数学建模——01规划/整数规划

1.概念

数学规划问题有些数据必须是整数，但是理论最优解可能是小数，比如人数，这一类数据只能是整数。如果

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| 要求解的数据全是整数 | 整数规划 |
| 要求解的数据有一部分限制是整数 | 混合整数规划 |
| 解只能取0或者1的规划 | 01规划 |

2.函数

整数线性规划是可以用matlab求解的

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| | 线性规划 | 非线性规划 | 整数规划 |
| 模型标准型 | | | |
| 函数名 | linprog | fmincon | intlinprog |
| 函数用法 | Matlab [x, fval] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb,ub); | Matlab [x, fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,option); | Matlab [x, fval] = intlinprog(f,intcon, A, b, Aeq, beq, lb,ub,x0); |

参数含义：

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| linprog || fmincon || intlinprog ||
| f | 目标函数系数向量（列向量） | fun | 把目标函数定义成一个单独的函数文件（min） | f | 目标函数系数向量（列向量） |
| A | 不等式约束矩阵（左侧系数） | x0 | 决策变量的初始值 | intcon | 是指决策变量x中应该取整数值的分量，比如决策变量有三个若1，3是整数，那么intcon = $1,3$ |
| b | 不等式约束右侧常数向量 | A,b | 线性约束 不等式 变量系数矩阵和常数项矩阵（左侧系数和右侧向量，支持） | A,b | 线性约束 不等式 变量系数矩阵和常数项矩阵（左侧系数和右侧向量，支持） |
| Aeq | 等式约束矩阵（Aeq），空表示无等式约束 | Aeq,beq | 线性约束 等式变量系数矩阵和常数项矩阵（左侧系数和右侧向量） | Aeq,beq | 线性约束 等式变量系数矩阵和常数项矩阵（左侧系数和右侧向量） |
| beq | 等式约束右侧常数向量（beq），空表示无等式约束 | lb,ub | 决策变量的最小与最大取值（变量上下界） | lb,ub | 决策变量的最小与最大取值（变量上下界） |
| lb | 变量下界（lower bound） | nonlcon | 非线性约束（包括不等式与等式） | | |
| ub | 变量上界（upper bound） | option | 求解非线性规划使用的方法 | | |

备注：01变量就是整数规划的变式，只需要把lb，ub改成限制在0和1之间的整数就行

例题：

1.01背包问题

1.记录xi=1表示第i件物品装入背包，0表示没装

2.用wi表示第i件物品重量，pi表示第i件物品的价值,得到:

但是前面说过这类函数只能求最小值，因此要转化

Matlab 复制代码

%01背包和整数规划
c=-[3 4 5 6];
intcon=[1:4];
A=[2 3 4 5];
b=8;
Aeq=[];beq=[];
lb=zeros(4,1);
ub=ones(4,1);
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
fval=-fval;
x
fval

2.指派类问题

员工：i=1，2，3，4

四项任务：j=1，2，3，4

表示员工i选择第j种任务，0表示不选择第j种任务

表示员工i完成第j种任务用时

第一行表示每个人都能且仅能选择一项任务

第二行表示每种任务都交给一个人完成

Matlab 复制代码

%指派问题
%转单下标
c=[9 2 7 8 6 4 3 7 5 8 1 8 7 6 9 4];
intcon=[1:16];
A=[1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
   0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;
   0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0;
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1];
b=ones(4,1);
Aeq=repmat(eye(4),1,4);
beq=ones(4,1);
lb=zeros(16,1);
ub=ones(16,1);
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
newx=reshape(x,4,4)
fval

虽然跑出来结果是正确的，但是这里有问题，因为A按理来说应该是不等式，所以正确的应该是

Matlab 复制代码

%转单下标
c=[9 2 7 8 6 4 3 7 5 8 1 8 7 6 9 4];
intcon=[1:16];
A=[1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
   0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;
   0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0;
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1];
b=ones(4,1);
Aeq=repmat(eye(4),1,4);
beq=ones(4,1);

realAeq=[A;Aeq];
realbeq=[b;beq];

lb=zeros(16,1);
ub=ones(16,1);
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,[],[],realAeq,realbeq,lb,ub);
newx=reshape(x,4,4)
fval

变式：假如有人可以不参加

员工：i=1，2，3，4，5

四项任务：j=1，2，3，4

表示员工i选择第j种任务，0表示不选择第j种任务

表示员工i完成第j种任务用时

第一行表示每个人都能且仅能选择一项任务或者不完成任务

第二行表示每种任务都交给一个人完成

Matlab 复制代码

% 指派问题
% 转单下标
c=[9 2 7 8 6 4 3 7 5 8 1 8 7 6 9 4 6 5 8 5];
intcon=[1:20];
A=[1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
   0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
   0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1];
b=ones(5,1);
Aeq=repmat(eye(4),1,5);
beq=ones(4,1);
lb=zeros(20,1);
ub=ones(20,1);
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
count=1;newx=zeros(5,4);
for i=1:5
    for j=1:4
        newx(i,j)=x(count);
        count=count+1;
    end
end
newx
fval