从零学算法894

894 .给你一个整数 n ，请你找出所有可能含 n 个节点的真二叉树，并以列表形式返回。答案中每棵树的每个节点都必须符合 Node.val == 0 。

答案的每个元素都是一棵真二叉树的根节点。你可以按任意顺序返回最终的真二叉树列表。

真二叉树是一类二叉树，树中每个节点恰好有 0 或 2 个子节点。

示例 1：

输入：n = 7

输出： $\[0,0,0,null,null,0,0,null,null,0,0$ , $0,0,0,null,null,0,0,0,0$ , $0,0,0,0,0,0,0$ , $0,0,0,0,0,null,null,null,null,0,0$ , $0,0,0,0,0,null,null,0,0$ ]

示例 2：

输入：n = 3

输出： $\[0,0,0$ ]

分治：从根节点开始构建真二叉树时，初始节点数为 1，由于真二叉树的每个节点只会有 0 或 2 个子节点，所以构建一次后，节点总数只会为 1+0 或者 1+2，同理继续构建下去，增加的节点数必定为 2 的倍数，所以要构建真二叉树，首先节点总数 n 一定为奇数。同理左右子树的节点数也一定为奇数，所以假设左子树有 i 个节点，那么右子树就包含 n-i-1 个节点，并且可以推出左右节点数的组合序列为 [(1,n-2),(3,n-4),...,(n-2,1)]。此时可以利用分治法分构建真二叉树，终止条件为当 n = 1，返回只有一个根节点的真二叉树，当 n > 1 时我们枚举左右子树节点数的可能性并组合所有可能性即可

java 复制代码

  public List<TreeNode> allPossibleFBT(int n) {
      List<TreeNode> ans = new ArrayList<>();
      if(n % 2==0)return ans;
      if(n == 1){
          ans.add(new TreeNode(0));
          return ans;
      }
      for(int i=1;i<n;i+=2){
      	  // 返回当节点数为 i 时左子树所有可能的结构
      	  // 比如示例 1，当 i = 1 时就表示左子树只有一个节点
          List<TreeNode> left = allPossibleFBT(i);
          // 返回当节点数为 n-i-1 时右子树所有可能的结构
          // 比如当 i 为 1 时表示右子树共有 5 个节点
          // 共有 5 个节点的真二叉树只有两种可能
          // 最后组合成了图中前面两种可能
          List<TreeNode> right = allPossibleFBT(n - 1 - i);
          // 两两组合加入结果列表
          for(TreeNode l:left){
              for(TreeNode r:right){
                  TreeNode root = new TreeNode(0, l,r);
                  ans.add(root);
              }
          }
      }
      return ans;
  }

动态规划：还是上述的思路，同样可以用动态规划的方式去解。假设 dp $i$ 为节点总数为 i 时的所有真二叉树，我们从 dp $1$ 开始构造，dp $1$ 表示只有根节点没有左右子树，左右子树节点数的可能的组合为 []，构建 dp $3$ 的左右子树节点数可能的组合为 [(1,1)]（表示左子树为 dp $1$ ，右子树为 dp $1$ ），构建 dp $5$ 的组合为 [(1,3),(3,1)]，dp $7$ 的组合为 [(1,5),[3,3],[5,2]]，dp $n$ 的组合为 [(1,n-2),(3,n-4),...,(n-2,1)]，还是同理遍历这些可能组在一起即可
比如 dp $7$ 可以由左子树为 dp $1$ ，右子树为 dp $5$ 的所有可能组合而成得到示例 1 结果图中前两种结果，也能由左右子树都为 dp $3$ 的可能组合而成得到图中第三种结果，还能由左子树为 dp $5$ ，右子树为 dp $1$ 的所有可能组合而成得到图中最后两种结果

java 复制代码

  public List<TreeNode> allPossibleFBT(int n) {
      if(n % 2==0)return new ArrayList<TreeNode>();
      List<TreeNode>[] dp = new List[n+1];
      // 初始化为空列表
      for (int i = 0; i <= n; i++) {
          dp[i] = new ArrayList<TreeNode>();
      }
      // 赋值节点总数为 1 的初始值 dp[1]
      dp[1].add(new TreeNode(0));
      // 获取节点总数为 3,5,7.. 的真二叉树列表
      for(int i=3;i<=n;i+=2){
          // 从左子树节点总数为 1 开始枚举左右子树的可能
          for(int j=1;j<i;j+=2){
              // 老样子，组合左右子树得到所有可能
              for(TreeNode left:dp[j]){
                  for(TreeNode right:dp[i-1-j]){
                      TreeNode root = new TreeNode(0, left, right);
                      dp[i].add(root);
                  }
              }
          }
      }
      return dp[n];
  }