动态规划基础

动态规划

1、动态规划的概念

简称DP,通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

简单来说,就是给定一个问题,把它拆成一个个子问题,查到子问题可以直接解决。然后把子问题答案保存起来,以减少重复计算。再根据子问题答案反推,得出原问题解的一种方法。

核心思想:在于拆分子问题,记住过往,减少重复计算。

2、动态规划的步骤

  1. 划分子问题
  2. 状态表示,一般用数组dp[i]表示当前状态
  3. 状态转移,即当前状态是由前面那些状态转移过来的,例如dp[i]=dp[i-1],表示当前状态可以由上一个状态转移过来
  4. 确定边界,确定初始状态

一、线性DP

1、线性DP的概念

动态规划中的一类问题,指状态之间有线性关系的动态规划问题。所谓线性DP,就是递推方程是有一个明显的线性关系的,一维线性和二维线性都有可能。在求的时候,一行一行地来求

例题----取钱

https://www.lanqiao.cn/problems/3297/learning/

黄开的银行最近又发行了一种新面额的钞票面值为4,所以现在黄有5种面额的钞票,分别是20,10,5,4,1。但是不变的是他小气,现在又有很多人来取钱,黄又不开心了,请人来取钱,黄又不开心了,请你算出每个来取钱的人黄应该给他至少多少张钞票。

输入格式:每个测评数据含有不超过10组输入,每组给出一个n(1<=n<=10000),n为要取出的金额。

输出格式:每组样例输出一个答案(钞票数)。

示例:20 1

2 2

6 2

提示:

设置dp[i]数组 取出金额为i

最小钞票数 转移方程为:dp[i]=Math.min(dp[i-1],dp[i-4],dp[i-5],dp[i-10],dp[i-20])+1

java 复制代码
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;


public class Main {
public static void main(String[] args) {
           Scanner sc = new Scanner(System.in);
           int[] arr = { 1, 4, 5, 10, 20 };
           int[] dp = new int[10001]; // 索引为金额, 值为方案数
           Arrays.fill(dp, 10000);
           dp[0] = 0; // 0金额的可选方案数量为0个
           for (int i = 1; i < dp.length; ++i) { // 枚举子问题金额数
                for (int j : arr) { // 每个子问题可选方案
                    if (i >= j) { // 当金额大于等于面额时
                        dp[i] = Math.min(dp[i - j] + 1, dp[i]); // 选择当前面额后 +1,且寻找剩余金额时方案数累加,与当前j之后的面额继续对比方案数
                }
            }
        }
        while (sc.hasNext()) {
            System.out.println(dp[sc.nextInt()]);
        }
    }
}

例题---破损的楼梯

https://www.lanqiao.cn/problems/3367/learning/

小蓝来到了一座高耸的楼提前,楼梯共有N级台阶,从第0级台阶出发。小蓝每次可以迈上1级或2级台阶。但是,楼梯上的第级,第级,第级,以此类推,共m级台阶的台阶面已经坏了,不能踩上去。

现在,小蓝想要到达楼梯的顶端,也就是第N级台阶,但他不能踩到坏了的台阶上。请问他有多少种不踩坏了的台阶到达顶端的方案数?由于方案数很大,请输入其对+7取模的结果。

输入格式:

第一行包含两个正整数N(1<=N<=)和M(0<=M<=N),表示楼梯的总级数和坏了的台阶数。

接下来一行,包含M个正整数,表示坏掉的台阶的编号。

输出格式:

输出一个整数,表示小蓝到达楼梯顶端的方案数,对+7取模。

示例:6 1

4

提示:

设置dp[i]数组,表示到达第i阶楼梯的方案数,如果当前楼梯是坏的,设为-1;状态转移方程为dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];对+7取模

java 复制代码
import java.util.Scanner;

public class Main {
 public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n= sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        long[] dp = new long[n+1];
        int m1;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            m1 = sc.nextInt();
            dp[m1] = -1;
        }
        long mod = (long)1e9+7;
        dp[0] = 1;
        //dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2](要么迈一阶,要么迈两阶,两种方案加起来)
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if(dp[i]==-1)continue;
            if(i>=1&&dp[i-1]!=-1) dp[i]+=dp[i-1]%mod;
            if(i>=2&&dp[i-2]!=-1) dp[i]+=dp[i-2]%mod;
            dp[i]%=mod;
        }
        if(dp[n]==-1)
            System.out.println(0);
        else System.out.println(dp[n]);
    }
}

二、二维DP

1、二维DP的概念

状态都只有一个维度,一般为dp[i],称之为线性动态规划。当维度有两个的时候,需要用二维的状态来解决问题,例如棋盘、矩阵、路径等类别的问题。更准确的说,二维动态规划指线性动态规划的拓展,在一个平面上做动态规划。

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