2D SDF推导4: 通用正多边形

Shadertoy: www.shadertoy.com/view/Mc3GWs
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最开始想要看一看SDF，是因为我在网上找到下面一段代码，我发现我根本看不懂，但是挺好用的

glsl 复制代码

float sdf_polygon(vec2 pt, float radius, int N) {
    float a = atan(pt.x, pt.y);
    float r =  PI * 2.0 / float(N);
    if (a < 0.) {
        a += PI * 2.0;
    }
    float d = length(pt) * (1. + f4 -  radius );
    float a2 = floor(f1 * .5 + a /r)*r;
    return cos(a2 - a) *d - f2 / 2.0;
}

到现在我还是看不懂这段代码....但是通过推导，我写出了上面代码更优雅，更好理解的Shader :)

实现通用正多边形的SDF的秘诀，就在于坐标系的转换，通过极坐标可以很好的处理正多边形的每一条边。极坐标有以下性质

基于一个固定点（极点）和从这个点发出的射线来定义点的位置。
任何平面上的点都通过一对坐标(r, θ)来表示：r是点到极点的距离（半径），θ是从参考方向（通常是x轴正方向）到点的连线与参考方向之间的角度。

设正N边形中心为点 $O ( 0 , 0 ) O(0, 0)$ O(0,0) 半径为r，根据N的大小，将圆等分成N块。每块占据的角度为 $δ \delta$ δ 任意点 $P ( r 1 , θ ) P(r1, \theta)$ P(r1,θ) 根据 $θ \theta$ θ 都可以归属到某一块中。如下图，圆角块开始边角度为2PI / N * 0，结束边角度为2PI / N * 1. 假设开始点为 $A A$ A ,结束点为 $A ′ A^\prime$ A′ . 过 $O O$ O 做 $A A ′ AA^\prime$ AA′ 的垂线有交点 $D D$ D . 点 $P P$ P 到边的距离就是 $P O PO$ PO 在 $P D PD$ PD 上的投影长度减去 $P D PD$ PD 的长度。于是我们可以写出以下的shader

glsl 复制代码

float sdf_polygon1(vec2 P, float radius, int sides) {
    float angle = atan(P.y, P.x);
    // Translate the value of angle into the range (0, 2 * PI).
    angle = P.y > 0. ? angle: angle + PI * 2.;
    
    float delta = 2. * PI / float(sides);
    float areaNumber = ceil(angle / delta);
    
    
    float theta1 = delta * areaNumber;
    float theta2 = delta * (areaNumber + 1.0);
   
    
    vec2 PA       = vec2(radius * cos(theta1), radius * sin(theta1) );
    vec2 PA_Prime = vec2(radius * cos(theta2), radius * sin(theta2) );
    vec2 PD       = (PA - PA_Prime)/2.0;
        
    float projectLength = abs(dot(PD, P)) / length(PD);
    return projectLength - length(PD) ;
}

实际上我们只需要知道两个长度即可， $P O PO$ PO 在 $P D PD$ PD 上的投影长度ProjectLength 和 $P D PD$ PD 的长度。PD的长度可以直接通过 $r × c o s ( δ / 2 ) r \times cos(\delta / 2)$ r×cos(δ/2) 直接计算出。投影长度可以通过 $P O PO$ PO 与 $P D PD$ PD 的夹角求得。整体代码可以简化为

glsl 复制代码

float sdf_polygon3(vec2 P, float radius, int sides) {
    float angle = atan(P.y, P.x);
    float delta = 2. * PI / float(sides);
    float theta = mod(angle, delta) - delta / 2.0;
  
    float lengthPD         = radius * cos(delta / 2.0);
    float lengthProjection = length(P) * cos(theta)

    return lengthProjection - lengthPD;
}

最后我们就可以得到以下漂亮的图形了