhihu.com)
总结
本文简单介绍了复变函数的求导，用于信号处理领域的研究。有问题也欢迎评论区留言。转载请附链接【杨（> <)】-CSDN博客。