算法沉淀 —— 动态规划（子序列问题（上））

算法沉淀 ------ 动态规划（子序列问题（上））

• 前言
• 一、最长递增子序列
• 二、摆动序列
• [三、 最长递增子序列的个数](#三、 最长递增子序列的个数)
• 四、最长数对链

前言

几乎所有的动态规划问题大致可分为以下5个步骤，后续所有问题分析都将基于此

• 1.、状态表示：通常状态表示分为以下两种，其中更是第一种为主。

  • 以i为结尾，dpi 表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）
  • 以i为开始，dpi表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）

• 2、状态转移方程

  • 以上述的dpi意义为根据， 通过最近一步来分析和划分问题，由此来得到一个有关dpi的状态转移方程。

• 3、dp表创建，初始化

  • 动态规划问题中，如果直接使用状态转移方程通常会伴随着越界访问等风险，所以一般需要初始化。而初始化最重要的两个注意事项便是：保证后续结果正确，不受初始值影响；下标的映射关系。
  • 而初始化一般分为以下两种：
    • 直接初始化开头的几个值。
    • 一维空间大小+1，下标从1开始；二维增加一行/一列。

• 4、填dp表、填表顺序：根据状态转移方程来确定填表顺序。

• 5、确定返回值

一、最长递增子序列

【题目链接】：300. 最长递增子序列

【题目】：

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，3,6,2,7 是数组0,3,1,6,2,2,7 的子序列。

【示例】：

输入：nums = 10,9,2,5,3,7,101,18

输出：4

解释：最长递增子序列是 2,3,7,101，因此长度为 4 。

【分析】：

 我们可以定义dpi表示以i位置为结尾的最长递增子序列。由于每一个数字均可单独构成一个递增子序列，所以我们在创建dp表时，可以将dp表中的值全部初始化为1.

状态转移方程推导:

 如果dpi所表示的递增子序列大于1，此时在i之前一定存在某些元素和numsi构成递增子序列。而这些元素我们可以用dpj\[表示（0 \<= j \ < numsi。

 但j到底在什么位置呢？我们无从而知，需要依次遍历i前的数据。来查找符合要求的最大dpj。所以状态转移方程为：

for(int j = i - 1; j >= 0; j--)
{
     if(nums[i] > nums[j])
         dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
 }

【其他】：

 最后只需将dpi的最终值累加即可！！

【代码编写】：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int ret = 1;
        vector<int> dp(n, 1);
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            for(int j = i - 1; j >= 0; j--)
            {
                if(nums[i] > nums[j])
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            ret = max(dp[i], ret);
        }
        return ret;
    }
};

二、摆动序列

【题目链接】：376. 摆动序列

【题目】：

 如果连续数字之间的差严格地在正数和负数之间交替，则数字序列称为 摆动序列 。第一个差（如果存在的话）可能是正数或负数。仅有一个元素或者含两个不等元素的序列也视作摆动序列。

 例如， 1, 7, 4, 9, 2, 5 是一个 摆动序列 ，因为差值 (6, -3, 5, -7, 3) 是正负交替出现的。相反，1, 4, 7, 2, 5 和 1, 7, 4, 5, 5 不是摆动序列，第一个序列是因为它的前两个差值都是正数，第二个序列是因为它的最后一个差值为零。

 子序列 可以通过从原始序列中删除一些（也可以不删除）元素来获得，剩下的元素保持其原始顺序。

 给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中作为 摆动序列 的 最长子序列的长度 。

【分析】：

 我们可以定义dpi表示以i位置为结尾的最大摆动序列。但我们发现i位置的状态还可以细分为上升和下降。所以我们重新定义:

1. fi表示以i位置为结尾，且最后呈 "上升" 趋势的最大摆动序列。
2. gi表示以i位置为结尾，且最后呈 "趋势" 的最大摆动序列。

状态转移方程推导:

3. fi：最大摆动序列的长度可能为1，也可能大于1。对于大于1的情况，由于fi表示最后位置是呈上升趋势的摆动序列，所以nums[i] > nums[i - 1]。此时在i-1位置一定是呈下降的，即g[i-1]。所以状态转移方程如下：

2. 对于gi来说，同理可得状态转移方程如下：
   

细节处理：

 不管是f表还是g表，以i位置为结尾的摆动序列的最小长度一定为1，即numsi本身。所以我们可以直接将f表和g表中的数据的初始值设为1。后续填表过程中，仅需考虑长度大于1的情况即可！！

【代码编写】：

class Solution {
public:
    int wiggleMaxLength(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(), ret = 1;
        vector<int> f(n, 1), g(n, 1);
        for(int i = 1; i < n ; i++)
        {
            for(int j = i - 1; j >= 0; j--)
            {
                if(nums[i] > nums[j])
                    f[i] = max(g[j] + 1, f[i]);
                else if(nums[i] < nums[j])
                    g[i] = max(f[j] + 1, g[i]);
            }
            ret = max(ret, max(f[i], g[i]));
        }
        return ret;
    }
};

