2024年高教社杯数学建模国赛C题超详细解题思路分析

本次国赛预测题目难度,选题人数如下所示

难度评估 A:B:C= 1.8:1.3:1

D:E=1.5:1

选题人数 A:B:C= 1:1.5:2.8

D:E=0.5:1.2

C题一直以来都是竞赛难度最低、选题人数最多的一道本科生选题,近三年C题的选题人数一直都是总参赛队伍的一半左右,2023年六万支参赛队伍,C题选题队数2.8万。今年初步预计应该也是在3万左右。基于如此多的选题人数,本次我们将给大家带来两个版本的解题思路【思路、模型、代码完全不同】,下面进行第一版本的思路介绍

近年来,国赛在任何题目的数据预处理环节都设置了5-15分不等的数据预处理分值,因此数据预处理是必须进行的环节。数据预处理不仅仅是异常值、缺失值的处理,数据整合、数据可视化、描述性分析均是数据预处理工作。对于本次,我们可以进行异常值处理、数据整合、数据可视化、描述性分析进行数据的呈现。

数据预处理

  1. 异常值检测:题目中存在极端异常的数据,例如无论是亩产量还是种植成本存在极端数据,无论该数据是否真实我们都需要进行说明,以确保数据真实。
  2. 数据可视化、描述性分析:我们可以对题目给出的数据进行初步分析,以便后续建模,例如我们可以进行一些数据的可视化工作。

求解思路

使用线性规划或整数规划,通过优化算法求解各地块每年应种植的作物组合,以达到收益最大化的目标。

针对问题1(1)和问题1(2)的不同假设,分别优化种植策略,并填入相应的模板文件。

创新点与改进点

在模型中引入种植密度的约束,确保实际操作中的田间管理合理性,这在标准线性规划问题中较为少见。

不仅优化单一年的收益,而是优化未来7年的种植方案,确保作物轮作和收益的长远稳定。

问题二:考虑不确定性的最优种植方案

问题二在问题一的基础上,引入了未来销售量、种植成本和产量的波动,进一步增加了问题的复杂性。

1. 不确定性因素的引入
不确定性建模:
  1. 销售量变化:假设销售量在±5%波动,小麦和玉米的销售量以5%-10%的年增长率变化。
  2. 亩产量波动:每年由于气候等因素,作物产量会在±10%之间变化。
  3. 种植成本增长:假设种植成本每年增长5%。
  4. 价格变化:粮食类作物的价格基本稳定,而蔬菜价格每年增长5%左右,食用菌价格每年下降1%-5%。
模型调整:
  • 建立一个随机规划模型 或使用蒙特卡洛模拟,通过模拟销售量、产量、成本和价格的不确定性,进行多次情景分析,求得不确定条件下的最优种植方案。

具体来讲;

目标: 在引入不确定性因素(产量、价格、销售量和成本波动)的情况下,最大化期望收益。

期望收益最大化:

考虑作物

的销售量、产量和价格的不确定性,我们的目标是最大化期望收益:

问题三:农作物替代性和互补性分析

问题三要求在问题二的基础上,进一步考虑不同作物之间的替代性、互补性,以及销售量、价格和种植成本之间的相关性。

1. 引入作物之间的替代性和互补性
替代性和互补性分析:
  • 可以通过协方差矩阵 或者相关性系数 来量化不同农作物之间的替代性和互补性。
    • 替代性:例如某些豆类和谷物可能在市场上具有替代关系。
    • 互补性:例如某些作物轮作可能会提升土壤肥力,使其互补性增强。
模型调整:
  • 在问题二的基础上,加入农作物的替代性和互补性约束。通过引入相关系数矩阵调整种植方案,使整体组合效益更高。
目标函数:
  • 目标依然是收益最大化,但需要在作物选择上综合考虑它们之间的替代性和互补性,从而优化整个系统的收益。
求解方法:
  • 采用多目标优化模型,在最大化收益的同时,最小化作物之间的替代冲突,增强互补性。可以使用多目标优化算法如遗传算法或基于Pareto前沿的优化方法。
创新点与改进点
  • 利用作物间的相互作用来优化种植组合,增加实际种植策略的复杂度和现实性。
  • 通过协方差矩阵的引入,使模型不仅是静态收益最大化,而是通过综合分析作物间的复杂关系,提高整体收益。

% MATLAB Code for Data Visualization

% Data for visualization (Example data from the table you provided)

crops = {'黄豆', '黑豆', '红豆', '绿豆', '爬豆'}; % 作物名称

yield_per_acre = [400, 500, 400, 350, 415]; % 亩产量/斤

cost_per_acre = [400, 400, 350, 350, 350]; % 种植成本/(元/亩)

% For simplicity, we'll average the min and max sales price for each crop

sales_price_min = [2.5, 6.5, 7.5, 6.0, 6.0]; % 销售单价下限/(元/斤)

sales_price_max = [4.0, 8.5, 9.0, 8.0, 7.5]; % 销售单价上限/(元/斤)

average_sales_price = (sales_price_min + sales_price_max) / 2; % 平均销售单价

% Bar plot for yield per acre and cost per acre

figure;

subplot(1, 2, 1);

bar(yield_per_acre);

set(gca, 'xticklabel', crops);

title('Yield per Acre for Different Crops');

ylabel('Yield (斤/亩)');

xlabel('Crops');

grid on;

% Bar plot for cost per acre

subplot(1, 2, 2);

bar(cost_per_acre);

set(gca, 'xticklabel', crops);

title('Cost per Acre for Different Crops');

ylabel('Cost (元/亩)');

xlabel('Crops');

grid on;

% Scatter plot for average sales price and yield per acre

figure;

scatter(average_sales_price, yield_per_acre, 100, 'filled');

title('Average Sales Price vs Yield per Acre');

xlabel('Average Sales Price (元/斤)');

ylabel('Yield per Acre (斤/亩)');

grid on;

text(average_sales_price, yield_per_acre, crops, 'VerticalAlignment', 'bottom', 'HorizontalAlignment', 'right');

% 数据输入,作物名称,亩产量,种植成本和销售单价范围

crop_names = {'黄豆', '黑豆', '红豆', '绿豆', '爬豆'}; % 作物名称

yield_per_acre = [400, 500, 400, 350, 415]; % 亩产量

cost_per_acre = [400, 400, 350, 350, 350]; % 种植成本

price_range_min = [2.5, 6.5, 7.5, 6.0, 6.0]; % 销售单价(最小值)

price_range_max = [4.0, 8.5, 9.0, 8.0, 7.5]; % 销售单价(最大值)

% 绘制亩产量柱状图

figure;

bar(yield_per_acre);

set(gca, 'XTickLabel', crop_names);

xlabel('作物名称');

ylabel('亩产量(斤)');

title('不同作物的亩产量');

% 绘制种植成本柱状图

figure;

bar(cost_per_acre);

set(gca, 'XTickLabel', crop_names);

xlabel('作物名称');

ylabel('种植成本(元/亩)');

title('不同作物的种植成本');

% 绘制销售单价范围柱状图

figure;

hold on;

bar(price_range_min, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.5]);

bar(price_range_max, 'FaceColor', [0.5, 0.2, 0.8]);

set(gca, 'XTickLabel', crop_names);

xlabel('作物名称');

ylabel('销售单价(元/斤)');

title('不同作物的销售单价范围');

legend({'最低单价', '最高单价'});

hold off;

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