在论文中看到一个混合整数规划问题的对偶，非常有意思，记录下来。
x 0 x_0 x0是一个已知常数，原问题：
min y , z y s.t. 1.5 y ≥ x 0 z = x 0 0 ≤ z ≤ 2 y ∈ { 0 , 1 , 2 } (1) \begin{aligned} \min\limits_{y,z}\quad &y\\ \text{s.t.}\quad &1.5y\geq x_0\\ &z=x_0 \tag{1}\\ &0\leq z\leq 2\\ &y\in\{0,1,2\} \end{aligned} y,zmins.t.y1.5y≥x0z=x00≤z≤2y∈{0,1,2}(1)
引入惩罚参数 π \pi π，将约束条件（1）松弛，得到对偶问题：
max π min y , z y − π ( z − x 0 ) s.t. 1.5 y ≥ x 0 0 ≤ z ≤ 2 y ∈ { 0 , 1 , 2 } \begin{aligned} \max\limits_{\pi}\min\limits_{y,z}\quad &y-\pi(z-x_0)\\ \text{s.t.}\quad &1.5y\geq x_0\\ &0\leq z\leq 2\\ &y\in\{0,1,2\} \end{aligned} πmaxy,zmins.t.y−π(z−x0)1.5y≥x00≤z≤2y∈{0,1,2}
当 x 0 = 1 x_0=1 x0=1 时，原问题的最优解为 1，对偶问题的最优解为 1 / 1.5 = 2 / 3 1/1.5=2/3 1/1.5=2/3.