三、 最长递增子序列的个数

【题目链接】：673. 最长递增子序列的个数

【题目】：

给定一个未排序的整数数组 nums ， 返回最长递增子序列的个数 。

注意 这个数列必须是 严格 递增的。

【示例】：

输入: 1,3,5,4,7

输出: 2

解释: 有两个最长递增子序列，分别是 1, 3, 4, 7 和1, 3, 5, 7。

【分析】：

 我们先定义dpi表示以i位置为结尾的最长递增子序列的个数。但我们发现dpi表示两个状态：最长递增、个数。所以我们需要将dpi状态细分：

1. 我们定义leni表示以i位置为结尾的最长递增子序列的长度。
2. 定义counti表示以i位置为结尾的最长递增子序列的个数。

 显然leni、counti最小为1，即numsi本身单独构成一个递增子序列。所以我们在创建len表和count表时，我们可以将初始值设为1。

 如果最大递增子序列长度大于1时，这也意味着在i前就已经存在一个递增子序列（设该子序列以j下标为结尾）。并且满足nums[i] > nums[j]，此时该递增子序列（以j下标结尾，0 <= j < i）和numsi构成了一个新的递增子序列。

 如果最长递增子序列大于1，此时最终结果不仅要保证nums[i] > nums[j]，还需保证以j位置结尾的子序列最大（即len[j]在0 ~ i-1中最大）。所以我们需要依次遍历0 ~ i-1之间len表中的左右值！！

那counti的值如何更新呢？

 我们可以在求leni的过程中，更新counti的值。具体如下：

• 如果len[i] + 1 == len[j]，此时count[i] += count[j]。
• 如果len[i] + 1 > len[j]，此时leni和counti的需要重新更新。即len[i] = len[j] + 1, count[i] = count[j]
• 如果len[i] + 1 < len[j]，此时countj是无效次数。我们直接忽略这种情况。

细节处理：

 通过上述过程我们可以的以i位置为结尾的最大递增序列和次数。所以最终整个数组中，构成的最大递增序列的次数求解可以采用和上述类型的思想。（具体查看代码）

【代码编写】：

class Solution {
public:
    int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> len(n, 1), count(n, 1);
        int maxlen = 1, maxcount = 1;
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            for(int j = i - 1; j >= 0; j--)
            {
                if(nums[i] > nums[j])
                {
                    if(len[j] + 1 == len[i])
                        count[i] += count[j];
                    else if(len[j] + 1 > len[i])
                        len[i] = len[j] + 1, count[i] = count[j];
                }
            }
            if(len[i] == maxlen)
                maxcount += count[i];
            else if(len[i] >maxlen)
                maxlen = len[i], maxcount = count[i]; 
        }
        return maxcount;
    }
};

四、最长数对链

【题目链接】：646. 最长数对链

【题目】：

 给你一个由 n 个数对组成的数对数组 pairs ，其中 pairsi = lefti, righti 且 lefti < righti 。

 现在，我们定义一种 跟随 关系，当且仅当 b < c 时，数对 p2 = c, d 才可以跟在 p1 = a, b 后面。我们用这种形式来构造 数对链 。

 找出并返回能够形成的 最长数对链的长度 。你不需要用到所有的数对，你可以以任何顺序选择其中的一些数对来构造。

【分析】：

 由于题目中明确表示可以任意选择数组中的数来构造数对链。所以我们可以先对数组进行排序。此时我们可以定义dp[i[表示以i位置为结尾的最长数对链。

状态转移方程推导分析:

 显然dpi的最小值为1，即pair\[i0, pairi1]本身构成数对链。

 如果以i位置为结尾的数对链的长度大于1，此时i位置之前一定存在数对链（下标设为j，0 <= j <i）和当前元素构成一个数对链。该情况的出现需满足pairs[i][0] > pairs[j][1]。但我们最终的结果是要得到dpj中的最大值。我们可以直接从后往前遍历，只要查找到第一个满足条件的dpj即可。（原因在于我们已经对原数组进行排序）

所以状态转移方程为:

 for(int j = i -1; j >= 0; j--)
 {
      if(pairs[i][0] > pairs[j][1])
      {
          dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
          break;
      }
  }

【代码编写】：

class Solution {
public:
    int findLongestChain(vector<vector<int>>& pairs) {
        sort(pairs.begin(), pairs.end());
        int n = pairs.size(), ret = 1;
        vector<int> dp(n, 1);
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            for(int j = i -1; j >= 0; j--)
            {
                if(pairs[i][0] > pairs[j][1])
                {
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                    break;
                }
            }
            ret = max(ret, dp[i]);
        }
        return ret;
    }
};