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本专栏专注于分析与讲解【面试经典150】算法，两到三天更新一篇文章，欢迎催更......
专栏内容以分析题目为主，并附带一些对于本题涉及到的数据结构等内容进行回顾与总结，文章结构大致如下，部分内容会有增删：
- Tag：介绍本题牵涉到的知识点、数据结构；
- 题目来源：贴上题目的链接，方便大家查找题目并完成练习；
- 题目解读：复述题目（确保自己真的理解题目意思），并强调一些题目重点信息；
- 解题思路：介绍一些解题思路，每种解题思路包括思路讲解、实现代码以及复杂度分析；
- 知识回忆：针对今天介绍的题目中的重点内容、数据结构进行回顾总结。
Tag
【动态规划-空间优化】【数组】
题目来源
解题思路
方法一：动态规划
定义状态
朴素的动态规划方法是定义状态 dp[i][j]，表示从网格左上角 (0, 0) 位置到 (i, j) 位置的最小路径和。
状态转移
根据题目中 "每次只能向下或者向右移动一步"，可知到达位置 (i, j) 只能从 (i-1, j) 向下移动一步或者从 (i, j-1) 向右一步，因此有转移关系：
d p [ i ] [ j ] = m i n ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] ) , i ≥ 1 , j ≥ 1 dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), i \ge 1, j \ge 1 dp[i][j]=min(dp[i−1][j],dp[i][j−1]),i≥1,j≥1
base case
dp[0][0] = grid[0][0]。
对于网格 grid 中的第一行和第一列位置，只能从对应位置的左侧和上方的位置移动一步得到，于是需要进行如下方式的初始化：
-
cpp
// 第一列
for (int i = 1; i < m; ++i)
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
// 第一行
for (int j = 1; j < n; ++j) {
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
}最后返回
dp[m-1][n-1] 表示从网格左上角到网格右下角的最小路径和。
实现代码
-
cpp
class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
int m = grid.size(), n = grid[0].size();
vector<vector<int>> dp = vector<vector<int>>(m, vector<int>(n));
dp[0][0] = grid[0][0];
// 对于在第一行或者第一列
第一列
for (int i = 1; i < m; ++i)
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
第一行
for (int j = 1; j < n; ++j) {
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
}
// 对于不在第一行和第一列的元素
for (int i = 1; i < m; ++i) {
for (int j = 1; j < n; ++j) {
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};复杂度分析
时间复杂度： O ( m n ) O(mn) O(mn)， m m m 为网格 grid 的行数， n n n 为网格的列数。
空间复杂度： O ( m n ) O(mn) O(mn)。
方法二：空间优化
方法一中朴素解法的空间复杂度可以进行优化，只需要使用 O ( m i n { m , n } ) O(min\{m, n\}) O(min{m,n}) 的复杂度即可解决。
我们以 示例 1 为例说明，如何使用线性空间解决本题。
网格的行数和列数一样，选择按行来更新最小路径和（选择列也可以），维护一个数组 dp 长度为 3。
初始化 dp = {1, 4, 5}，dp[0] 表示从位置 (0, 0) 到位置 (0, 0) 的最小路径和；dp[1] 表示从位置 (0, 0) 到位置 (0, 1) 的最小路径和；dp[2] 表示从位置 (0, 0) 到位置 (0, 2) 的最小路径和。
在网格的第一行（从 0 开始数），dp[0] 表示从位置 (0, 0) 到位置 (1, 0) 的最小路径和，因为只能从 (0, 0) 位置到 (1, 0) 位置，所以更新 dp[0] = dp[0] + grid[1][0]；dp[1] 表示从位置 (0, 0) 到位置 (1, 1) 的最小路径和，因为可以从 (1, 0) 位置向右或者 (0, 1) 位置向下移动到位置 (1, 1)，所以有 dp[1] = min(dp[0], dp[1]) + grid[i][j]...
具体实现见如下代码。
实现代码
-
cpp
class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
int m = grid.size();
int n = grid[0].size();
int more = max(m, n);
int less = min(m, n);
bool rowMore = more == m; // 判断是否是行数大于等于列数
vector<int> arr(less); // 以较短维度的长度作为临时空间，比如列数较小
int i, j;
for (i = 0; i < less; ++i) {// 更新第 0 行的所有列，即初始化
if (i == 0) {
arr[i] = grid[0][0];
}
else {
arr[i] = arr[i - 1] + (rowMore ? grid[0][i] : grid[i][0]);
}
}
for (i = 1; i < more; ++i) {// 按照行进行更新
arr[0] = arr[0] + (rowMore ? grid[i][0] : grid[0][i]); // 更新 i 行 0 列的答案
for (j = 1; j < less; ++j) { // 更新 i 行其他列的答案
arr[j] = min(arr[j - 1], arr[j]) + (rowMore ? grid[i][j] : grid[j][i]);
}
}
return arr[less-1];
}
};复杂度分析
时间复杂度： O ( m n ) O(mn) O(mn)， m m m 为网格 grid 的行数， n n n 为网格的列数。
空间复杂度： O ( m i n { m , n } ) O(min\{m, n\}) O(min{m,n})。
写在最后
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