动态规划基础

动态规划

1、动态规划的概念

简称DP，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

简单来说，就是给定一个问题，把它拆成一个个子问题，查到子问题可以直接解决。然后把子问题答案保存起来，以减少重复计算。再根据子问题答案反推，得出原问题解的一种方法。

核心思想：在于拆分子问题，记住过往，减少重复计算。

2、动态规划的步骤

划分子问题
状态表示，一般用数组dp $i$ 表示当前状态
状态转移，即当前状态是由前面那些状态转移过来的，例如dp $i$ =dp $i-1$ ，表示当前状态可以由上一个状态转移过来
确定边界，确定初始状态

一、线性DP

1、线性DP的概念

动态规划中的一类问题，指状态之间有线性关系的动态规划问题。所谓线性DP，就是递推方程是有一个明显的线性关系的，一维线性和二维线性都有可能。在求的时候，一行一行地来求。

例题----取钱

https://www.lanqiao.cn/problems/3297/learning/

黄开的银行最近又发行了一种新面额的钞票面值为4，所以现在黄有5种面额的钞票，分别是20，10，5，4，1。但是不变的是他小气，现在又有很多人来取钱，黄又不开心了，请人来取钱，黄又不开心了，请你算出每个来取钱的人黄应该给他至少多少张钞票。

输入格式：每个测评数据含有不超过10组输入，每组给出一个n(1<=n<=10000)，n为要取出的金额。

输出格式：每组样例输出一个答案(钞票数)。

示例：20 1

2 2

6 2

提示：

设置dp $i$ 数组取出金额为i

最小钞票数转移方程为：dp $i$ =Math.min(dp $i-1$ ,dp $i-4$ ,dp $i-5$ ,dp $i-10$ ,dp $i-20$ )+1

java 复制代码

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;


public class Main {
public static void main(String[] args) {
           Scanner sc = new Scanner(System.in);
           int[] arr = { 1, 4, 5, 10, 20 };
           int[] dp = new int[10001]; // 索引为金额, 值为方案数
           Arrays.fill(dp, 10000);
           dp[0] = 0; // 0金额的可选方案数量为0个
           for (int i = 1; i < dp.length; ++i) { // 枚举子问题金额数
                for (int j : arr) { // 每个子问题可选方案
                    if (i >= j) { // 当金额大于等于面额时
                        dp[i] = Math.min(dp[i - j] + 1, dp[i]); // 选择当前面额后 +1，且寻找剩余金额时方案数累加，与当前j之后的面额继续对比方案数
                }
            }
        }
        while (sc.hasNext()) {
            System.out.println(dp[sc.nextInt()]);
        }
    }
}

例题---破损的楼梯

https://www.lanqiao.cn/problems/3367/learning/

小蓝来到了一座高耸的楼提前，楼梯共有N级台阶，从第0级台阶出发。小蓝每次可以迈上1级或2级台阶。但是，楼梯上的第级，第级，第级，以此类推，共m级台阶的台阶面已经坏了，不能踩上去。

现在，小蓝想要到达楼梯的顶端，也就是第N级台阶，但他不能踩到坏了的台阶上。请问他有多少种不踩坏了的台阶到达顶端的方案数？由于方案数很大，请输入其对+7取模的结果。

输入格式：

第一行包含两个正整数N(1<=N<=)和M(0<=M<=N)，表示楼梯的总级数和坏了的台阶数。

接下来一行，包含M个正整数，表示坏掉的台阶的编号。

输出格式：

输出一个整数，表示小蓝到达楼梯顶端的方案数，对+7取模。

示例：6 1

提示：

设置dp $i$ 数组，表示到达第i阶楼梯的方案数，如果当前楼梯是坏的，设为-1；状态转移方程为dp $i$ =dp $i-1$ +dp $i-2$ ；对+7取模

java 复制代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
 public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n= sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        long[] dp = new long[n+1];
        int m1;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            m1 = sc.nextInt();
            dp[m1] = -1;
        }
        long mod = (long)1e9+7;
        dp[0] = 1;
        //dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]（要么迈一阶，要么迈两阶，两种方案加起来）
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if(dp[i]==-1)continue;
            if(i>=1&&dp[i-1]!=-1) dp[i]+=dp[i-1]%mod;
            if(i>=2&&dp[i-2]!=-1) dp[i]+=dp[i-2]%mod;
            dp[i]%=mod;
        }
        if(dp[n]==-1)
            System.out.println(0);
        else System.out.println(dp[n]);
    }
}

二、二维DP

1、二维DP的概念

状态都只有一个维度，一般为dp $i$ ，称之为线性动态规划。当维度有两个的时候，需要用二维的状态来解决问题，例如棋盘、矩阵、路径等类别的问题。更准确的说，二维动态规划指线性动态规划的拓展，在一个平面上做动态规划。