894 .给你一个整数 n ,请你找出所有可能含 n 个节点的 真二叉树 ,并以列表形式返回。答案中每棵树的每个节点都必须符合 Node.val == 0 。
答案的每个元素都是一棵真二叉树的根节点。你可以按 任意顺序 返回最终的真二叉树列表。
真二叉树 是一类二叉树,树中每个节点恰好有 0 或 2 个子节点。
示例 1:
输入:n = 7
输出:[[0,0,0,null,null,0,0,null,null,0,0],[0,0,0,null,null,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,null,null,null,null,0,0],[0,0,0,0,0,null,null,0,0]]
示例 2:
输入:n = 3
输出:[[0,0,0]]
- 分治:从根节点开始构建真二叉树时,初始节点数为 1,由于真二叉树的每个节点只会有 0 或 2 个子节点,所以构建一次后,节点总数只会为 1+0 或者 1+2,同理继续构建下去,增加的节点数必定为 2 的倍数,所以要构建真二叉树,首先节点总数 n 一定为奇数。同理左右子树的节点数也一定为奇数,所以假设左子树有 i 个节点,那么右子树就包含 n-i-1 个节点,并且可以推出左右节点数的组合序列为
[(1,n-2),(3,n-4),...,(n-2,1)]
。此时可以利用分治法分构建真二叉树,终止条件为当 n = 1,返回只有一个根节点的真二叉树,当 n > 1 时我们枚举左右子树节点数的可能性并组合所有可能性即可
java
public List<TreeNode> allPossibleFBT(int n) {
List<TreeNode> ans = new ArrayList<>();
if(n % 2==0)return ans;
if(n == 1){
ans.add(new TreeNode(0));
return ans;
}
for(int i=1;i<n;i+=2){
// 返回当节点数为 i 时左子树所有可能的结构
// 比如示例 1,当 i = 1 时就表示左子树只有一个节点
List<TreeNode> left = allPossibleFBT(i);
// 返回当节点数为 n-i-1 时右子树所有可能的结构
// 比如当 i 为 1 时表示右子树共有 5 个节点
// 共有 5 个节点的真二叉树只有两种可能
// 最后组合成了图中前面两种可能
List<TreeNode> right = allPossibleFBT(n - 1 - i);
// 两两组合加入结果列表
for(TreeNode l:left){
for(TreeNode r:right){
TreeNode root = new TreeNode(0, l,r);
ans.add(root);
}
}
}
return ans;
}
- 动态规划:还是上述的思路,同样可以用动态规划的方式去解。假设 dp[i] 为节点总数为 i 时的所有真二叉树,我们从 dp[1] 开始构造,dp[1] 表示只有根节点没有左右子树,左右子树节点数的可能的组合为
[]
,构建 dp[3] 的左右子树节点数可能的组合为[(1,1)]
(表示左子树为 dp[1],右子树为 dp[1]),构建 dp[5] 的组合为[(1,3),(3,1)]
,dp[7] 的组合为[(1,5),[3,3],[5,2]]
,dp[n] 的组合为[(1,n-2),(3,n-4),...,(n-2,1)]
,还是同理遍历这些可能组在一起即可 - 比如 dp[7] 可以由左子树为 dp[1],右子树为 dp[5] 的所有可能组合而成得到示例 1 结果图中前两种结果,也能由左右子树都为 dp[3] 的可能组合而成得到图中第三种结果,还能由左子树为 dp[5],右子树为 dp[1] 的所有可能组合而成得到图中最后两种结果
java
public List<TreeNode> allPossibleFBT(int n) {
if(n % 2==0)return new ArrayList<TreeNode>();
List<TreeNode>[] dp = new List[n+1];
// 初始化为空列表
for (int i = 0; i <= n; i++) {
dp[i] = new ArrayList<TreeNode>();
}
// 赋值节点总数为 1 的初始值 dp[1]
dp[1].add(new TreeNode(0));
// 获取节点总数为 3,5,7.. 的真二叉树列表
for(int i=3;i<=n;i+=2){
// 从左子树节点总数为 1 开始枚举左右子树的可能
for(int j=1;j<i;j+=2){
// 老样子,组合左右子树得到所有可能
for(TreeNode left:dp[j]){
for(TreeNode right:dp[i-1-j]){
TreeNode root = new TreeNode(0, left, right);
dp[i].add(root);
}
}
}
}
return dp[n];
}