矩阵空间&秩1矩阵&小世界图

文章目录

  • [1. 矩阵空间](#1. 矩阵空间)
  • [2. 微分方程](#2. 微分方程)
  • [3. 秩为1的矩阵](#3. 秩为1的矩阵)
  • [4. 图](#4. 图)

1. 矩阵空间

我们以3X3的矩阵空间 M 为例来说明相关情况。目前矩阵空间M中只关心两类计算,矩阵加法和矩阵数乘。

  • 对称矩阵-子空间-有6个3X3的对称矩阵,所以为6维矩阵空间

  • 上三角矩阵-子空间-有6个3X3的上三角矩阵,所以为6维矩阵空间
    矩阵M的基础基有9个,表示如下

    1 0 0 0 0 0 0 0 0 \] ; \[ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 \] ; \[ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 \] ; \[ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 \] ; (1) \\begin{bmatrix}1\&0\&0\\\\\\\\0\&0\&0\\\\\\\\0\&0\&0\\\\\\\\\\end{bmatrix};\\begin{bmatrix}0\&1\&0\\\\\\\\0\&0\&0\\\\\\\\0\&0\&0\\\\\\\\\\end{bmatrix};\\begin{bmatrix}0\&0\&1\\\\\\\\0\&0\&0\\\\\\\\0\&0\&0\\\\\\\\\\end{bmatrix};\\begin{bmatrix}0\&0\&0\\\\\\\\1\&0\&0\\\\\\\\0\&0\&0\\\\\\\\\\end{bmatrix};\\tag{1} 100000000 ; 000100000 ; 000000100 ; 010000000 ;(1) \[ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 \] ; \[ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 \] ; \[ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 \] ; \[ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 \] ; \[ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 \] ; (2) \\begin{bmatrix}0\&0\&0\\\\\\\\0\&1\&0\\\\\\\\0\&0\&0\\\\\\\\\\end{bmatrix};\\begin{bmatrix}0\&0\&0\\\\\\\\0\&0\&1\\\\\\\\0\&0\&0\\\\\\\\\\end{bmatrix};\\begin{bmatrix}0\&0\&0\\\\\\\\0\&0\&0\\\\\\\\1\&0\&0\\\\\\\\\\end{bmatrix};\\begin{bmatrix}0\&0\&0\\\\\\\\0\&0\&0\\\\\\\\0\&1\&0\\\\\\\\\\end{bmatrix};\\begin{bmatrix}0\&0\&0\\\\\\\\0\&0\&0\\\\\\\\0\&0\&1\\\\\\\\\\end{bmatrix};\\tag{2} 000010000 ; 000000010 ; 001000000 ; 000001000 ; 000000001 ;(2)

  • 假设我们有如下微分方程:
    d 2 y d x 2 + y = 0 (3) \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+y=0\tag{3} dx2d2y+y=0(3)

  • 零空间解表示如下:
    y 1 = sin ⁡ ( x ) ; y 2 = cos ⁡ ( x ) (4) y_1=\sin(x);y_2=\cos(x)\tag{4} y1=sin(x);y2=cos(x)(4)

  • 通解表示如下:
    y = c 1 sin ⁡ ( x ) + c 2 cos ⁡ ( x ) (5) y=c_1\sin(x)+c_2\cos(x)\tag{5} y=c1sin(x)+c2cos(x)(5)
    以上可以用 sin ⁡ ( x ) \sin(x) sin(x)和 cos ⁡ ( x ) \cos(x) cos(x)当做解来表示解空间,所以微分方程的解空间为2.

3. 秩为1的矩阵

假设我们有一个秩为1的矩阵A ,表示如下:
A = [ 1 4 5 2 8 10 ] = [ 1 2 ] 2 × 1 [ 1 4 5 ] 1 × 3 (6) A=\begin{bmatrix}1&4&5\\\\2&8&10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\\\2\end{bmatrix}{2\times1}\begin{bmatrix}1&4&5\end{bmatrix}{1\times3}\tag{6} A= 1248510 = 12 2×1[145]1×3(6)

  • 所有的秩为1的矩阵均可以分解为列向量乘以行向量。
  • 小结:
    我们可以通过组合秩为1的矩阵来构造我们想要的秩的矩阵。

4. 图

我们知道一个图可以有节点和边组成
G r a p h = [ n o d e s , e d g e s ] (7) Graph=[nodes,edges]\tag{7} Graph=[nodes,edges](7)

相关推荐
YuTaoShao1 天前
【LeetCode 热题 100】73. 矩阵置零——(解法一)空间复杂度 O(M + N)
算法·leetcode·矩阵
Dark__Monarch1 天前
二元一次方程
线性代数
Kaltistss1 天前
240.搜索二维矩阵Ⅱ
线性代数·算法·矩阵
说私域2 天前
视频号账号矩阵运营中定制开发开源 AI 智能名片 S2B2C 商城小程序的赋能研究
人工智能·矩阵·开源
张晓~183399481212 天前
数字人源码部署流程分享--- PC+小程序融合方案
javascript·小程序·矩阵·aigc·文心一言·html5
峙峙峙3 天前
线性代数--AI数学基础复习
人工智能·线性代数
我爱C编程3 天前
基于拓扑结构检测的LDPC稀疏校验矩阵高阶环检测算法matlab仿真
算法·matlab·矩阵·ldpc·环检测
CVer儿3 天前
svd分解求旋转平移矩阵
线性代数·算法·矩阵
张晓~183399481213 天前
数字人分身+矩阵系统聚合+碰一碰发视频: 源码搭建-支持OEM
线性代数·矩阵·音视频
山登绝顶我为峰 3(^v^)34 天前
如何录制带备注的演示文稿(LaTex Beamer + Pympress)
c++·线性代数·算法·计算机·密码学·音视频·latex