AcWing 789. 数的范围——算法基础课题解

AcWing 789. 数的范围

题目描述

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 00 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

1≤n≤100000

1≤q≤10000

1≤k≤10000

输入样例：

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6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

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3 4
5 5
-1 -1

C++

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#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int main() {
    int n, q;
    int a[N];
    cin >> n >> q;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
    while (q--) {
        int x;
        cin >> x;
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if (a[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        if (a[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else {
            cout << l << " ";
            l = 0, r = n - 1;
            while (l < r) {
                int mid = (l + r + 1) >> 1;
                if (a[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            cout << l << endl;
        }
    }
}

Go

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package main

import "fmt"

const N = 1e5 + 10

func main() {
	var n, q int
	var a [N]int
	fmt.Scanf("%d%d", &n, &q)
	for i := 0; i < n; i++ {
		fmt.Scanf("%d", &a[i])
	}
	for i := q; i > 0; i-- {
		var x int
		fmt.Scanf("%d", &x)
		l := 0
		r := n - 1
		for l < r {
			mid := (l + r) / 2
			if a[mid] >= x {
				r = mid
			} else {
				l = mid + 1
			}
		}
		if a[l] != x {
			fmt.Println("-1 -1")
		} else {
			fmt.Print(l, " ")
			l = 0
			r = n - 1
			for l < r {
				mid := (l + r + 1) / 2
				if a[mid] <= x {
					l = mid
				} else {
					r = mid - 1
				}
			}
			fmt.Println(l)
		}
	}
}

思路

寻找左边界使用 q[mid] >= x的逻辑

当我们使用q[mid] >= x条件时，意味着每当中间元素的值大于等于目标值时，我们都将搜索范围的右边界调整为mid。这样做的效果是：

如果q[mid]等于x，那么这个位置可能是x的最左侧出现位置，但我们还需要继续向左搜索，以确认是否有更左侧的x。因此，我们将右边界调整为mid，以缩小搜索范围，继续向左侧寻找。
如果q[mid]大于x，即使这个值不是我们要找的，它仍然表明x（如果存在）必定在mid的左侧，因此我们同样需要将右边界调整为mid，以排除右侧的非目标区域。

为何不使用 q[mid] > x

如果我们使用q[mid] > x来决定是否调整右边界，则当q[mid]恰好等于x时，我们会继续在右侧半区间搜索，这将错过最左侧的x，因为我们没有排除中间元素即使它等于x。

寻找右边界使用 q[mid] <= x的逻辑

当q[mid]等于x时 ：即使我们找到了一个x，我们仍需要确定这是否是最右侧的x。因此，我们将左边界l调整为mid，而不是结束搜索。这样可以保证如果存在多个x，我们最终能找到最右边的一个。搜索继续在当前找到的x的右侧进行，因为左边的x已经不影响结果了。
当q[mid]小于x时 ：这意味着mid及其左侧的所有元素都不可能是我们要找的最右侧的x（它们要么是更小的值，要么是x但不是最右侧的）。因此，我们需要向右继续搜索，调整左边界为mid。

为何不使用 q[mid] < x

使用q[mid] < x来调整左边界可能会错过目标值x的最右侧位置。当q[mid]正好等于x时，我们希望继续探索右侧可能存在的更右侧的x。如果我们仅在q[mid]小于x时向右移动，那么就会在找到第一个x时停止搜索，从而错过了数组中后续的x。

当寻找左边界时 ，mid通常计算为(l + r) >> 1，即(l + r) / 2的下取整。这种方式的目的是在左右边界不断逼近时，能够偏向左侧，确保不会错过最左侧的目标值。特别是当l和r相邻时，这种计算方法能保证mid等于l，避免跳过搜索范围内的最左侧元素。

防止无限循环 ：使用(l + r) >> 1在更新右边界r = mid时，由于取整的方式，可以保证r向左移动，这避免了在特定条件下可能发生的无限循环。

寻找右边界时 ，mid计算为(l + r + 1) >> 1，即(l + r + 1) / 2的下取整。这里加1的目的是为了在计算中点时向上取整，当l和r相邻时，能够让mid等于r，确保搜索范围向右移动，从而能够覆盖到最右侧的目标值。

防止无限循环 ：在更新左边界l = mid时，由于向上取整，可以保证l向右移动，这同样避免了可能的无限循环。特别是在l和r非常接近时，如果仍然使用(l + r) >> 1作为mid的计算方式，则可能导致l无法向右逼近，从而陷入无限循环。

模板

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bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}