蓝桥杯第131题——生命之树

题目描述

在 X 森林里，上帝创建了生命之树。

他给每棵树的每个节点（叶子也称为一个节点）上，都标了一个整数，代表这个点的和谐值。

上帝要在这棵树内选出一个非空节点集 S，使得对于 S 中的任意两个点 a,b，都存在一个点列 a,v1,v2,⋯,vk,b 使得这个点列中的每个点都是 S 里面的元素，且序列中相邻两个点间有一条边相连。

在这个前提下，上帝要使得 S 中的点所对应的整数的和尽量大。

这个最大的和就是上帝给生命之树的评分。

经过 atm 的努力，他已经知道了上帝给每棵树上每个节点上的整数。但是由于 atm 不擅长计算，他不知道怎样有效的求评分。他需要你为他写一个程序来计算一棵树的分数。

输入描述

第一行一个整数 n 表示这棵树有 n 个节点。

第二行 n 个整数，依次表示每个节点的评分。

接下来 n−1 行，每行 2 个整数 u,v，表示存在一条 u 到 v 的边。由于这是一棵树，所以是不存在环的。

其中，0 < n ≤ 10^5, 每个节点的评分的绝对值不超过 10^6。

输出描述

输出一行一个数，表示上帝给这棵树的分数。

输入输出样例

示例

输入

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5
1 -2 -3 4 5
4 2
3 1
1 2
2 5

输出

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解题思路

题目说对于集合S中任意的两个点，都存在一条能连起来的路径，指的是S中所有的点都能在其中加上S中别的点连起来，其实就是寻找一颗权值最大的子树，千万++注意是树++ 而不是一条权值最大的路径。

这是一道经典的树形dp，树形dp是结合dfs与递推计算的解题手法，用于在树和图的结构中进行递推计算，该题就是一个经典的应用场景。

我们定义dp $i$ 表示以节点 i 为根的树（考虑所有儿子，不考虑其父亲）能达到的最高权值；如果与节点 i 相连的节点的dp值是正值，则可以将其加入到该点的dp值中。

java 复制代码

import java.util.*;

public class Main {
    static int n;
    static long[] dp;
    static int[] w;
    static ArrayList<ArrayList<Integer>> tree;
    static long ans = 0;
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();
        w = new int[n + 1];
        dp = new long[n + 1];
        tree = new ArrayList<>();
        tree.add(new ArrayList<>());
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            w[i] = sc.nextInt();
            dp[i] = w[i];
            tree.add(new ArrayList<>());
        }
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            tree.get(a).add(b);
            tree.get(b).add(a);
        }
        visited = new boolean[n + 1];
        dfs(1);
        System.out.println(ans);
    }
    public static boolean[] visited;
    public static void dfs(int root) {
        visited[root] = true;
        for (int son : tree.get(root)) {
            if (!visited[son]) {
                dfs(son);
                if (dp[son] > 0) {
                    dp[root] += dp[son];
                }
            }
        }
        ans = Math.max(ans, dp[root]);
        visited[root] = false;
    }
}